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摘 要：“数系的扩充”是“复数”这章的重点内容，具有承前启后的作用. 本节课的学习，一方面让学生回忆、归纳数的概念的发展和数系扩充的过程，感悟数的概念产生于实际需求与数学内部的矛盾，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系，体会学习新知的必要性和合理性；另一方面，让学生理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件，为今后的学习奠定基础.
关键词：数系扩充；复数；问题解决
数学理解有三种方式，即记忆性理解、解释性理解和探究性理解. 其中，记忆性理解的教学只要求学生记住事实材料，通过机械记忆、模仿和简单套用，反复训练学生的记忆能力. 解释性理解的教学是通过教师对原理、理论的系统讲解来发展学生的理解能力，但学生得到的仍是教师传授的内容，而不是学生自己的本领. 探究性理解的教学原则是以问题为中心，引起学生对重要问题产生的困惑，通过对话和交流引导学生独立探索发现规律和建构知识的意义. 三种数学理解方式分别对应着行为主义、认知主义和建构主义的学习心理观. 本节课教学综合运用三种理解方式，力求让学生达到探究性理解.
[?] 教材分析
数系的扩充是中学阶段数系的最后一次扩充，为了体现实际需求与数学内部矛盾在数系扩充过程中的作用，以及数系扩充过程中数系结构与运算性质的变化，教材从社会生活和数学内部两个角度对数的概念的扩展做了简要回顾，旨在更好地帮助学生体会数学理论的产生和发展过程，认识到数学发展既有来自外部的实际需求，也有来自内部的逻辑规律，让学生品味数学的文化内涵，从而培养他们的人文素养. 数系扩充以后，复数作为一种新的数学语言，为我们今后用代数方法解决几何问题提供了新的工具和方法.
[?] 教学目标
1. 了解引进复数的必要性；理解复数的有关概念；掌握复数的代数表示；掌握复数相等的充要条件.
2. 了解数系扩充的过程，体验数学的发现和创造过程，感知数学产生、发展的客观要求.
3. 通过回忆、归纳数系的发展和数系的扩充过程，从中体会实际需求与数学内部矛盾在数系扩充过程中的作用，感受数与现实世界的联系，让学生品味数学的文化内涵，从而培养他们的人文素养.
[?] 教学策略选择与设计
小组学习、合作探究、产生式教学策略；问题驱动教学模式.
[?] 教学重点及难点
重点：数系的扩充过程，复数的概念及复数的代数表示，掌握复数相等的充要条件.
难点：虚数单位i的引进及复数的概念.
[?] 教学过程
1. 设置情境，再现历史
问题1：将10分成两部分，使两者的乘积为40.
设计意图：一方面展示数学家卡当的风采，激发学生的学习兴趣；另一方面，引领学生重温历史，感悟数学发现并不神秘，数学家也是从常规问题入手.
问题2：有没有两个数之和为10呢？有没有两个数之积为40呢？那为什么刚才的问题无解呢？
设计意图：充分暴露数学家的思维过程，一方面让学生体验数学家的科研精神，另一方面让学生处于“愤悱”状态.
问题3：实数集中有没有这两个数？
设计意图：打破原有认知平衡，形成认知冲突，让学生感受到数已经不够用了，体现学习新知识的必要性.
2. 设计问题，追溯历史
问题4：实数系是如何构建并发展的？请说说它们形成和扩充的成因？
学生1：从社会实践来看，为了满足生活和生产实践的需要，数的概念在不断的发展着.为了计数的需要产生了自然数，为了测量等需要产生了分数，为了刻画相反意义的量产生了负数，为了解决度量正方形对角线长的问题产生了无理数，这样便有了整个实数系.
学生2：数的概念的发展一方面是生产生活的需要，另一方面也是数学本身发展的需要，例如对以下方程求解：
方程x 2=1在自然数集N内无解，引入了负数，其在整数集Z内便有解；
方程2x-1=0在整数集Z内无解，引入了分数，其在有理数集Q内便有解；
方程x2-2=0在有理数集Q内无解，引入了无理数，其在实数集R内便有解.
自然数集N[负数] [ ]整数集Z[分数] [ ]有理数集Q[有理数] [ ]实数集R.
问题5：数系的三次扩充遵循什么共同的规律？
学生3：（1）引入新数；
（2）在新数集中，原有的运算及其性质仍然适用；
（3）新数集解决了原数集中一些不能解决的问题.
设计意图：从数的发展过程让学生感悟，数是客观存在的，也是人类智慧的结晶，它既是发现的，也是发展的. 每当遇到新的似乎不可逾越的问题和障碍时，人类的聪明之处就在于他们会引入新的符号，开辟新的方向，从而带来新的突破，进入新的领域.
3. 师生互动，探求新知
问题6：数系的扩充和发展是否就到此停滞不前了呢？在以往我们对数进行运算或解方程时，还遗留了哪些没有解决的问题？如何去突破？
学生4：对负数进行开方运算，或解一元二次方程，当判别式Δ<0时，我们便停滞不前，不再深究，确实有待进一步探究.
教师：上述问题其实可以归结为一个基本问题：-1有没有平方根？它的平方根又是什么？如何表示？
结合前面的经历和经验，学生自然会想到可以引入一个新的符号来表示-1的平方根.
简介虚数单位“i”的诞生历史：
1484年法国数学家舒开在《算术三章》中，提出方程x2-3x 4=0的根为x=±，声明此根是不可能的.
1545年意大利数学家卡丹第一次开始讨论负数开平方的问题，并将“负数的平方根”称为“诡辩量”. 1637年法国数学家笛卡儿给这种虚幻的数起名为虚数，意思是虚幻的数.
1777年瑞士数学家欧拉首先用字母“i”来表示-1的平方根，虚数单位i正式诞生.
1801年德国数学家高斯系统使用了i这个符号使之通行于世.
1837年爱尔兰数学家哈密顿建立了完整的复数系.
设计意图：了解虚数单位i的引入的艰难历程，让学生感悟科学上的每一次发现的进步都经历了一个曲折和漫长的过程，同时凝聚着很多人的心血.
（1）复数的概念
i叫做虚数单位，并规定：
①i2=-1；
②实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立.
说明：“加法、乘法运算律”是指加法的交换律、结合律，乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.
问题7：请你写出由实数2和i进行四则运算后的一些运算结果.
学生5：2 i，2-i，2i，-2i
设计意图：通过学生自己写出的结果，观察归纳出复数的代数形式.
（2）复数的代数形式
形如a bi（a，b∈R）的数叫做复数，全体复数组成的集合叫做复数集，记作C.
说明：
①复数通常用z表示，即z=a bi（a，b∈R），其中a，b分别叫做复数z的实部与虚部；
②当且仅当b=0时，z是实数a；当b≠0时，z叫做虚数，特别地，当a=0，b≠0时，z=bi叫做纯虚数.
（3）复数的分类
复数z=a bi（a，b∈R）实数（b=0）
虚数（b≠0）纯虚数（a=0，b≠0）
非纯虚数（a≠0，b≠0）
问题8：判断下列命题的真假，并说明理由.
①若a=0，则复数z=a bi（a，b∈R）是纯虚数；
②若复数z=a bi（a，b∈R）是纯虚数，则a=0.
学生6：命题①是假命题，命题②是真命题. 因为a=0，且b≠0时，复数z=a bi（a，b∈R）是纯虚数.
设计意图：借助判断进一步强化学生对纯虚数概念的理解.
（4）复数相等的充要条件
两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别相等.
a bi=c di（a，b，c，d∈R）?a=c，
b=d.
4. 练习反馈，巩固提高
例1 说出下列复数的实部与虚部.
4，2-3i，0，- i，5 i，6i.
问题9：上面的复数如何进行分类？
设计意图：学生自己观察、分类并说出分类后它们有什么共同特点，进而得出复数的分类.
例2 实数m取什么值时，复数z=m（m-1） （m-1）i是：
（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）6 2i；（5）0？
设计意图：复习巩固复数分类的概念，后两问让学生大胆尝试求出对应m的值，培养学生勇于质疑、善于探索的学习习惯和良好的思维品质，提高学生学习数学的兴趣，形成锲而不舍的钻研精神，进而得出两个复数相等的充要条件.
例3 已知（x y） （x-2y）i=（2x-5） （3x y）i，求实数x，y的值.
设计意图：通过学生的展示、交流，教师的点评，让学生在合作对话中解决问题以及体会把复数问题转化为实数问题的方法.
试一试：仿照例3自编题目，并求解.
设计意图：及时巩固概念，让学生体会到互动学习的快乐，理解转化的思想方法在解题中的应用，并为复数的几何意义的理解打好基础.
5. 归纳提升 布置作业
（1）让学生回忆并小结、提炼本节课学习内容：
①虚数的单位i；
②复数的有关概念；
③复数相等的有关概念.
（2）主要思想方法有类比思想、等价与转化思想及分类讨论思想.
设计意图：通过学生自主小结，让学生对本节课的数学知识有一个整体的把握，培养学生的归纳能力和语言表达能力.
（2）作业
①搜集与本节课有关的数学史知识，感受知识的发生、发展过程.
②完成习题3.1 1～4
[?] 教学反思
本节课由九个问题贯穿始终，让问题像清凉的风，吹拂在学生的心田，把问题当成老师手中的矛，让学生自觉举起手中的盾，通过“问题串”的设计，让学生经历概念的形成和概括过程.
德国教育学家第斯多惠指出：“教学的艺术不在于传授本领，而在于鼓励、唤醒、鼓舞. ”苏格拉底也说过“教育不是灌输，而是点燃火焰. ”教学实践表明，数学课堂激发学生积极思维的一种比较好的做法是“问题驱动法”. 因为有了问题，思维就有了方向；有了问题，思维就有了动力；有了问题，思维才有创新. 问题是思维的起点和出发点. 没有问题的教学将失去魅力.
概念教学重在理解，在吃透概念的基础上，学生才能以不变应万变，形成良好的数学问题解决能力. 数学教学的高效就在于围绕学生的“最近发展区”设计出适度、科学的问题串来组织教学，使课堂成为学生生命生长、潜能形成和个性成长的舞台. 通过设置问题串，让学生形成认知冲突；通过设置问题串，引领学生追溯历史，提炼数系扩充的原则；通过设置问题串，帮助学生合乎情理地建立新的认知结构，让数学理论自然诞生在学生的思想中，教师仅起到“助产士”的作用.
关键词：数系扩充；复数；问题解决
数学理解有三种方式，即记忆性理解、解释性理解和探究性理解. 其中，记忆性理解的教学只要求学生记住事实材料，通过机械记忆、模仿和简单套用，反复训练学生的记忆能力. 解释性理解的教学是通过教师对原理、理论的系统讲解来发展学生的理解能力，但学生得到的仍是教师传授的内容，而不是学生自己的本领. 探究性理解的教学原则是以问题为中心，引起学生对重要问题产生的困惑，通过对话和交流引导学生独立探索发现规律和建构知识的意义. 三种数学理解方式分别对应着行为主义、认知主义和建构主义的学习心理观. 本节课教学综合运用三种理解方式，力求让学生达到探究性理解.
[?] 教材分析
数系的扩充是中学阶段数系的最后一次扩充，为了体现实际需求与数学内部矛盾在数系扩充过程中的作用，以及数系扩充过程中数系结构与运算性质的变化，教材从社会生活和数学内部两个角度对数的概念的扩展做了简要回顾，旨在更好地帮助学生体会数学理论的产生和发展过程，认识到数学发展既有来自外部的实际需求，也有来自内部的逻辑规律，让学生品味数学的文化内涵，从而培养他们的人文素养. 数系扩充以后，复数作为一种新的数学语言，为我们今后用代数方法解决几何问题提供了新的工具和方法.
[?] 教学目标
1. 了解引进复数的必要性；理解复数的有关概念；掌握复数的代数表示；掌握复数相等的充要条件.
2. 了解数系扩充的过程，体验数学的发现和创造过程，感知数学产生、发展的客观要求.
3. 通过回忆、归纳数系的发展和数系的扩充过程，从中体会实际需求与数学内部矛盾在数系扩充过程中的作用，感受数与现实世界的联系，让学生品味数学的文化内涵，从而培养他们的人文素养.
[?] 教学策略选择与设计
小组学习、合作探究、产生式教学策略；问题驱动教学模式.
[?] 教学重点及难点
重点：数系的扩充过程，复数的概念及复数的代数表示，掌握复数相等的充要条件.
难点：虚数单位i的引进及复数的概念.
[?] 教学过程
1. 设置情境，再现历史
问题1：将10分成两部分，使两者的乘积为40.
设计意图：一方面展示数学家卡当的风采，激发学生的学习兴趣；另一方面，引领学生重温历史，感悟数学发现并不神秘，数学家也是从常规问题入手.
问题2：有没有两个数之和为10呢？有没有两个数之积为40呢？那为什么刚才的问题无解呢？
设计意图：充分暴露数学家的思维过程，一方面让学生体验数学家的科研精神，另一方面让学生处于“愤悱”状态.
问题3：实数集中有没有这两个数？
设计意图：打破原有认知平衡，形成认知冲突，让学生感受到数已经不够用了，体现学习新知识的必要性.
2. 设计问题，追溯历史
问题4：实数系是如何构建并发展的？请说说它们形成和扩充的成因？
学生1：从社会实践来看，为了满足生活和生产实践的需要，数的概念在不断的发展着.为了计数的需要产生了自然数，为了测量等需要产生了分数，为了刻画相反意义的量产生了负数，为了解决度量正方形对角线长的问题产生了无理数，这样便有了整个实数系.
学生2：数的概念的发展一方面是生产生活的需要，另一方面也是数学本身发展的需要，例如对以下方程求解：
方程x 2=1在自然数集N内无解，引入了负数，其在整数集Z内便有解；
方程2x-1=0在整数集Z内无解，引入了分数，其在有理数集Q内便有解；
方程x2-2=0在有理数集Q内无解，引入了无理数，其在实数集R内便有解.
自然数集N[负数] [ ]整数集Z[分数] [ ]有理数集Q[有理数] [ ]实数集R.
问题5：数系的三次扩充遵循什么共同的规律？
学生3：（1）引入新数；
（2）在新数集中，原有的运算及其性质仍然适用；
（3）新数集解决了原数集中一些不能解决的问题.
设计意图：从数的发展过程让学生感悟，数是客观存在的，也是人类智慧的结晶，它既是发现的，也是发展的. 每当遇到新的似乎不可逾越的问题和障碍时，人类的聪明之处就在于他们会引入新的符号，开辟新的方向，从而带来新的突破，进入新的领域.
3. 师生互动，探求新知
问题6：数系的扩充和发展是否就到此停滞不前了呢？在以往我们对数进行运算或解方程时，还遗留了哪些没有解决的问题？如何去突破？
学生4：对负数进行开方运算，或解一元二次方程，当判别式Δ<0时，我们便停滞不前，不再深究，确实有待进一步探究.
教师：上述问题其实可以归结为一个基本问题：-1有没有平方根？它的平方根又是什么？如何表示？
结合前面的经历和经验，学生自然会想到可以引入一个新的符号来表示-1的平方根.
简介虚数单位“i”的诞生历史：
1484年法国数学家舒开在《算术三章》中，提出方程x2-3x 4=0的根为x=±，声明此根是不可能的.
1545年意大利数学家卡丹第一次开始讨论负数开平方的问题，并将“负数的平方根”称为“诡辩量”. 1637年法国数学家笛卡儿给这种虚幻的数起名为虚数，意思是虚幻的数.
1777年瑞士数学家欧拉首先用字母“i”来表示-1的平方根，虚数单位i正式诞生.
1801年德国数学家高斯系统使用了i这个符号使之通行于世.
1837年爱尔兰数学家哈密顿建立了完整的复数系.
设计意图：了解虚数单位i的引入的艰难历程，让学生感悟科学上的每一次发现的进步都经历了一个曲折和漫长的过程，同时凝聚着很多人的心血.
（1）复数的概念
i叫做虚数单位，并规定：
①i2=-1；
②实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立.
说明：“加法、乘法运算律”是指加法的交换律、结合律，乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.
问题7：请你写出由实数2和i进行四则运算后的一些运算结果.
学生5：2 i，2-i，2i，-2i
设计意图：通过学生自己写出的结果，观察归纳出复数的代数形式.
（2）复数的代数形式
形如a bi（a，b∈R）的数叫做复数，全体复数组成的集合叫做复数集，记作C.
说明：
①复数通常用z表示，即z=a bi（a，b∈R），其中a，b分别叫做复数z的实部与虚部；
②当且仅当b=0时，z是实数a；当b≠0时，z叫做虚数，特别地，当a=0，b≠0时，z=bi叫做纯虚数.
（3）复数的分类
复数z=a bi（a，b∈R）实数（b=0）
虚数（b≠0）纯虚数（a=0，b≠0）
非纯虚数（a≠0，b≠0）
问题8：判断下列命题的真假，并说明理由.
①若a=0，则复数z=a bi（a，b∈R）是纯虚数；
②若复数z=a bi（a，b∈R）是纯虚数，则a=0.
学生6：命题①是假命题，命题②是真命题. 因为a=0，且b≠0时，复数z=a bi（a，b∈R）是纯虚数.
设计意图：借助判断进一步强化学生对纯虚数概念的理解.
（4）复数相等的充要条件
两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别相等.
a bi=c di（a，b，c，d∈R）?a=c，
b=d.
4. 练习反馈，巩固提高
例1 说出下列复数的实部与虚部.
4，2-3i，0，- i，5 i，6i.
问题9：上面的复数如何进行分类？
设计意图：学生自己观察、分类并说出分类后它们有什么共同特点，进而得出复数的分类.
例2 实数m取什么值时，复数z=m（m-1） （m-1）i是：
（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）6 2i；（5）0？
设计意图：复习巩固复数分类的概念，后两问让学生大胆尝试求出对应m的值，培养学生勇于质疑、善于探索的学习习惯和良好的思维品质，提高学生学习数学的兴趣，形成锲而不舍的钻研精神，进而得出两个复数相等的充要条件.
例3 已知（x y） （x-2y）i=（2x-5） （3x y）i，求实数x，y的值.
设计意图：通过学生的展示、交流，教师的点评，让学生在合作对话中解决问题以及体会把复数问题转化为实数问题的方法.
试一试：仿照例3自编题目，并求解.
设计意图：及时巩固概念，让学生体会到互动学习的快乐，理解转化的思想方法在解题中的应用，并为复数的几何意义的理解打好基础.
5. 归纳提升 布置作业
（1）让学生回忆并小结、提炼本节课学习内容：
①虚数的单位i；
②复数的有关概念；
③复数相等的有关概念.
（2）主要思想方法有类比思想、等价与转化思想及分类讨论思想.
设计意图：通过学生自主小结，让学生对本节课的数学知识有一个整体的把握，培养学生的归纳能力和语言表达能力.
（2）作业
①搜集与本节课有关的数学史知识，感受知识的发生、发展过程.
②完成习题3.1 1～4
[?] 教学反思
本节课由九个问题贯穿始终，让问题像清凉的风，吹拂在学生的心田，把问题当成老师手中的矛，让学生自觉举起手中的盾，通过“问题串”的设计，让学生经历概念的形成和概括过程.
德国教育学家第斯多惠指出：“教学的艺术不在于传授本领，而在于鼓励、唤醒、鼓舞. ”苏格拉底也说过“教育不是灌输，而是点燃火焰. ”教学实践表明，数学课堂激发学生积极思维的一种比较好的做法是“问题驱动法”. 因为有了问题，思维就有了方向；有了问题，思维就有了动力；有了问题，思维才有创新. 问题是思维的起点和出发点. 没有问题的教学将失去魅力.
概念教学重在理解，在吃透概念的基础上，学生才能以不变应万变，形成良好的数学问题解决能力. 数学教学的高效就在于围绕学生的“最近发展区”设计出适度、科学的问题串来组织教学，使课堂成为学生生命生长、潜能形成和个性成长的舞台. 通过设置问题串，让学生形成认知冲突；通过设置问题串，引领学生追溯历史，提炼数系扩充的原则；通过设置问题串，帮助学生合乎情理地建立新的认知结构，让数学理论自然诞生在学生的思想中，教师仅起到“助产士”的作用.