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【摘 要】“求联练习”采用“习题模块”的练习方式，以打破单一的“讲解—练习—辅导”的课堂练习模式，创设系统化、简约化、模块化的过程，引导学生通过知识的自主建构过程，把数学的“知识结构”内化成个体的“认知结构”。以人教版六上第五单元“圆的面积练习”教学为例，教师可以对其进行“求联”设计，培养学生数学建模意识，提升学生的思维能力。
【关键词】求联；圆的面积；练习设计
求联，由已知的或熟悉的人、事、概念联想到相关的人、事、概念，通过由此及彼的思维活动，架设关联桥梁。小学数学的习题设计也需要求联，即根据基础习题，通过联想，不断地转化：由A想到B，由B想到C……把多个命题按照一定的需要联系在一起，组合成一个习题模块，储存于学生头脑中，并加以运用。对于学生来说，是通过不断内化而形成的数学认知结构；对于教师而言，是基于对数学知识结构深刻认识的一种命题方法。基于“求联”的圆面积练习设计，旨在围绕圆面积的核心知识展开不同层面的命题联想，通过练习，使学生实现能量升级——基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验得到整体提升。
情境，在一定的时间内，各种情况相对的或结合的境况（《辞海》）。对于六年级的学生来说，情境并不陌生，他们积累了丰富的生活经验，已经储备了大量的表象。只要引导有效，就能促使其产生联想，建立起知识间的联系。教学时，将“圆”置于不同的情境中，利用情境求联设计练习题组，可以提升练习效果。
例如，习题1：已知圆的半径是10cm，求圆的面积。学生解题之后，教师可以借机进行情境求联的练习设计。
师：知道什么条件就可以求出圆的面积？
生：知道“半径”或“半径的平方”。
师：生活中的圆，半径会是什么呢？
生：钟面上，分针长10cm。
生：草地上自动旋转的喷水装置射程10m。
生：茶叶罐的直径10cm，半径是5cm。
生：拴住一只小狗的铁链长2m。
……
师：刚才我们通过变换不同的情境导出了一组圆面积的练习题组。虽然习题情境不同，但計算方法是相同的。现在请你选一个情境进行计算，同桌相互交流。
学生在情境求联中导出圆面积的习题模块，不仅了解了圆在生活中的广泛应用，还巩固了圆面积的基础练习，既举一反三，又举三反一，用情境的变化反衬和突显出其中不变的部分——圆的面积计算方法。引导学生通过现实视角横向联系，在生活中找到原型加以设计，不仅让习题的组织更有结构感，同时也增强了学生的分析归纳能力，感受数学学习的价值。
等价求联，意指当学生遇到一个陌生的数学问题时，会自然地想到将它变成一个自己熟悉的问题，进而去解决它。可是在教学中，实际操作起来却不那么简单。因为它没有固定的法则，而是必须通过对具体问题认真、深入的剖析，联想过去解决类似习题的方法，寻求它们之间的等价联系，才能实现从陌生到熟悉的转化。此种求联可以帮助学生积累学习经验，提升数学素养。
例如，习题2：已知圆的半径是10cm，求圆的面积。习题直接给出了条件“半径”。如果不直接告知半径，题目可以怎样变化呢？学生展开想象：可以已知圆规的两脚距离是10cm，可以已知直径是20cm，还可以已知圆的周长是62.8cm或半圆的周长是31.4cm……学生通过不断地转化与“半径是10cm”等价的条件，导出习题模块。
也有学生把圆放到其他平面图形中，出示与“半径是10cm”等价的数据，见下图。
习题3导出模块
引导学生通过改变圆的个数，探寻相似求联的方法，并发现其中的规律。
求组合图形的面积是圆面积教学比较重要的题型。教师可以改变组合图形的个别元素形成相似图形，引导学生找图形之间的规律。这是设计模块练习的基本思想，让学生从中感受到求联模块内在的规律，感受数学的规律美、变化美。
美术中，平面构图的画面通过视觉传达而产生联想，达到某种意境。圆面积的构图联想可以借鉴美术中的某些手法，或变化组合图形的摆放位置形成题组，或缩放组合图形的大小形成题组，各种图形的形状及其要素都会产生不同的联想与意境。通过设计习题，吸取相通之处，延伸数学思维。 例如，习题4：已知正方形的面积是10cm2，求圆的面积。学生解答后，教师可以追问，圆和正方形放在一起，还可以产生怎样的图形？如果正方形变大呢？变小呢？如果正方形变成长方形呢？变成三角形呢？变成梯形呢？通过启发，学生导出了习题模块。（部分学生作品列举如下图）
习题5导出模块
进一步引导学生分析图形之间的数量关系：阴影部分的图形其实就是圆内接正方形后形成的。原图平均分成4份以后，将各部分进行旋转或平移后拼接，就能得到一组新图形。练习时让学生找出这一类图形面积的解决方法。
数学中的知识点关系复杂，借助组合图形可以沟通知识点的聯系。教师要善于挖掘各类图形的位置关系，开发出千变万化的求联习题，并通过解答、辨析，理清层次，构建新的知识网络。
静态的图形可以产生联想，实实在在的静物也可以产生联想。如果让静物动起来，通过动态求联形成题组，奇妙无穷。生活中这样的素材很多，如一元硬币、汽车轮胎等。教师可以根据不同的生成路径形成不同的动态图形，以此让学生熟练运用圆的面积知识，并发展空间观念。
例如，习题6：一个一元硬币的面积是多少？练习时学生只要量出需要的数据（“半径或直径”），然后根据公式就能顺利地求出面积。这样的习题难度不大，对于提升学生的思维含量没有太大的帮助。如果让硬币滚动起来，会发生怎样奇妙的事情？学生展开想象：如果固定其中一个硬币，另一个沿着它的周长滚动一周呢？如果固定两个硬币，第三个沿着它们的边缘滚动一周呢？如果这个硬币沿着正方形的边缘滚动一周呢？如果这个硬币沿着正三角形的边缘滚动一周呢？……
学生尝试改变硬币的运动轨迹，导出习题模块。
习题6导出模块
引导学生对模块练习进行分析：硬币的运动轨迹形成什么图形？要求出这个硬币的运动轨迹必须知道什么？找出这一类题的解决方法（虽然图形由静变动，状态发生改变，但运用的知识点始终没变，规律始终没变，要善于在变中找不变）。
动态求联导出习题模块，教师应指导学生寻求解法上的共通点。在变化中，感受到数学的美；通过找寻解法上的共通点，感受习题模块“万变不离其宗”的内在魅力。
总之，在“圆的面积练习”中，围绕核心知识进行求联，如情境求联、等价求联、相似求联、构图求联、动态求联等，开展“求联练习”的设计，笔者对教材的认识、对学生的认识、对练习设计的认识、对学习过程的认识有了更深的了解。求联练习是习题教学的较高层次的体现，它的设计和具体操作从“形式”走向了“实际”，向一线教师提出了更高的要求和挑战，必须花更多的时间和精力去钻研教材，吃透教材。通过梳理核心点拓展“求联结构”的宽度，挖掘生长点加深“求联结构”的深度，打造“点点通道”拉伸“求联结构”的长度，从而将看似零散的习题组成一个个题组模块，设计出有利于学生个性能力张扬、潜在能力提升、数学素养提高的练习，进而在引导学生不断将数学知识简约化、模块化、集成化的过程中，逐步完善自己的数学知识结构。
求联式练习设计的价值并不仅局限于教师的练习设计能力的提升，更为重要的是引导学生参与到“求联”的过程中，参与到知识的建构过程中，参与到把数学的“知识结构”转化为个体的“知识结构“的过程中，以此培养学生的数学建模意识与眼光，养成数学的思维方式，提高学生的数学素养。
（浙江省建德市新安江第三小学 311600）
【关键词】求联；圆的面积；练习设计
求联，由已知的或熟悉的人、事、概念联想到相关的人、事、概念，通过由此及彼的思维活动，架设关联桥梁。小学数学的习题设计也需要求联，即根据基础习题，通过联想，不断地转化：由A想到B，由B想到C……把多个命题按照一定的需要联系在一起，组合成一个习题模块，储存于学生头脑中，并加以运用。对于学生来说，是通过不断内化而形成的数学认知结构；对于教师而言，是基于对数学知识结构深刻认识的一种命题方法。基于“求联”的圆面积练习设计，旨在围绕圆面积的核心知识展开不同层面的命题联想，通过练习，使学生实现能量升级——基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验得到整体提升。
一、情境求联
情境，在一定的时间内，各种情况相对的或结合的境况（《辞海》）。对于六年级的学生来说，情境并不陌生，他们积累了丰富的生活经验，已经储备了大量的表象。只要引导有效，就能促使其产生联想，建立起知识间的联系。教学时，将“圆”置于不同的情境中，利用情境求联设计练习题组，可以提升练习效果。
例如，习题1：已知圆的半径是10cm，求圆的面积。学生解题之后，教师可以借机进行情境求联的练习设计。
师：知道什么条件就可以求出圆的面积？
生：知道“半径”或“半径的平方”。
师：生活中的圆，半径会是什么呢？
生：钟面上，分针长10cm。
生：草地上自动旋转的喷水装置射程10m。
生：茶叶罐的直径10cm，半径是5cm。
生：拴住一只小狗的铁链长2m。
……
师：刚才我们通过变换不同的情境导出了一组圆面积的练习题组。虽然习题情境不同，但計算方法是相同的。现在请你选一个情境进行计算，同桌相互交流。
学生在情境求联中导出圆面积的习题模块，不仅了解了圆在生活中的广泛应用，还巩固了圆面积的基础练习，既举一反三，又举三反一，用情境的变化反衬和突显出其中不变的部分——圆的面积计算方法。引导学生通过现实视角横向联系，在生活中找到原型加以设计，不仅让习题的组织更有结构感，同时也增强了学生的分析归纳能力，感受数学学习的价值。
二、等价求联
等价求联，意指当学生遇到一个陌生的数学问题时，会自然地想到将它变成一个自己熟悉的问题，进而去解决它。可是在教学中，实际操作起来却不那么简单。因为它没有固定的法则，而是必须通过对具体问题认真、深入的剖析，联想过去解决类似习题的方法，寻求它们之间的等价联系，才能实现从陌生到熟悉的转化。此种求联可以帮助学生积累学习经验，提升数学素养。
例如，习题2：已知圆的半径是10cm，求圆的面积。习题直接给出了条件“半径”。如果不直接告知半径，题目可以怎样变化呢？学生展开想象：可以已知圆规的两脚距离是10cm，可以已知直径是20cm，还可以已知圆的周长是62.8cm或半圆的周长是31.4cm……学生通过不断地转化与“半径是10cm”等价的条件，导出习题模块。
也有学生把圆放到其他平面图形中，出示与“半径是10cm”等价的数据，见下图。
习题3导出模块
引导学生通过改变圆的个数，探寻相似求联的方法，并发现其中的规律。
求组合图形的面积是圆面积教学比较重要的题型。教师可以改变组合图形的个别元素形成相似图形，引导学生找图形之间的规律。这是设计模块练习的基本思想，让学生从中感受到求联模块内在的规律，感受数学的规律美、变化美。
四、构图求联
美术中，平面构图的画面通过视觉传达而产生联想，达到某种意境。圆面积的构图联想可以借鉴美术中的某些手法，或变化组合图形的摆放位置形成题组，或缩放组合图形的大小形成题组，各种图形的形状及其要素都会产生不同的联想与意境。通过设计习题，吸取相通之处，延伸数学思维。 例如，习题4：已知正方形的面积是10cm2，求圆的面积。学生解答后，教师可以追问，圆和正方形放在一起，还可以产生怎样的图形？如果正方形变大呢？变小呢？如果正方形变成长方形呢？变成三角形呢？变成梯形呢？通过启发，学生导出了习题模块。（部分学生作品列举如下图）
习题5导出模块
进一步引导学生分析图形之间的数量关系：阴影部分的图形其实就是圆内接正方形后形成的。原图平均分成4份以后，将各部分进行旋转或平移后拼接，就能得到一组新图形。练习时让学生找出这一类图形面积的解决方法。
数学中的知识点关系复杂，借助组合图形可以沟通知识点的聯系。教师要善于挖掘各类图形的位置关系，开发出千变万化的求联习题，并通过解答、辨析，理清层次，构建新的知识网络。
五、动态求联
静态的图形可以产生联想，实实在在的静物也可以产生联想。如果让静物动起来，通过动态求联形成题组，奇妙无穷。生活中这样的素材很多，如一元硬币、汽车轮胎等。教师可以根据不同的生成路径形成不同的动态图形，以此让学生熟练运用圆的面积知识，并发展空间观念。
例如，习题6：一个一元硬币的面积是多少？练习时学生只要量出需要的数据（“半径或直径”），然后根据公式就能顺利地求出面积。这样的习题难度不大，对于提升学生的思维含量没有太大的帮助。如果让硬币滚动起来，会发生怎样奇妙的事情？学生展开想象：如果固定其中一个硬币，另一个沿着它的周长滚动一周呢？如果固定两个硬币，第三个沿着它们的边缘滚动一周呢？如果这个硬币沿着正方形的边缘滚动一周呢？如果这个硬币沿着正三角形的边缘滚动一周呢？……
学生尝试改变硬币的运动轨迹，导出习题模块。
习题6导出模块
引导学生对模块练习进行分析：硬币的运动轨迹形成什么图形？要求出这个硬币的运动轨迹必须知道什么？找出这一类题的解决方法（虽然图形由静变动，状态发生改变，但运用的知识点始终没变，规律始终没变，要善于在变中找不变）。
动态求联导出习题模块，教师应指导学生寻求解法上的共通点。在变化中，感受到数学的美；通过找寻解法上的共通点，感受习题模块“万变不离其宗”的内在魅力。
总之，在“圆的面积练习”中，围绕核心知识进行求联，如情境求联、等价求联、相似求联、构图求联、动态求联等，开展“求联练习”的设计，笔者对教材的认识、对学生的认识、对练习设计的认识、对学习过程的认识有了更深的了解。求联练习是习题教学的较高层次的体现，它的设计和具体操作从“形式”走向了“实际”，向一线教师提出了更高的要求和挑战，必须花更多的时间和精力去钻研教材，吃透教材。通过梳理核心点拓展“求联结构”的宽度，挖掘生长点加深“求联结构”的深度，打造“点点通道”拉伸“求联结构”的长度，从而将看似零散的习题组成一个个题组模块，设计出有利于学生个性能力张扬、潜在能力提升、数学素养提高的练习，进而在引导学生不断将数学知识简约化、模块化、集成化的过程中，逐步完善自己的数学知识结构。
求联式练习设计的价值并不仅局限于教师的练习设计能力的提升，更为重要的是引导学生参与到“求联”的过程中，参与到知识的建构过程中，参与到把数学的“知识结构”转化为个体的“知识结构“的过程中，以此培养学生的数学建模意识与眼光，养成数学的思维方式，提高学生的数学素养。
（浙江省建德市新安江第三小学 311600）