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课本中不少例题都很经典，而解题难度不大，往往大多数教师不重视例题教学，更不重视例题的解题方法，这就导致复习中一些教师盲目找题，既不考虑学生的知识水平，又不考虑其知识结构，忽略了知识点与知识面之间的纵横联系，以致不能提高复习效果，如果教师重视例题的挖掘，并且诱导学生分析这些题内在涵义，探索出一般规律和新的结论，既培养了学生的创新能力，发展了潜力，又激发了学生的教学学习兴趣.
一、挖掘其多解性，激发创新兴趣
教材上许多例题都有多种解法，一些较难的例题自不待言，但对于最基本的例题，如果能掌握其多解性，一定能激发学生学习数学的兴趣，有利于培养学生的创新及发散思维.现看一例的解法：
例1 求证：
cosx1-sinx
=1+sinx
cosx
这是高一下册同角三角函数的基本关系式部分，除教材上的方法外，又挖出多种方法：
证法1：从一边开始，证它等于另一边
cosx1-sinx
=cosx（1+sinx）
（1-sinx）（1+sinx）
=cosx（1+sinx）
1-sin2x
=cosx（1+sinx）
cos2x
=1+sinx
cosx.
证法2：证明左右等于同一个式子
左边=1-sin2x
1-sinx=1+sinx
1-sinx
右边= 1+sinx
1-sin2x
=1+sinx
1-sinx
所以原式成立.
证法3：因为
cosx
1-sinxcosx=
cos2x
1-sinx
=1-sin2x
1-sinx
=1+sinx.
所以cosx1-sinx
=1+sinxcosx.
这一例题不难，从这些方法中能学到一些证明题的方法.同时也能从简
例中悟出数学的奥妙.激发创新兴趣.
二、挖掘其拓展性，培养创新精神
有一些例题，看起来很平常，但深挖掘起来它往往具备其他性质，将这
些性质引入，从而达到培养学生创新能力的效果.
例2 已知三角形顶点是（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）求△ABC重心G的
坐标（x，y）.
这是高中一年级下册“线段的定比分点”一节的例2.它的解法很简单，
最后得坐标为（x1+x2+x33
，y1+y2+y33）.
三、挖掘其多变性，培养创新能力
例3 平面内存n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，
证明交点的个数f （n）=12
（n-1）.
这是高中数学第三册选修Ⅱ数学归纳法证明的例5，证法不再赘述.如果把二维变成三维，即把平面改成空间，n条直线改为n个平面，我们就挖掘出一个新问题.问题1：空间中n个平面，其中任何两个平面不平行，任何三个不过同一直线，那么它们交线的个数是多少？
很显然，这个问题与例子有完全一样的结果（证明略）.如果例子中的已知条件不变，我们来讨论n条直线把平面分成多少部分，则又有新问题.问题2：平面内有n条真线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，那么这n条直接把平面分成多少部分呢？解决这个问题有一定的难度，设f（n）表示n条直线把平面分成的部分数，显然f（1）=2，用不完全归纳法进行猜想，我们有递推式：f（n）=f（n-1）+n由此可得：
f （n）=f （1）+2+3+n=1+12n（n+1）=
12（n2+2+1）.
这个结论对任何自然数n都成立，用数学归纳法易证（略），更进一步地我们把问题2中的平面改为空间，把直线换成平面，则又有一个新问题.问题3：空间内有n个平面，其中任何两个不平行，任何三个不过同一条直线，那么这n个平面分成多少部分呢？是否与问题2的结论一样呢？这个问题就更困难了，但仍用不完全归纳法进行猜想：用g（n）表示满足题设条件的n个平面把空间所分成的部分数，显然g（1）=2，加上一个平面，这个平面与前一个平面有一条交线，这条交线把这个平面分成两部分，每一部分都把原有的空间分成两部分，这样被划分的空间部分增加数恰好等于这个平
面分成的区域个数，即g（2）=g（1）+f（1）=2+2=4，再加上一个平面，这个平面与前两个平面有两条交线，且这两条交线不平行，这样由问题2的结论可知，这平面被分成f（2）部分，每个部分又把它所在的原有空间分成两部分，增加部分数恰好等于平面被分成的区域个
数，即，g（3）=g（2）+
f （2）=
4+4=8.
以此类推则有：
g（n）=g（n一1）+f（n一1）=g（1）+f（1）+f（2）+……f（n—1）=
这个结论与问题2的结论不同，用数学归纳法证明是正确的（证明略）.在问题2中，如果把n条直线换成n个圆，那么，情况又如何呢？问题4：平面内有n个圆，其中任何两个都相交于两点，任何三个都不相交于同一点，那么这n个圆把平面分成多少部分呢？答案为：f（n）=nZ-n+2 （可用数学归纳法证明）在问题4中把平面换成球面，把圆换成球面上的大圆.那么有问题.问题5：球面上任给n个大圆，其中任意三个大圆不相交于同一点，那
么这n个大圆把球面分为多少部分呢？
答案亦为：f（n）=nZ-n+2.
问题4、问题5留给读者研究证明.
纵观上面例题的挖掘，深感挖掘例题创新例题是有利于激发学生的学
习兴趣，培养学生的创新能.
一、挖掘其多解性，激发创新兴趣
教材上许多例题都有多种解法，一些较难的例题自不待言，但对于最基本的例题，如果能掌握其多解性，一定能激发学生学习数学的兴趣，有利于培养学生的创新及发散思维.现看一例的解法：
例1 求证：
cosx1-sinx
=1+sinx
cosx
这是高一下册同角三角函数的基本关系式部分，除教材上的方法外，又挖出多种方法：
证法1：从一边开始，证它等于另一边
cosx1-sinx
=cosx（1+sinx）
（1-sinx）（1+sinx）
=cosx（1+sinx）
1-sin2x
=cosx（1+sinx）
cos2x
=1+sinx
cosx.
证法2：证明左右等于同一个式子
左边=1-sin2x
1-sinx=1+sinx
1-sinx
右边= 1+sinx
1-sin2x
=1+sinx
1-sinx
所以原式成立.
证法3：因为
cosx
1-sinxcosx=
cos2x
1-sinx
=1-sin2x
1-sinx
=1+sinx.
所以cosx1-sinx
=1+sinxcosx.
这一例题不难，从这些方法中能学到一些证明题的方法.同时也能从简
例中悟出数学的奥妙.激发创新兴趣.
二、挖掘其拓展性，培养创新精神
有一些例题，看起来很平常，但深挖掘起来它往往具备其他性质，将这
些性质引入，从而达到培养学生创新能力的效果.
例2 已知三角形顶点是（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）求△ABC重心G的
坐标（x，y）.
这是高中一年级下册“线段的定比分点”一节的例2.它的解法很简单，
最后得坐标为（x1+x2+x33
，y1+y2+y33）.
三、挖掘其多变性，培养创新能力
例3 平面内存n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，
证明交点的个数f （n）=12
（n-1）.
这是高中数学第三册选修Ⅱ数学归纳法证明的例5，证法不再赘述.如果把二维变成三维，即把平面改成空间，n条直线改为n个平面，我们就挖掘出一个新问题.问题1：空间中n个平面，其中任何两个平面不平行，任何三个不过同一直线，那么它们交线的个数是多少？
很显然，这个问题与例子有完全一样的结果（证明略）.如果例子中的已知条件不变，我们来讨论n条直线把平面分成多少部分，则又有新问题.问题2：平面内有n条真线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，那么这n条直接把平面分成多少部分呢？解决这个问题有一定的难度，设f（n）表示n条直线把平面分成的部分数，显然f（1）=2，用不完全归纳法进行猜想，我们有递推式：f（n）=f（n-1）+n由此可得：
f （n）=f （1）+2+3+n=1+12n（n+1）=
12（n2+2+1）.
这个结论对任何自然数n都成立，用数学归纳法易证（略），更进一步地我们把问题2中的平面改为空间，把直线换成平面，则又有一个新问题.问题3：空间内有n个平面，其中任何两个不平行，任何三个不过同一条直线，那么这n个平面分成多少部分呢？是否与问题2的结论一样呢？这个问题就更困难了，但仍用不完全归纳法进行猜想：用g（n）表示满足题设条件的n个平面把空间所分成的部分数，显然g（1）=2，加上一个平面，这个平面与前一个平面有一条交线，这条交线把这个平面分成两部分，每一部分都把原有的空间分成两部分，这样被划分的空间部分增加数恰好等于这个平
面分成的区域个数，即g（2）=g（1）+f（1）=2+2=4，再加上一个平面，这个平面与前两个平面有两条交线，且这两条交线不平行，这样由问题2的结论可知，这平面被分成f（2）部分，每个部分又把它所在的原有空间分成两部分，增加部分数恰好等于平面被分成的区域个
数，即，g（3）=g（2）+
f （2）=
4+4=8.
以此类推则有：
g（n）=g（n一1）+f（n一1）=g（1）+f（1）+f（2）+……f（n—1）=
这个结论与问题2的结论不同，用数学归纳法证明是正确的（证明略）.在问题2中，如果把n条直线换成n个圆，那么，情况又如何呢？问题4：平面内有n个圆，其中任何两个都相交于两点，任何三个都不相交于同一点，那么这n个圆把平面分成多少部分呢？答案为：f（n）=nZ-n+2 （可用数学归纳法证明）在问题4中把平面换成球面，把圆换成球面上的大圆.那么有问题.问题5：球面上任给n个大圆，其中任意三个大圆不相交于同一点，那
么这n个大圆把球面分为多少部分呢？
答案亦为：f（n）=nZ-n+2.
问题4、问题5留给读者研究证明.
纵观上面例题的挖掘，深感挖掘例题创新例题是有利于激发学生的学
习兴趣，培养学生的创新能.