二元一次不等式表示平面区域的判断

• 作 者: 邢文举
• 出 处: 青苹果
• 发表日期: 2007年6期
• 关键词: 二元一次不等式 平面区域 判断错误 二元一次方程 不等式组 已知点 导学

　　二元一次方程Ax+By+C=0(B≠0)表示的直线L将平面分成上、下两部分，则不等式Ax+By+C＞0（或＜0）表示哪一部分，是同学们经常判断错误的。下面给出两种较为简单的判别方法：
　　
　　一、B＞0时，Ax+By+C＞0表示L上方部分区域，Ax+By+C＜0表示L下方部分区域；B＜0时，Ax+By+C＞0表示L下方部分区域，Ax+By+C＜0表示L上方部分区域。
　　
　　二、在L将平面分成的两个区域的任一区域内取一点P0（x0，y0），若满足Ax0+By0+C＞0（或＜0），则该点所在的区域即为Ax+By+C＞0（或＜0）表示的区域，否则，该点所在的区域即为Ax+By+C＜0（或＞0）表示的区域。一般情况下，P0点可取一些特殊点，如原点、坐标轴上的点或已知点等。
　　例1 画出下列不等式表示的平面区域：
　　（1）3x-2y＞0;（2）-2x+y-2≤0;（3）-3x-y+2≤0。
　　解 方法一 （1）∵B=-2＜0,∴3x-2y＞0表示直线3x-2y=0的下方区域，如图1A所示；
　　（2）∵B=1＞0,∴-2x+y-2≤0表示直线-2x+y-2=0的下方区域，如图1B所示；
　　（3）∵B=-1＜0,∴-3x-y+2≤0表示直线-3x-y+2=0的上方区域，如图1C所示。
　　
　　
　　方法二 （1）取点P0（1，0），∵ 3×1-2×0＞0,∴ P0点所在直线3x-2y=0的下方区域为3x-2y＞0表示的区域；
　　（2）取点O（0，0），∵ -2×0+0-2＜0,∴原点O所在直线-2x+y-2=0的下方区域为-2x+y-2≤0表示的区域；
　　（3）取点O（0，0），∵ 3×0-0+2=2＞0，∴原点O所在直线3x-y+2=0的下方区域为3x-y+2＞0表示的区域，而3x-y+2≤0则表示直线3x-y+2=0的上方区域。
　　例2 由直线L1：x+y+2=0;L2：x+2y+1=0和L3：2x+y+1=0围成一个三角形区域，求表示该区域（含边界）的不等式组。
　　解 如图2所示，取原点O（0，0）。
　　∵ 0+0+2＞2,
　　∴ L1的上方可用x+y+2＞0表示。
　　又0+2×0+1＞1,
　　∴ L2的下方可用x+2y+1＜0表示。
　　又2×0+0+1＞0,
　　∴ L3的下方可用2x+y+1＜0表示。
　　∴ 由L1、L2、L3围成的三角形区域（含边界）可用下列不等式组表示：
　　x+y+2≥0,x+2y+1≤0,2x+y+1≤0。
　　对方程Ax+By+C=0,当B=0时，L：x=- 将平面分成左、右两部分，x＞- 表示L的右侧部分，x＜- 表示L的左侧部分，较易判断。
　　
　　“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。