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一、引言
广东是中国改革开放和现代化建设先行一步的地区，随着党的十九大作出中国经济已由高速增长阶段转向高质量发展阶段的重大判断，分析评价广东省各城市经济质量的发展状况，对推动全省整体经济的高质量发展具有重大意义。本文以广东省21个主要城市为研究对象，在“创新、协调、绿色、开放、共享”发展理念的基础上，构建了包含5个一级指标共14个二级指标的广东省经济发展质量评价指标体系，运用因子——聚类分析对广东省各城市的经济发展质量做出客观评价。
二、理论基础
（一）因子分析
因子分析是从研究变量内部相关的依赖关系出发，将具有错综复杂关系的变量综合为较少的几个因子，体现原始变量和因子之间的关系，同时还可以根据不同因子对变量进行分类。因子分析通过对变量的相关系数矩阵内部结构的研究，找出少数几个随机变量去描述多个变量之间的相关关系。然后根据相关性的大小把变量分组，使同组内变量间的相关性较高，不同组间的变量相关系较低。
因子分析的数学模型为：
其矩阵形式为：
且满足：
其中，是可实测的p个指标所构成的p维随机向量，是X的公共因子;为因子载荷，是第i个变量在第j个公共因子上的负荷;矩阵A为因子载荷矩阵;称为X的特殊因子。
在因子模型中，用回归的思想求出线性组合系数的估计值，即建立如下以公共因子为因变量、原始变量为自变量的回归方程：
此处原始变量与公共因子变量均为标准化的，因此回归方程中没有常数项。在最小二乘意义下，可以得到F的估计值：
（二）系统聚类分析
系统聚类法首先将每个样品单独看成一类，在规定类间距离的条件下，选择距离最小的一对合并成一个新类，并计算新类与其他类之间的距离，再将距离最近的两类合并，这样每次会减少一类，直到所有的样本合为一类为止。本文主要使用类平均法来定义类间距离。
类平均法定义两类之间的距离平方为这两类元素两两之间距离平方的平均，即：
设聚类到某一步将和合并为，则任一类与的距离为：
三、实证研究
（一）经济发展质量评价指标体系构建
在借鉴关于构建经济质量发展评价指标体系已有研究文献的基础[1-3]上，基于“创新、协调、绿色、开放、共享”的发展理念，构建了包含经济发展、科研技术、居民生活、对外开放和绿色环保5个一级指标共14个二级指标的广东省经济发展质量评价指标体系。
其中，经济发展包含的二级指标有：人均GDP（X1）、第三产业占GDP比重（X2）、固定资产投资（X3）;科研技术包含的二级指标有：科技支出占GDP的比重（X4）、高新技术产品产值（X5）、专利授权量（X6）;居民生活包含的二级指标有：人均可支配收入（X7）、人均消费支出（X8）、国内旅游收入占GDP比重（X9）;对外开放包含的二级指标有：进出口总额（X10）和实际使用外资占GDP比重（X11）;绿色环保包含的二级指标有：城市人均公园绿地面积（X12）、城市公共交通车辆标准运营数（X13）、城市污水处理率（X14）。
（二）数据选取
依据构建的广东省经济发展质量评价指标体系，从《广东统计年鉴2020》中选取2019年广东省各城市相关数据。其中，城市污水处理率使用2018年的数据。
（三）因子分析
在SAS软件中调用因子分析程序，根据方差贡献率选取适当数量的因子作为初始因子。由于前5个因子的累计贡献率达到了94.3%，本文取前5个因子作为初始因子。由于因子载荷矩阵中元素的绝对值向0、1分化不明显，本文利用正交方差最大旋转法进行因子旋转，采用旋转因子作为最终的公因子。
最终的因子得分函数为：
F1=0.003Y1-0.062Y2+0.131Y3+0.065Y4+0.264Y5+0.221Y6+0.022Y7+0.009Y8-0.078Y9+0.266Y10-0.260Y11-0.135Y12+0.168Y13-0.001Y14;
F2=0.282Y1+0.053Y2-0.124Y3+0.259Y4-0.154Y5-0.166Y6+0.154Y7+0.190Y8-0.093Y9-0.176Y10+0.707Y11-0.232Y12-0.193Y13-0.140Y14;
F3=-0.054Y1+0.024Y2+0.198Y3-0.184Y4-0.167Y5-0.056Y6+0.116Y7+0.076Y8-0.096Y9-0.220Y10-0.217Y11+1.043Y12+0.097Y13-0.137Y14;
F4=-0.011Y1+0.712Y2+0.165Y3-0.147Y4-0.150Y5+0.037Y6-0.056Y7-0.025Y8+0.466Y9-0.094Y10+0.142Y11-0.089Y12+0.203Y13-0.012Y14;
F5=-0.090Y1-0.024Y2-0.196Y3-0.044Y4-0.089Y5+0.047Y6-0.077Y7-0.068Y8+0.073Y9+0.189Y10+0.002Y11-0.077Y12+0.014Y13+1.043Y14;
其中Yi是Xi標准化以后的变量。
以旋转后的方差贡献率为权数构造综合因子得分函数为：
F综=（6.723F1+2.726F2+1.405F3+1.269F4+1.080F5）/13.203
根据因子得分函数和综合因子得分函数，计算出广东省各城市的综合得分及各个公共因子得分，按照综合得分从大到小排列，得到广东省21个城市的综合评价结果（见表1）。
（四）聚类分析 采用系统聚类法，将综合因子得分输入，在SAS软件中编写并运行程序，得到广东省21个城市经济质量发展水平的聚类分析图。根据聚类分析图，取分类的阈值为0.3，结合综合因子得分样品值排名顺序给出相应共性分類为：第一类为深圳，第二类为广州，第三类为东莞、佛山和珠海，第四类为中山、惠州、江门、汕头，第五类为肇庆、清远、汕尾、阳江、湛江、揭阳、韶关、梅州、茂名、河源、云浮和潮州。
四、分析与结论
由表1可知，深圳、广州、东莞和珠海在广东省内的综合排名分别为第1、2、3和5名，深圳、广州、东莞和珠海均位于广东省的沿海地区，地理位置优越，经济发展起步相对于广东省内陆城市来说较早，经济高质量发展水平较高;佛山位于广东省中部，地处珠三角腹地，毗邻港澳，东接广州，深受广州经济与社会发展的影响，综合排名为第4名，经济高质量发展水平相对较高。河源、云浮和潮州综合排名居倒数三位，这三个城市分别位于广东省的北部、西部和东部，经济发展质量水平较低。深圳的综合得分最高（1.8046），潮州的综合得分最低（-0.4878），相差为2.2924，表明广东省各城市间的经济发展质量水平存在着较大的差距，经济发展质量在各城市之间不平衡。
表1中数据显示：第一类城市中深圳综合因子得分为1.8，排名第1。但其居民生活水平F3的值排名为倒数第1。可见深圳虽然经济发展质量水平最高，但其居民生活水平并不高。
第二类城市中的广州综合因子得分为1.1，排名第2。其居民生活水平F3和经济发展水平F4均排名第1，科研技术水平F1的值为1.1，排名第2，但其绿色环保水平F5为-0.4，排名为第15。可见广州是一个经济发展水平和居民生活水平均较高、但绿色环保水平较低的城市。
第三类城市中的东莞、佛山和珠海综合因子得分分别为0.5、0.4和0.3（排名为3、4和5）。这三个城市的共同点为居民生活水平F3相对来说较高，分别排第2、5和7名。东莞和佛山的科研技术水平F1值分别排名第4和第3，但其经济发展水平F4值分别排第21和第20。可见东莞和佛山是科研技术水平和居民生活水平均较高，但经济发展水平较低的城市。其中，佛山的绿色环保水平F5值为-1.8，排名倒数第2，可见佛山这座城市的绿化水平有待提高。珠海的对外开放水平F2值排名第1，但其科研技术水平F1值排名倒数第1，可见珠海的对外开放水平虽然很高，但其科研技术水平较低，珠海的发展应更多地向科研技术倾斜。
第四类城市中的中山、惠州、江门和汕头综合因子得分分别为0.2、0.1、-0.1和-0.2（排名为第6-第9）。这四个城市的共同点是经济发展水平较低，F4值排名为第17、19、11和10。其中，中山、惠州和江门的对外开放水平较高，F2值分别排名为第2、第3和第4，这与其地处沿海地区有关。中山、惠州和汕头的绿色环保水平较高，F5值分别排名为第1、第7和第8。
第五类城市综合因子得分排名均在第10名及之后。第五类城市的共同点是科研技术水平和对外开放水平较低，其F1值和F2值普遍偏低。第五类城市中的肇庆、茂名和湛江居民生活水平较高，F3值分别排名第3、第4和第6，可见肇庆、茂名和湛江是适合生活的城市。但这三个城市的经济发展水平较低，F4值排名分别为第18、16和13。可见肇庆、茂名和湛江这三个城市的经济发展还有很大的提升空间。揭阳和潮州这两个城市在科研技术、对外开放、居民生活和绿色环保水平上较为相似，其科研技术水平F1值分别排第8和第9，对外开放水平F2值排名第9和第10，居民生活水平F3值排名分别为第17和第20，绿色环保水平F5值排名为倒数第一和倒数第三。
综合以上分析，对于第一类城市，应着重提高居民生活水平;对于第二类城市，应重点提高其绿色环保水平;对于第三类城市，在维持较高的居民生活水平的同时，经济发展政策应向科研技术和经济发展倾斜;对于第四类城市，在保持各城市特色的同时，应大力提高整体的经济发展水平;对于第五类城市，既要在各方面实现全面发展，又要有所侧重，重点提高其经济发展水平和居民生活水平。
参考文献：
[1]徐丽婷，姚士谋，陈爽，徐羽.高质量发展下的生态城市评价——以长江三角洲城市群为例[J].地理科学，2019，39（8）：1228-1237.
[2]孟祥兰，邢茂源.供给侧改革背景下湖北高质量发展综合评价研究——基于加权因子分析法的实证研究[J].数理统计与管理，2019，38（4）：675-687.
[3]华坚，胡金昕.中国区域科技创新与经济高质量发展耦合关系评价[J].科技进步与对策，2019，36（8）：19-27.
作者单位：华南师范大学数学科学学院
广东是中国改革开放和现代化建设先行一步的地区，随着党的十九大作出中国经济已由高速增长阶段转向高质量发展阶段的重大判断，分析评价广东省各城市经济质量的发展状况，对推动全省整体经济的高质量发展具有重大意义。本文以广东省21个主要城市为研究对象，在“创新、协调、绿色、开放、共享”发展理念的基础上，构建了包含5个一级指标共14个二级指标的广东省经济发展质量评价指标体系，运用因子——聚类分析对广东省各城市的经济发展质量做出客观评价。
二、理论基础
（一）因子分析
因子分析是从研究变量内部相关的依赖关系出发，将具有错综复杂关系的变量综合为较少的几个因子，体现原始变量和因子之间的关系，同时还可以根据不同因子对变量进行分类。因子分析通过对变量的相关系数矩阵内部结构的研究，找出少数几个随机变量去描述多个变量之间的相关关系。然后根据相关性的大小把变量分组，使同组内变量间的相关性较高，不同组间的变量相关系较低。
因子分析的数学模型为：
其矩阵形式为：
且满足：
其中，是可实测的p个指标所构成的p维随机向量，是X的公共因子;为因子载荷，是第i个变量在第j个公共因子上的负荷;矩阵A为因子载荷矩阵;称为X的特殊因子。
在因子模型中，用回归的思想求出线性组合系数的估计值，即建立如下以公共因子为因变量、原始变量为自变量的回归方程：
此处原始变量与公共因子变量均为标准化的，因此回归方程中没有常数项。在最小二乘意义下，可以得到F的估计值：
（二）系统聚类分析
系统聚类法首先将每个样品单独看成一类，在规定类间距离的条件下，选择距离最小的一对合并成一个新类，并计算新类与其他类之间的距离，再将距离最近的两类合并，这样每次会减少一类，直到所有的样本合为一类为止。本文主要使用类平均法来定义类间距离。
类平均法定义两类之间的距离平方为这两类元素两两之间距离平方的平均，即：
设聚类到某一步将和合并为，则任一类与的距离为：
三、实证研究
（一）经济发展质量评价指标体系构建
在借鉴关于构建经济质量发展评价指标体系已有研究文献的基础[1-3]上，基于“创新、协调、绿色、开放、共享”的发展理念，构建了包含经济发展、科研技术、居民生活、对外开放和绿色环保5个一级指标共14个二级指标的广东省经济发展质量评价指标体系。
其中，经济发展包含的二级指标有：人均GDP（X1）、第三产业占GDP比重（X2）、固定资产投资（X3）;科研技术包含的二级指标有：科技支出占GDP的比重（X4）、高新技术产品产值（X5）、专利授权量（X6）;居民生活包含的二级指标有：人均可支配收入（X7）、人均消费支出（X8）、国内旅游收入占GDP比重（X9）;对外开放包含的二级指标有：进出口总额（X10）和实际使用外资占GDP比重（X11）;绿色环保包含的二级指标有：城市人均公园绿地面积（X12）、城市公共交通车辆标准运营数（X13）、城市污水处理率（X14）。
（二）数据选取
依据构建的广东省经济发展质量评价指标体系，从《广东统计年鉴2020》中选取2019年广东省各城市相关数据。其中，城市污水处理率使用2018年的数据。
（三）因子分析
在SAS软件中调用因子分析程序，根据方差贡献率选取适当数量的因子作为初始因子。由于前5个因子的累计贡献率达到了94.3%，本文取前5个因子作为初始因子。由于因子载荷矩阵中元素的绝对值向0、1分化不明显，本文利用正交方差最大旋转法进行因子旋转，采用旋转因子作为最终的公因子。
最终的因子得分函数为：
F1=0.003Y1-0.062Y2+0.131Y3+0.065Y4+0.264Y5+0.221Y6+0.022Y7+0.009Y8-0.078Y9+0.266Y10-0.260Y11-0.135Y12+0.168Y13-0.001Y14;
F2=0.282Y1+0.053Y2-0.124Y3+0.259Y4-0.154Y5-0.166Y6+0.154Y7+0.190Y8-0.093Y9-0.176Y10+0.707Y11-0.232Y12-0.193Y13-0.140Y14;
F3=-0.054Y1+0.024Y2+0.198Y3-0.184Y4-0.167Y5-0.056Y6+0.116Y7+0.076Y8-0.096Y9-0.220Y10-0.217Y11+1.043Y12+0.097Y13-0.137Y14;
F4=-0.011Y1+0.712Y2+0.165Y3-0.147Y4-0.150Y5+0.037Y6-0.056Y7-0.025Y8+0.466Y9-0.094Y10+0.142Y11-0.089Y12+0.203Y13-0.012Y14;
F5=-0.090Y1-0.024Y2-0.196Y3-0.044Y4-0.089Y5+0.047Y6-0.077Y7-0.068Y8+0.073Y9+0.189Y10+0.002Y11-0.077Y12+0.014Y13+1.043Y14;
其中Yi是Xi標准化以后的变量。
以旋转后的方差贡献率为权数构造综合因子得分函数为：
F综=（6.723F1+2.726F2+1.405F3+1.269F4+1.080F5）/13.203
根据因子得分函数和综合因子得分函数，计算出广东省各城市的综合得分及各个公共因子得分，按照综合得分从大到小排列，得到广东省21个城市的综合评价结果（见表1）。
（四）聚类分析 采用系统聚类法，将综合因子得分输入，在SAS软件中编写并运行程序，得到广东省21个城市经济质量发展水平的聚类分析图。根据聚类分析图，取分类的阈值为0.3，结合综合因子得分样品值排名顺序给出相应共性分類为：第一类为深圳，第二类为广州，第三类为东莞、佛山和珠海，第四类为中山、惠州、江门、汕头，第五类为肇庆、清远、汕尾、阳江、湛江、揭阳、韶关、梅州、茂名、河源、云浮和潮州。
四、分析与结论
由表1可知，深圳、广州、东莞和珠海在广东省内的综合排名分别为第1、2、3和5名，深圳、广州、东莞和珠海均位于广东省的沿海地区，地理位置优越，经济发展起步相对于广东省内陆城市来说较早，经济高质量发展水平较高;佛山位于广东省中部，地处珠三角腹地，毗邻港澳，东接广州，深受广州经济与社会发展的影响，综合排名为第4名，经济高质量发展水平相对较高。河源、云浮和潮州综合排名居倒数三位，这三个城市分别位于广东省的北部、西部和东部，经济发展质量水平较低。深圳的综合得分最高（1.8046），潮州的综合得分最低（-0.4878），相差为2.2924，表明广东省各城市间的经济发展质量水平存在着较大的差距，经济发展质量在各城市之间不平衡。
表1中数据显示：第一类城市中深圳综合因子得分为1.8，排名第1。但其居民生活水平F3的值排名为倒数第1。可见深圳虽然经济发展质量水平最高，但其居民生活水平并不高。
第二类城市中的广州综合因子得分为1.1，排名第2。其居民生活水平F3和经济发展水平F4均排名第1，科研技术水平F1的值为1.1，排名第2，但其绿色环保水平F5为-0.4，排名为第15。可见广州是一个经济发展水平和居民生活水平均较高、但绿色环保水平较低的城市。
第三类城市中的东莞、佛山和珠海综合因子得分分别为0.5、0.4和0.3（排名为3、4和5）。这三个城市的共同点为居民生活水平F3相对来说较高，分别排第2、5和7名。东莞和佛山的科研技术水平F1值分别排名第4和第3，但其经济发展水平F4值分别排第21和第20。可见东莞和佛山是科研技术水平和居民生活水平均较高，但经济发展水平较低的城市。其中，佛山的绿色环保水平F5值为-1.8，排名倒数第2，可见佛山这座城市的绿化水平有待提高。珠海的对外开放水平F2值排名第1，但其科研技术水平F1值排名倒数第1，可见珠海的对外开放水平虽然很高，但其科研技术水平较低，珠海的发展应更多地向科研技术倾斜。
第四类城市中的中山、惠州、江门和汕头综合因子得分分别为0.2、0.1、-0.1和-0.2（排名为第6-第9）。这四个城市的共同点是经济发展水平较低，F4值排名为第17、19、11和10。其中，中山、惠州和江门的对外开放水平较高，F2值分别排名为第2、第3和第4，这与其地处沿海地区有关。中山、惠州和汕头的绿色环保水平较高，F5值分别排名为第1、第7和第8。
第五类城市综合因子得分排名均在第10名及之后。第五类城市的共同点是科研技术水平和对外开放水平较低，其F1值和F2值普遍偏低。第五类城市中的肇庆、茂名和湛江居民生活水平较高，F3值分别排名第3、第4和第6，可见肇庆、茂名和湛江是适合生活的城市。但这三个城市的经济发展水平较低，F4值排名分别为第18、16和13。可见肇庆、茂名和湛江这三个城市的经济发展还有很大的提升空间。揭阳和潮州这两个城市在科研技术、对外开放、居民生活和绿色环保水平上较为相似，其科研技术水平F1值分别排第8和第9，对外开放水平F2值排名第9和第10，居民生活水平F3值排名分别为第17和第20，绿色环保水平F5值排名为倒数第一和倒数第三。
综合以上分析，对于第一类城市，应着重提高居民生活水平;对于第二类城市，应重点提高其绿色环保水平;对于第三类城市，在维持较高的居民生活水平的同时，经济发展政策应向科研技术和经济发展倾斜;对于第四类城市，在保持各城市特色的同时，应大力提高整体的经济发展水平;对于第五类城市，既要在各方面实现全面发展，又要有所侧重，重点提高其经济发展水平和居民生活水平。
参考文献：
[1]徐丽婷，姚士谋，陈爽，徐羽.高质量发展下的生态城市评价——以长江三角洲城市群为例[J].地理科学，2019，39（8）：1228-1237.
[2]孟祥兰，邢茂源.供给侧改革背景下湖北高质量发展综合评价研究——基于加权因子分析法的实证研究[J].数理统计与管理，2019，38（4）：675-687.
[3]华坚，胡金昕.中国区域科技创新与经济高质量发展耦合关系评价[J].科技进步与对策，2019，36（8）：19-27.
作者单位：华南师范大学数学科学学院