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摘要： 人们对美本身就有许多形容，有壮美、俊美、秀美、柔美、优美.文章通过列举多种经典例子来阐述数学美也呈现多样性，可分为：简洁美、对称美、和谐美、奇异美.其中和谐美最为突出，而和谐美中的黄金分割有着广泛的应用价值.
关键词：简洁性；对称性；奇异性；统一性；和谐性
大多数人都认为， 学习数学就是解题、解题再解题， 显得非常枯燥无味， 但当你细细品味慢慢体会的时候，你就会发现数学非常美而且美得妙不可言.美的不同表现形式有不同的形容： 壮美、俊美、秀美、柔美、优美.数学美也呈现多样性， 可分为： 简洁美、对称美、和谐美、奇异美.
一、数学美中的简洁性
简洁、有效、经济给人以美感，繁琐、臃肿、无谓的消耗则给人以相反的感觉.数学不愿意把一亿写成100000000，而要写成108，更不愿意把亿分之一写成 1100000000 ，而乐于写成10-8.数学总是追求简洁美，数学更以简洁而著称.例如数的表示：所有的数均可由0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 这十个符号来表示，这样书写也方便，运算也灵便.数学当中的符号也体现出简洁美，例如，未知量：x，y，z，…；已知量： π，e，a，b，c…； 函数关系：f（x），g（x） … ；运算符号：+，-， ×，÷， cos，sin，dydx，…；关系符号： ≤. 数学的简洁美，并不是指数学内容本身简单，而是指数学的表达形式、数学的证明方法和数学的理论体系的结构简洁.如数“1”，小至一个原子、粒子；大至一个太阳、一个宇宙……宇宙万物，均可以用“1”来表示[1 ].
二、数学美中的对称性
在古代“对称”一词的含义是“和谐”、“美观”.事实上，译自希腊语的这个词，原义是“在一些物品的布置时出现的般配与和谐”.毕达哥拉斯学派认为，一切空间图形中，最美的是球形；一切平面图形中，最美的是圆形.圆是中心对称图形——圆心是它的对称中心，圆也是轴对称图形――任何一条直径所在的直线都是它的对称轴.
图1 对称的图案，对称的建筑物，是到处可见的.绘画中利用对称，文字作品中也有对称手法.在数学中则表现在几何图形中有点对称，线对称，面对称.在几何图形中还有一些深层的对称美，如，共轭数（共轭复数，共轭空间），运算当中的交换律，分配律，函数与反函数运算；命题变换中的命题与逆命题；否命题与逆否命题.数学的对称美还表现在许多公式中，如，二项式定理展开式中系数构成的杨辉三角形[2 ]（如图1）.
三、数学美中的奇异性
奇异的东西能给人以美感，奇异之极是极美.难怪人们都想亲眼看一看“飞碟”.例如，每个三角形有6 个基本元素（3 边与3 角） 如果一个三角形的5 个基本元素与另一个三角形的5 个基本元素分别相等，那么这2 个三角形一定全等吗？ 出乎意料这两个三角形不一定全等！ 它们客观存在、理论上完全正确，却又如此出乎意料.学生一旦找到这对奇异三角形后，岂能感到不美！
笛卡儿创造的坐标法使数与形有机地结合起来.一个函数的性质可以通过其图象而得到启发或帮助证明，一个图形可用函数精确或近似的加以描述，互相利用，彼此促进，从而解决了很多理论和实际问题[3 ].
例如，将4叶玫瑰线ρ=sin2θ（0≤θ<2π），ρ= cos2θ（0≤θ<2π） 分别写成集合： A = { （ρ，θ） | ，ρ=sin2θ，0 ≤θ< 2π} ， B = { （ρ，θ） | ，ρ=cos2θ，0 ≤θ< 2π} .
A 、B 对应的图象如图2，3 所示，它们都有点像某些花朵，将A、B 绘于同一坐标系内，便得A ∪B 对应的图象如图4）.
图2 图3 图4 四、数学美中的统一性
数的概念从自然数，分数，负数，无理数，扩大到复数，经历了无数次坎坷，范围不断扩大了，在数学及其他学科的作用也不断地增大.那么，人们自然想到能否再把复数的概念继续推广.
英国数学家哈密顿苦苦思索了15年，没能获得成功.后来，他“被迫作出妥协”，牺牲了复数集中的一条性质，终于发现了四元数，即形为a1+a2i+a3j+a4k （a1 ，a2 ，a3 ，a4 为实数）的数，其中i、j、k如同复数中的虚数单位.若a3=a4 =0，则四元数a1+a2i+a3j+a4k 是一般的复数.四元数的研究推动了线性代数的研究，并在此基础上形成了线性代数理论.
数学的发展是逐步统一的过程.统一的目的也正如希尔伯特所说的：“追求更有力的工具和更简单的方法 ”.
爱因斯坦一生的梦想就是追求宇宙统一的理论.他用简洁的表达式E=mc2揭示了自然界中质能关系，这不能不说是一件统一的艺术品.但他还是没有完成统一的梦想.人类在不断探寻着纷繁复杂的世界，又在不断地用统一的观点认识世界，宇宙没有尽头，统一美也需要永远的追求.
五、数学美中的和谐性
极坐标方程：中学数学中的直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线在直角坐标系中，分别有各自的方程.然而，引进极坐标之后，这些曲线竟统一于一个简单的极坐标方程：ρ= ep1-ecosθ 这是和谐性的高度体现.
欧拉恒等式： eiπ+1=0 这个等式被评为2003年全世界自然科学界十大最美公式中的第一名.它美在哪儿，请看！“1”是自然数中最基本的正整数，“0”是复数系中最关键的整数，“π、e”是最常用、最重要的无理数，“i”却是虚数单位.这样几个复数系中最重要、最特殊的数将它和谐地统一在同一个等式中，多么奇妙、多么精彩、多么迷人，大有“神来之笔”之感，令人拍案叫绝.这不仅仅是数学家的一个伟大发现，而是数学本身所具有的内在和谐美[4 ].
黄金分割：和谐的比例中最负盛名的是为开普勒称为欧氏几何学两颗明珠之一的黄金分割.它成为人们普遍喜爱的美的比例，并为广泛应用.艺术家利用它塑造了令人赞叹的艺术珍品，科学家利用创造了丰硕的科技成果.象征黄金分割的五角星在欧洲也成为一种巫术的标志.这神圣的比例值也被抬高了身价，而被称为黄金数了，成了宇宙的美神.人体最优美的身段遵循着这个黄金分割比；令人心旷神怡的花凭借的也是这个美的密码，就连芭蕾舞艺术的魅力也离不开它.真是：哪里有黄金数，哪里就有美的闪光.
在我们庄严的国旗上，有金光闪闪的五角星.在其他国家的旗帜上或一些建筑物尖顶上，也常常看到五角星.五角星美观、庄重、和谐，是最受人们喜爱的几何图形之一.究其原因，是因为它与黄金比例有着密切的关系.
总之，数学的美， 还在于它丰富的文化内涵.在古罗马思想家那里，“文化”含有“灵魂的耕种、陶冶、修养的意思”， 即人必须经过陶冶， 才能不流于粗鄙.早在16 世纪末担任过伦敦市长的英国数学家兼教育家比林斯利就发现了数学具有美化人性的功能.他说：“许多艺术都能美化人们的心灵， 但却没有哪一门艺术能比数学更有效地修饰人们的心灵.”上一世纪欧洲的一些知名的教育家和哲学家还发现“数学具有制怒的作用”，“数学教育能使粗心的青少年变得细心， 能使性格粗暴的人变得温顺起来”，“数学还能教会人们客观地、公正地对待事物和处理问题”，“数学能杜绝人们的主观偏见， 还能激发人们对真理的热爱， 并能增长人们对追求真理”.
参考文献：
[1] 张楚延. 数学文化[M ]. 北京： 高等教育出版社， 1999： 49-54.
[2] 季素月. 中学数学能力培养研究[J ]. 长春： 东北师范大学出版社， 1999（2）.
[3] 刘云章，马复著. 数学直觉与发现[M] . 合肥：安徽教育出版社，1990.
[4] 钱宝琮. 中国数学史[M] . 合肥：安徽科学技术出版社，1981.
关键词：简洁性；对称性；奇异性；统一性；和谐性
大多数人都认为， 学习数学就是解题、解题再解题， 显得非常枯燥无味， 但当你细细品味慢慢体会的时候，你就会发现数学非常美而且美得妙不可言.美的不同表现形式有不同的形容： 壮美、俊美、秀美、柔美、优美.数学美也呈现多样性， 可分为： 简洁美、对称美、和谐美、奇异美.
一、数学美中的简洁性
简洁、有效、经济给人以美感，繁琐、臃肿、无谓的消耗则给人以相反的感觉.数学不愿意把一亿写成100000000，而要写成108，更不愿意把亿分之一写成 1100000000 ，而乐于写成10-8.数学总是追求简洁美，数学更以简洁而著称.例如数的表示：所有的数均可由0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 这十个符号来表示，这样书写也方便，运算也灵便.数学当中的符号也体现出简洁美，例如，未知量：x，y，z，…；已知量： π，e，a，b，c…； 函数关系：f（x），g（x） … ；运算符号：+，-， ×，÷， cos，sin，dydx，…；关系符号： ≤. 数学的简洁美，并不是指数学内容本身简单，而是指数学的表达形式、数学的证明方法和数学的理论体系的结构简洁.如数“1”，小至一个原子、粒子；大至一个太阳、一个宇宙……宇宙万物，均可以用“1”来表示[1 ].
二、数学美中的对称性
在古代“对称”一词的含义是“和谐”、“美观”.事实上，译自希腊语的这个词，原义是“在一些物品的布置时出现的般配与和谐”.毕达哥拉斯学派认为，一切空间图形中，最美的是球形；一切平面图形中，最美的是圆形.圆是中心对称图形——圆心是它的对称中心，圆也是轴对称图形――任何一条直径所在的直线都是它的对称轴.
图1 对称的图案，对称的建筑物，是到处可见的.绘画中利用对称，文字作品中也有对称手法.在数学中则表现在几何图形中有点对称，线对称，面对称.在几何图形中还有一些深层的对称美，如，共轭数（共轭复数，共轭空间），运算当中的交换律，分配律，函数与反函数运算；命题变换中的命题与逆命题；否命题与逆否命题.数学的对称美还表现在许多公式中，如，二项式定理展开式中系数构成的杨辉三角形[2 ]（如图1）.
三、数学美中的奇异性
奇异的东西能给人以美感，奇异之极是极美.难怪人们都想亲眼看一看“飞碟”.例如，每个三角形有6 个基本元素（3 边与3 角） 如果一个三角形的5 个基本元素与另一个三角形的5 个基本元素分别相等，那么这2 个三角形一定全等吗？ 出乎意料这两个三角形不一定全等！ 它们客观存在、理论上完全正确，却又如此出乎意料.学生一旦找到这对奇异三角形后，岂能感到不美！
笛卡儿创造的坐标法使数与形有机地结合起来.一个函数的性质可以通过其图象而得到启发或帮助证明，一个图形可用函数精确或近似的加以描述，互相利用，彼此促进，从而解决了很多理论和实际问题[3 ].
例如，将4叶玫瑰线ρ=sin2θ（0≤θ<2π），ρ= cos2θ（0≤θ<2π） 分别写成集合： A = { （ρ，θ） | ，ρ=sin2θ，0 ≤θ< 2π} ， B = { （ρ，θ） | ，ρ=cos2θ，0 ≤θ< 2π} .
A 、B 对应的图象如图2，3 所示，它们都有点像某些花朵，将A、B 绘于同一坐标系内，便得A ∪B 对应的图象如图4）.
图2 图3 图4 四、数学美中的统一性
数的概念从自然数，分数，负数，无理数，扩大到复数，经历了无数次坎坷，范围不断扩大了，在数学及其他学科的作用也不断地增大.那么，人们自然想到能否再把复数的概念继续推广.
英国数学家哈密顿苦苦思索了15年，没能获得成功.后来，他“被迫作出妥协”，牺牲了复数集中的一条性质，终于发现了四元数，即形为a1+a2i+a3j+a4k （a1 ，a2 ，a3 ，a4 为实数）的数，其中i、j、k如同复数中的虚数单位.若a3=a4 =0，则四元数a1+a2i+a3j+a4k 是一般的复数.四元数的研究推动了线性代数的研究，并在此基础上形成了线性代数理论.
数学的发展是逐步统一的过程.统一的目的也正如希尔伯特所说的：“追求更有力的工具和更简单的方法 ”.
爱因斯坦一生的梦想就是追求宇宙统一的理论.他用简洁的表达式E=mc2揭示了自然界中质能关系，这不能不说是一件统一的艺术品.但他还是没有完成统一的梦想.人类在不断探寻着纷繁复杂的世界，又在不断地用统一的观点认识世界，宇宙没有尽头，统一美也需要永远的追求.
五、数学美中的和谐性
极坐标方程：中学数学中的直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线在直角坐标系中，分别有各自的方程.然而，引进极坐标之后，这些曲线竟统一于一个简单的极坐标方程：ρ= ep1-ecosθ 这是和谐性的高度体现.
欧拉恒等式： eiπ+1=0 这个等式被评为2003年全世界自然科学界十大最美公式中的第一名.它美在哪儿，请看！“1”是自然数中最基本的正整数，“0”是复数系中最关键的整数，“π、e”是最常用、最重要的无理数，“i”却是虚数单位.这样几个复数系中最重要、最特殊的数将它和谐地统一在同一个等式中，多么奇妙、多么精彩、多么迷人，大有“神来之笔”之感，令人拍案叫绝.这不仅仅是数学家的一个伟大发现，而是数学本身所具有的内在和谐美[4 ].
黄金分割：和谐的比例中最负盛名的是为开普勒称为欧氏几何学两颗明珠之一的黄金分割.它成为人们普遍喜爱的美的比例，并为广泛应用.艺术家利用它塑造了令人赞叹的艺术珍品，科学家利用创造了丰硕的科技成果.象征黄金分割的五角星在欧洲也成为一种巫术的标志.这神圣的比例值也被抬高了身价，而被称为黄金数了，成了宇宙的美神.人体最优美的身段遵循着这个黄金分割比；令人心旷神怡的花凭借的也是这个美的密码，就连芭蕾舞艺术的魅力也离不开它.真是：哪里有黄金数，哪里就有美的闪光.
在我们庄严的国旗上，有金光闪闪的五角星.在其他国家的旗帜上或一些建筑物尖顶上，也常常看到五角星.五角星美观、庄重、和谐，是最受人们喜爱的几何图形之一.究其原因，是因为它与黄金比例有着密切的关系.
总之，数学的美， 还在于它丰富的文化内涵.在古罗马思想家那里，“文化”含有“灵魂的耕种、陶冶、修养的意思”， 即人必须经过陶冶， 才能不流于粗鄙.早在16 世纪末担任过伦敦市长的英国数学家兼教育家比林斯利就发现了数学具有美化人性的功能.他说：“许多艺术都能美化人们的心灵， 但却没有哪一门艺术能比数学更有效地修饰人们的心灵.”上一世纪欧洲的一些知名的教育家和哲学家还发现“数学具有制怒的作用”，“数学教育能使粗心的青少年变得细心， 能使性格粗暴的人变得温顺起来”，“数学还能教会人们客观地、公正地对待事物和处理问题”，“数学能杜绝人们的主观偏见， 还能激发人们对真理的热爱， 并能增长人们对追求真理”.
参考文献：
[1] 张楚延. 数学文化[M ]. 北京： 高等教育出版社， 1999： 49-54.
[2] 季素月. 中学数学能力培养研究[J ]. 长春： 东北师范大学出版社， 1999（2）.
[3] 刘云章，马复著. 数学直觉与发现[M] . 合肥：安徽教育出版社，1990.
[4] 钱宝琮. 中国数学史[M] . 合肥：安徽科学技术出版社，1981.