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中图分类号:G633.63 文献标识码:A 文章编号:1672-8882(2014)04-051-03 1.引言
由于立体几何问题主要是指图形的位置关系与度量关系问题,向量既具有“形”又具有“数”的特点,既联系几何知识又联系代数知识,因而通过向量的运算可以有效揭示空间图形的位置和数量关系,它是数形结合思想的深化和提高,向量方法指的是在向量观（坐标观）下,对图形中若干构成元素向量化后借助向量理论知识去解决一些问题的方法和过程,在这个过程中十分重要的一个问题就是如何科学合理地将其元素向量化,通过观察、联想、推导,使立体几何向量化,从而简化解题过程。
2.向量法解立体几何中点线面的位置关系问题
2.1根据共线向量定理证明点共线
以前我们学习了共线向量定理,即若向量与非零向量
共线的充要条件是有且仅有一个实数λ,使得.那么如何用此定理来证明点共线呢？请看下例。
例1已知,如图1,长方体AC1中,M为DD1的中点,N在AC上,且,E为BM的中点,求证 三点共线。
分析此题可以用勾股定理的方法,通过证明,从而达到证明 三点共线的,但比较烦琐,若利用向量知识,欲证点共线,通常先构造共始点的向量,再根据共线向量定理证之,
则比较简单.本题的关键是构设辅助向量。
证明:设 则
图1
故 三点共线
注:一般地.要证明三点共线.要么说明一点在另外两点所确定的直线上,要么说明三点中任意两点所确定的直线都是同一条直线。这里利用了空间共线向量基本定理来证明。
2.2根据相等向量证明线共点
欲证线线共点,可先在某线上找出一定点(常是唯一的特殊点),再证其余各线都过这一定点,如何利用相等向量来证明线共点,请看一例。
例2求证四面体不共面的三对棱的中点连成的三条线段相交于一点,且都在此点平分。
分析 此题若采用传统方法证明比较困难,但利用向量方法却容易得多,那么首先应构设辅助向量,然后利用结论1:VABC中,AD为BC边上的中线,则有,
证明:如图2,A-BCD四面体中,
依次是棱AB、BC、AC、CD、AD、BD的中点,
设 的中点
依次为 ,则
同理可推得
图2
故 重合,即 共点 于,且被点
平分。
注:在解决此类三线共点的问题时,我们可以采纳的方法其实很多,本题打破了常规,采用了向量法,解法独特新颖。
2.3根据共面向量定理及其推论证明线(或点)共面
在向量一章中我们学习了共面向量定理.即如果两个向量 不共线,则向量与向量 共面的充要条件是存在唯一的实数对x,y,使,以及它的推论,即空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在唯一的实数对x,y,使,现在用此定理及其推论来证明立体几何中三线共面和四点共面问题。
例3已知,如图3,E、F、G、H、K、L分别为正方体AC1的棱的AA1、AB、BC、CC1、A1D1中点,求证EF、GH、KL三线共面。
分析 初看此题一时难以下手,若利用共面向量定理证明则可轻松解决,本题也应先构设辅助向量。
证明:设
则
故EF、GH、KL三线共面。 图3
注释:一般来说,共面向量定理是向量法证三线共面的主要依据,而其推论是向量法证四点共面的有力武器,在运用它们解题时常需采用待定系数法进行求解,我们来看例4,
例4已知两个非零向量 不共线,如果
求证:A、B、C、D四点共面,
证明:假设存在x,y使得
则
即
解得
故由共面向量定理的推论知,A,B,C,D四点共面.
注:要证明三点共面,一般地我们只要证明一个点在另外三点所在平面内就可以了,这里用到了共面向量基本定理。
2.4根据共线向量定理证明两直线平行
欲证两直线平行.只需证明分别在两直线上的非零向量共线即可.这就要用到共线向量定理.
例5已知五边形ABCDE,M、N、P、Q分别是边AB、CD、BC、DE的中点,K、L分别MN、PQ是的中点,求证KL∥AE且 。
分析 此题采用常规方法比较困难.由于此题中有许多中点,可以联想到结论1,用向量方法去证明。
证明:任取一点o,则
故KL∥AE 图4
注释:本题的技巧性较强（如点o的引入）,它启发我们在利用向量处理这类问题时,需要善于观察和联想以及不断尝试,只有这样才能顺利解决问题。
2.5证明线面平行
证明线面平行的方法有多种,现介绍三种方法,它们都是利用向量知识来证明的,向量法证明线面平行给我们提供了一种新的思路。
第一,证明线面平行,可转化为证明直线与平面内一直线平行,即证明线线平行
例6（04高考,天津卷）如图5.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F,
证明PA∥平面EDB;
分析PA∥平面EDB要证,须证PA和平面EDB内一条直线平行,显然PA不平行于ED、EB、DB,所以应想到作辅助线,连结AC,
证明:如图所示建立空间直角坐标系,D为坐标原点,
设DA=a,连结于AC,AC交BD于G,连结EG,依题意得
Q底面是ABCD正方形,
∴G是此正方形的中心,故点G的坐标为
且
这表明PA∥EG而EG 平面EDB,且PA 平面EDB
∴PA∥平面EDB,
图5
注释:其实只要连结于AC,AC交BD于G,则有G为AC中点.又E是PC的中点,所以EG∥PA,从而使命题获证,本题告诉我们在用向量知识解决问题时,不应忘记有时需要按照传统方法作一些必要的辅助线,甚至直接用传统方法解决。
在教材第二册(下B)中有这样一句话:“如果,那么向量叫做平面a的法向量”,在教材和教师数学用书中有关平面法向量的介绍,仅此一句,易让人忽略,然而,它在解决立体几何问题中,却十分有用。
第二.证明线面平行,可转化为证明直线的方向向量与平面的法向量垂直。
例7已知矩形ABCD和矩形ADEF垂直,以AD为公共边,但它们不在同一平面上,M、N分别在对角线BD,AE上,且
证明:MN∥平面CDE
证明:如图6所示建立空间直角坐标系,A为坐标原点,
设 ,那么
因此又 为平面CDE的法向量且有 =0,故MN∥平面CDE
图6
注释: ,显然MN也不和CD,ED平行,很难由线线平行推出线面平行,此时转化为证明直线的方向向量与平面的法向量垂直,从而证明线面平行,化难为易。
共面向量定理不仅是向量法证三线共面的主要依据,而且共面向量定理及其推论也是证明线面平行的主要依据。
第三,利用共面向量定理及其推论证明线面平行
例8已知P是正方形ABCD平面外一点,M,N分别是PA,BD上的点,且 求证:直线MN∥平面PBC,
分析 此题不同于前两题,既难找到直线MN和平面PBC内的一条直线平行,也因为缺少有关数据,不易求得平面PBC的法向量,从而不能转证明直线的方向向量与平面的法向量垂直,只有另辟蹊径,利用共面向量定理及其推论证之。
证明: 如图7,设则
所以由共面向量定理知为共
平面PBC向量,又MN 平面PBC,
故直线∥平面PBC,
图7
2.6根据两非零向量的数量积为零证两直线垂直
我们知道若向量,向量, 则
或者若向量 ,向量 ,则 ,现在运用向量的这一坐标运算性质来证明两直线垂直。
例9（05高考.湖南卷）如图8,已知ABCD是上、下底边长分别为2和6,高为 的等腰梯形,将它沿对称轴OO1折成直二面角.如图9.证明 ;
分析 此题用传统方法证明不易下手.
若用向量方法去证则简单得多.只需证明
即可,首先必须建立三维直角
坐标系,然后写出各向量的坐标,
图8 图9
证明:由题设知 ,
所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角,即OA⊥OB,
故可以O为原点,OA,OB,OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴
建立空间直角坐标系,如图,则各相关点的坐标是A(3,0,0)、B(0,3,0)、C(0,3, )、O1(0,0, )从而
所以 ,
2.7证明线面垂直
线面垂直也可以采用向量法来证明.现在我们就两种具体方法的应用,来看看向量法证明线面垂直的优点所在.
(1）证明线面垂直,可转化为证明直线与平面内两相交直线垂直
例10 （05高考.全国卷II）如图10.四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥底面ABCD,AD=PD,E、F分别为CD、PB的中点。
求证:EF⊥平面PAB,
证明:以D为坐标原点,DA的长为单位.建立如下图
所示的直角坐标系,设E(a,0,0)其中a＞0则C(2a,0,0)
PBAB=B,∴EF⊥平面PAB,
图10
注释:本题可用向量法证明.也可用三垂线定理证明.但前者作为一种通法也是可取的.
（2）证明线面垂直,可转化为证明直线的方向向量与平面的法向量平行
例11已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G
分别是BC,CD和CC1的中点,求证:AC1⊥平面EFG
证明:以D为坐标原点建立如图11所示空间直角
坐标系D-xyz则有
设是平面EFG的一个法向量,则
AC⊥G平面EDG
图11
注释:从例11,C好方法,平面法向量的应用更是巧妙,它的求法可用待定系数法,一般设,再令其中一个为常数1.或直接设为,然后根据法向量的性质,联立方程组解之。
3总结
向量的基本思想方法是数形结合.空间向量既反映了现实世界的数量关系,又体现了几何图形的位置关系,从而将数与形有机地结合起来,是实现数形转化的有力工具.用空间向量解立体几何题, 将几何题中的逻辑推理转化为向量的代数运算.用定量的计算代替了定性的分析,从而有效地避开了立体几何中繁琐的位置关系的判断,并且思路清晰,表述简洁,为解决空间距离及证明垂直和平行等问题开辟了一条新途径. 其独特之处是形象化、算法化和简洁化.减少了辅助线的添加,降低解题难度.
3.1利用向量法的向量运算解立体几何问题的一般步骤
(1）构设辅助向量或基底向量;
(2）运用向量基本定理.向量的和与差及数性积等知识解决问题.
注:此方法可以不用建立直角坐标系.适用于某些特殊的几何体如平行六面体.
3.2利用向量法的坐标运算解立体几何问题的一般步骤
(1）建立适当的空间直角坐标系.直接以现成墙角模型（如长方体和正方体的角）建立坐标系.或者根据题目特点另建新的坐标系;
(2）写出相应点和向量的坐标.有时不好直接写出.需要用待定系数法先设出再计算;
(3）根据题目要求及相关公式进行向量的坐标运算;
(4）对运算结果进行分析得到题目的结论.
3.3向量代数运算推理与几何综合推理相结合
《教师教学用书》中指出“有了向量运算工具,很多较难的空间计算问题,就有了统一的方法求解,但如果全用向量处理夹角和距离问题,虽有统法,但有时在解决一些较难问题时.运算量较大并需要一定的技巧,学生掌握这些技能同样会有困难”所以在具体解题过程中何时选用向量代数运算推理与几何综合推理相应具体情况具体分析。
总之,我们的目的是为了有效快速地解决问题,在解题过程中,还需要不断探索与总结,以求找到最适合最简便的方法。
参考文献:
[1]蒋建伟.利用向量方法解立体几何问题[J].中学数学教学.2002(1).
[2]张定强.向量方法在研究几何问题中的作用探析[J].数学通报.2004(9).
[3]王峰.共面向量定理及其推论在立体几何中的应用初探[J].数学通讯.2005(11).
[4]祝辉.空间向量在立体几何中的应用[J].上海中学数学.2005(3).
[5]成玉华.用平面的法向量求空间角与距离[J].数学天地（高中版）.2005(4).
[6]赵南平.用向量法求空间距离的五条定理[J].中学生理科月刊.2005(5).
[7]唐国明.用平面法向量解立体几何题[J].湖南.
[8]万晓秀.向量思想方法在几何教学中的应用[J].安顺师范高等专科学校学报.2004(4).
[9]高中数学教材编写组.高中数学第二册[M].北京:人民教育出版社.2002.
[10]张云飞.几何综合推理与向量代数运算推理[J].数学通讯.2004(19).
[11]杜建森.法向量在立体几何解题中的妙用[J].数学教学研究.2004(5).
[12]邹波桥.空间向量[J].数学通讯.2004(14)(16).
[13]冯家惠等.空间向量在立体几何中的初步应用[J].数学通讯.2002(13).
由于立体几何问题主要是指图形的位置关系与度量关系问题,向量既具有“形”又具有“数”的特点,既联系几何知识又联系代数知识,因而通过向量的运算可以有效揭示空间图形的位置和数量关系,它是数形结合思想的深化和提高,向量方法指的是在向量观（坐标观）下,对图形中若干构成元素向量化后借助向量理论知识去解决一些问题的方法和过程,在这个过程中十分重要的一个问题就是如何科学合理地将其元素向量化,通过观察、联想、推导,使立体几何向量化,从而简化解题过程。
2.向量法解立体几何中点线面的位置关系问题
2.1根据共线向量定理证明点共线
以前我们学习了共线向量定理,即若向量与非零向量
共线的充要条件是有且仅有一个实数λ,使得.那么如何用此定理来证明点共线呢？请看下例。
例1已知,如图1,长方体AC1中,M为DD1的中点,N在AC上,且,E为BM的中点,求证 三点共线。
分析此题可以用勾股定理的方法,通过证明,从而达到证明 三点共线的,但比较烦琐,若利用向量知识,欲证点共线,通常先构造共始点的向量,再根据共线向量定理证之,
则比较简单.本题的关键是构设辅助向量。
证明:设 则
图1
故 三点共线
注:一般地.要证明三点共线.要么说明一点在另外两点所确定的直线上,要么说明三点中任意两点所确定的直线都是同一条直线。这里利用了空间共线向量基本定理来证明。
2.2根据相等向量证明线共点
欲证线线共点,可先在某线上找出一定点(常是唯一的特殊点),再证其余各线都过这一定点,如何利用相等向量来证明线共点,请看一例。
例2求证四面体不共面的三对棱的中点连成的三条线段相交于一点,且都在此点平分。
分析 此题若采用传统方法证明比较困难,但利用向量方法却容易得多,那么首先应构设辅助向量,然后利用结论1:VABC中,AD为BC边上的中线,则有,
证明:如图2,A-BCD四面体中,
依次是棱AB、BC、AC、CD、AD、BD的中点,
设 的中点
依次为 ,则
同理可推得
图2
故 重合,即 共点 于,且被点
平分。
注:在解决此类三线共点的问题时,我们可以采纳的方法其实很多,本题打破了常规,采用了向量法,解法独特新颖。
2.3根据共面向量定理及其推论证明线(或点)共面
在向量一章中我们学习了共面向量定理.即如果两个向量 不共线,则向量与向量 共面的充要条件是存在唯一的实数对x,y,使,以及它的推论,即空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在唯一的实数对x,y,使,现在用此定理及其推论来证明立体几何中三线共面和四点共面问题。
例3已知,如图3,E、F、G、H、K、L分别为正方体AC1的棱的AA1、AB、BC、CC1、A1D1中点,求证EF、GH、KL三线共面。
分析 初看此题一时难以下手,若利用共面向量定理证明则可轻松解决,本题也应先构设辅助向量。
证明:设
则
故EF、GH、KL三线共面。 图3
注释:一般来说,共面向量定理是向量法证三线共面的主要依据,而其推论是向量法证四点共面的有力武器,在运用它们解题时常需采用待定系数法进行求解,我们来看例4,
例4已知两个非零向量 不共线,如果
求证:A、B、C、D四点共面,
证明:假设存在x,y使得
则
即
解得
故由共面向量定理的推论知,A,B,C,D四点共面.
注:要证明三点共面,一般地我们只要证明一个点在另外三点所在平面内就可以了,这里用到了共面向量基本定理。
2.4根据共线向量定理证明两直线平行
欲证两直线平行.只需证明分别在两直线上的非零向量共线即可.这就要用到共线向量定理.
例5已知五边形ABCDE,M、N、P、Q分别是边AB、CD、BC、DE的中点,K、L分别MN、PQ是的中点,求证KL∥AE且 。
分析 此题采用常规方法比较困难.由于此题中有许多中点,可以联想到结论1,用向量方法去证明。
证明:任取一点o,则
故KL∥AE 图4
注释:本题的技巧性较强（如点o的引入）,它启发我们在利用向量处理这类问题时,需要善于观察和联想以及不断尝试,只有这样才能顺利解决问题。
2.5证明线面平行
证明线面平行的方法有多种,现介绍三种方法,它们都是利用向量知识来证明的,向量法证明线面平行给我们提供了一种新的思路。
第一,证明线面平行,可转化为证明直线与平面内一直线平行,即证明线线平行
例6（04高考,天津卷）如图5.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F,
证明PA∥平面EDB;
分析PA∥平面EDB要证,须证PA和平面EDB内一条直线平行,显然PA不平行于ED、EB、DB,所以应想到作辅助线,连结AC,
证明:如图所示建立空间直角坐标系,D为坐标原点,
设DA=a,连结于AC,AC交BD于G,连结EG,依题意得
Q底面是ABCD正方形,
∴G是此正方形的中心,故点G的坐标为
且
这表明PA∥EG而EG 平面EDB,且PA 平面EDB
∴PA∥平面EDB,
图5
注释:其实只要连结于AC,AC交BD于G,则有G为AC中点.又E是PC的中点,所以EG∥PA,从而使命题获证,本题告诉我们在用向量知识解决问题时,不应忘记有时需要按照传统方法作一些必要的辅助线,甚至直接用传统方法解决。
在教材第二册(下B)中有这样一句话:“如果,那么向量叫做平面a的法向量”,在教材和教师数学用书中有关平面法向量的介绍,仅此一句,易让人忽略,然而,它在解决立体几何问题中,却十分有用。
第二.证明线面平行,可转化为证明直线的方向向量与平面的法向量垂直。
例7已知矩形ABCD和矩形ADEF垂直,以AD为公共边,但它们不在同一平面上,M、N分别在对角线BD,AE上,且
证明:MN∥平面CDE
证明:如图6所示建立空间直角坐标系,A为坐标原点,
设 ,那么
因此又 为平面CDE的法向量且有 =0,故MN∥平面CDE
图6
注释: ,显然MN也不和CD,ED平行,很难由线线平行推出线面平行,此时转化为证明直线的方向向量与平面的法向量垂直,从而证明线面平行,化难为易。
共面向量定理不仅是向量法证三线共面的主要依据,而且共面向量定理及其推论也是证明线面平行的主要依据。
第三,利用共面向量定理及其推论证明线面平行
例8已知P是正方形ABCD平面外一点,M,N分别是PA,BD上的点,且 求证:直线MN∥平面PBC,
分析 此题不同于前两题,既难找到直线MN和平面PBC内的一条直线平行,也因为缺少有关数据,不易求得平面PBC的法向量,从而不能转证明直线的方向向量与平面的法向量垂直,只有另辟蹊径,利用共面向量定理及其推论证之。
证明: 如图7,设则
所以由共面向量定理知为共
平面PBC向量,又MN 平面PBC,
故直线∥平面PBC,
图7
2.6根据两非零向量的数量积为零证两直线垂直
我们知道若向量,向量, 则
或者若向量 ,向量 ,则 ,现在运用向量的这一坐标运算性质来证明两直线垂直。
例9（05高考.湖南卷）如图8,已知ABCD是上、下底边长分别为2和6,高为 的等腰梯形,将它沿对称轴OO1折成直二面角.如图9.证明 ;
分析 此题用传统方法证明不易下手.
若用向量方法去证则简单得多.只需证明
即可,首先必须建立三维直角
坐标系,然后写出各向量的坐标,
图8 图9
证明:由题设知 ,
所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角,即OA⊥OB,
故可以O为原点,OA,OB,OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴
建立空间直角坐标系,如图,则各相关点的坐标是A(3,0,0)、B(0,3,0)、C(0,3, )、O1(0,0, )从而
所以 ,
2.7证明线面垂直
线面垂直也可以采用向量法来证明.现在我们就两种具体方法的应用,来看看向量法证明线面垂直的优点所在.
(1）证明线面垂直,可转化为证明直线与平面内两相交直线垂直
例10 （05高考.全国卷II）如图10.四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥底面ABCD,AD=PD,E、F分别为CD、PB的中点。
求证:EF⊥平面PAB,
证明:以D为坐标原点,DA的长为单位.建立如下图
所示的直角坐标系,设E(a,0,0)其中a＞0则C(2a,0,0)
PBAB=B,∴EF⊥平面PAB,
图10
注释:本题可用向量法证明.也可用三垂线定理证明.但前者作为一种通法也是可取的.
（2）证明线面垂直,可转化为证明直线的方向向量与平面的法向量平行
例11已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G
分别是BC,CD和CC1的中点,求证:AC1⊥平面EFG
证明:以D为坐标原点建立如图11所示空间直角
坐标系D-xyz则有
设是平面EFG的一个法向量,则
AC⊥G平面EDG
图11
注释:从例11,C好方法,平面法向量的应用更是巧妙,它的求法可用待定系数法,一般设,再令其中一个为常数1.或直接设为,然后根据法向量的性质,联立方程组解之。
3总结
向量的基本思想方法是数形结合.空间向量既反映了现实世界的数量关系,又体现了几何图形的位置关系,从而将数与形有机地结合起来,是实现数形转化的有力工具.用空间向量解立体几何题, 将几何题中的逻辑推理转化为向量的代数运算.用定量的计算代替了定性的分析,从而有效地避开了立体几何中繁琐的位置关系的判断,并且思路清晰,表述简洁,为解决空间距离及证明垂直和平行等问题开辟了一条新途径. 其独特之处是形象化、算法化和简洁化.减少了辅助线的添加,降低解题难度.
3.1利用向量法的向量运算解立体几何问题的一般步骤
(1）构设辅助向量或基底向量;
(2）运用向量基本定理.向量的和与差及数性积等知识解决问题.
注:此方法可以不用建立直角坐标系.适用于某些特殊的几何体如平行六面体.
3.2利用向量法的坐标运算解立体几何问题的一般步骤
(1）建立适当的空间直角坐标系.直接以现成墙角模型（如长方体和正方体的角）建立坐标系.或者根据题目特点另建新的坐标系;
(2）写出相应点和向量的坐标.有时不好直接写出.需要用待定系数法先设出再计算;
(3）根据题目要求及相关公式进行向量的坐标运算;
(4）对运算结果进行分析得到题目的结论.
3.3向量代数运算推理与几何综合推理相结合
《教师教学用书》中指出“有了向量运算工具,很多较难的空间计算问题,就有了统一的方法求解,但如果全用向量处理夹角和距离问题,虽有统法,但有时在解决一些较难问题时.运算量较大并需要一定的技巧,学生掌握这些技能同样会有困难”所以在具体解题过程中何时选用向量代数运算推理与几何综合推理相应具体情况具体分析。
总之,我们的目的是为了有效快速地解决问题,在解题过程中,还需要不断探索与总结,以求找到最适合最简便的方法。
参考文献:
[1]蒋建伟.利用向量方法解立体几何问题[J].中学数学教学.2002(1).
[2]张定强.向量方法在研究几何问题中的作用探析[J].数学通报.2004(9).
[3]王峰.共面向量定理及其推论在立体几何中的应用初探[J].数学通讯.2005(11).
[4]祝辉.空间向量在立体几何中的应用[J].上海中学数学.2005(3).
[5]成玉华.用平面的法向量求空间角与距离[J].数学天地（高中版）.2005(4).
[6]赵南平.用向量法求空间距离的五条定理[J].中学生理科月刊.2005(5).
[7]唐国明.用平面法向量解立体几何题[J].湖南.
[8]万晓秀.向量思想方法在几何教学中的应用[J].安顺师范高等专科学校学报.2004(4).
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[10]张云飞.几何综合推理与向量代数运算推理[J].数学通讯.2004(19).
[11]杜建森.法向量在立体几何解题中的妙用[J].数学教学研究.2004(5).
[12]邹波桥.空间向量[J].数学通讯.2004(14)(16).
[13]冯家惠等.空间向量在立体几何中的初步应用[J].数学通讯.2002(13).