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【摘要】数列极限概念作为高等数学引入的第一个又是较难的一个概念，处理得当，会对学生的高等数学学习起到事半功倍的作用。否则，会使多数学生失去对数学的兴趣，仅仅停留在被动掌握数学知识的层面上。本文就学生在学习数列极限概念时感到困惑的原因以及在教学中如何把握和理解极限概念等方面给予阐述。
【关键词】高等数学；极限概念；教学
极限思想是人们认识数学世界、解决数学问题的重要武器。数列极限是由初等数学向高等数学过渡的关键内容，它是由常量到变量、由具体到抽象、由有限到无限的桥梁，是整个微积分学的基础。能否对数列极限概念有深刻的理解，直接关系到学生今后学习高等数学的成败。本文就学生在学习数列极限概念时感到困惑的原因以及在教学中如何把握和理解极限概念等方面给予阐述。
一、极限概念难点形成的原因
1.极限概念的产生经历了漫长的探索过程
德国数学家与教育家F·克莱因（F.Klein，1849～1925）认为：学生在课堂上遇到的困难。在历史上必也为数学家所遇到。[1]今天学生们理解上的困惑，在一定意义上正是历史上思想困惑的逻辑“重演”。研究极限概念出现的数学史，我们发现，现代意义上精确极限概念的提出，经过了约两千五百年的时间。甚至微积分的主要思想确立之后，又经过漫长的一百五十多年，才有了现代意义下的极限概念。牛顿和莱布尼茨的微积分是不严格的，特别在使用无限小概念上的随意与混乱使他们的学说从一开始就受到怀疑与批评。也正是这样的怀疑与批评，才使得18世纪的数学家们努力探索使微积分严格化的途径。欧拉和拉格朗日的著作在分析中引入了形式化观点，而达朗贝尔的极限观点则为微积分的严格表述提供了合理内核。直到19世纪，严格的极限理论才由法国数学家柯西初建，由德国数学家魏尔斯特拉斯完成。
由此可以看出，人类对极限的认识，经历了艰难漫长的探索过程，极限概念的难于理解，由此可见一斑。因之极限概念也成为教学中的一个难点。
2.学生的原认知水平较低
极限概念与学生在中学所接触过的数学概念在研究的对象，刻画的内容，语言的抽象程度和语言逻辑等方面都具有很大的差别，因此无论是研究的思维方式还是语言表达都与学习初等数学不同。由于刚进入大学的学生，其学习的方式方法和思维方式往往还停留在学习初等数学阶段，初等数学都是常量数学，被研究的量都是固定不变的，且都是有限的。因而学生习惯于用一种静态不变的观点来分析问题。而极限是一个无限过程，需要用运动、变化的观点来考察问题。学生在此之前接触的都是“有限”，很少涉及“无限”，完成从有限到无限这个思想的转化有一定的难度。
3.极限概念复杂的语法结构和高度抽象的定义
极限概念复杂的语法结构和高度抽象的定义都会增加学生学习的难度。对于极限概念的学习，菲尔兹奖获得者芒福得曾经这样描写学生的困境：“首先，由于使用了希腊字母和复杂的语法结构（对任意……存在……使当……时，便有……），学生会感到某些复杂事情一定在发生。最糟糕还是，尽管你在此后对它的含义给予了简单的描述，学生将依然确信更复杂的事情还会发生，否则你为什么把事情用这样难理解的方法描述呢?”[2]另外“”语言高度抽象的定义让大一普通学生来理解是有一定的难度的。
二、极限概念的教学方法
针对极限形成为难点的原因及本人在教学中的体会，极限概念的教学应从以下几个方面入手。
1.结合数学史体会极限思想
通过数学史知识使学生首先了解极限思想在现实生活中的实际用途，体会“无限”的思想，也提高学生的学习兴趣。例如，我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，就是极限思想在几何上的应用。其具体做法是这样的：在一个圆内，作它的内接正多边形，显然，这个正多边形的面积不会等于圆面积。然而，从几何直观上可以看出，只要正多边形的边数不断增加，这些正多边形的面积必将随着边数的增加而不断的接近圆面积。这个“不断接近”的过程就是一个极限过程。圆面积就是这一系列边数不断增加的内接正多边形面积的极限。课堂设计上可通过多媒体展现刘徽的割圆术，采用数形结合的方式使学生体会极限的思想。此外，这种通过数学史引入极限的方法，不仅激发学生的求知欲，而且渗透了数学文化教育。
2.重视描述性定义的教学
人们往往认为极限的描述性定义学生在中学就有所接触，故教学中只是一笔带过。但实际上，在多年的教学实践中我们体会到掌握极限的描述性定义是掌握“”语言的前提。相当一部分学生之所以不能顺利地接受“”语言，其原因除了“”语言本身的高度抽象性以外，对极限的描述性定义没有深刻领会是一个主要原因。
在保证概念严密性的情况下，用通俗易懂的语言深入分析极限的描述性定义往往有助于对概念的理解。描述性定义是整个概念学习的基础，可以从感性认识入手。先考察如下几个数列：
在这里可举的例子很多，但必须具有代表性，要典型、直观。最好不要一开始就给出极限不存在或为无穷大的例子。给出这样的三个数列，学生立即会得出：当无限增大时，数列无
限接近于0，数列无限接近于1，而数列无限接近于0。我
们撇开具体的数列和具体的常数，抓住它们的共性，从而归纳出数列极限的描述性定义：“对于数列，如果存在常数，当项数无限增大时，数列的项无限接近于常数，就把叫做数列的极限。”这就是数列极限的描述性定义，它为高等数学的建立奠定了基础。这里得到的定义虽然比较粗糙，但容易与学生头脑中的观念建立联系，而且又为下一步学习严格定义建立了固定点，从而有利于实现学习的正迁移。
3.分析描述性定义从而得出精确定义
在极限概念的描述性定义中的“无限增大”与“无限接近”这些概念都是很模糊的。“无限增大”增大到什么程度；“无限接近”接近到什么程度，这些都要给出精确化的描述，如何用数学语言将这个思想表述出来是教学的重点。教师应当充分利用学生原认知结构中初等数学的有关知识经验改造新知，使新旧知识融为一体。在学习中，我们以数列为例分三步进行展开。第一
列极限的定义：设为一数列，如果存在常数，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，不等式都成立，那么称常数是数列的极限，或者称数列收敛于。
4.挖掘概念内涵，揭示本质属性
在给出数列极限的定义之后，还要进一步挖掘极限概念的内涵，揭示其本质属性：（1）定义中正数是任意给定的，它和一般变量的区别在于它是给定的，就是说在给定以前，人们可以随心所欲的取它为大于零的任何值，可一旦给定，就不变了。一般它可以取得任意小的意思就是与相差任意小的意思。（2）定义中的正整数是与任意给定的正数有关的，它随着的给定而选定。（3）在求极限时，重要的是，要能够找出，但没有必要找出最小的。（4）当时，不等式恒成立，指的是当时，所有的点都落在开区间内，而只有有限个点（至多只有个）在这区间以外。这也就是数列以为极限的几何意义。所以说，数列是否以为极限与它的前有限项是无关的。上述讨论对进一步认识极限的本质属性是完全必要的，在揭示内涵的过程中同化过程仍在继续，学生的知识更加系统化，认知结构也更加分化、更加完善。
最后，要及时安排典型例题，利用典型例题进行定义的巩固教学，由此加深对数列极限概念的理解和对“”语言的使用。
参考文献
[1]郑翔,金友良.融数学史于数学教育中[J].成都教育学院报,2004(7):29-30.
[2]陈跃.从历史的角度来讲微积分[J].高等数学研究,2005(11):47-50.
[3]同济大学数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2007:4.
作者简介：赵春婕（1982－），女，陕西西安人，陕西理工学院数学与计算机科学学院助教。
【关键词】高等数学；极限概念；教学
极限思想是人们认识数学世界、解决数学问题的重要武器。数列极限是由初等数学向高等数学过渡的关键内容，它是由常量到变量、由具体到抽象、由有限到无限的桥梁，是整个微积分学的基础。能否对数列极限概念有深刻的理解，直接关系到学生今后学习高等数学的成败。本文就学生在学习数列极限概念时感到困惑的原因以及在教学中如何把握和理解极限概念等方面给予阐述。
一、极限概念难点形成的原因
1.极限概念的产生经历了漫长的探索过程
德国数学家与教育家F·克莱因（F.Klein，1849～1925）认为：学生在课堂上遇到的困难。在历史上必也为数学家所遇到。[1]今天学生们理解上的困惑，在一定意义上正是历史上思想困惑的逻辑“重演”。研究极限概念出现的数学史，我们发现，现代意义上精确极限概念的提出，经过了约两千五百年的时间。甚至微积分的主要思想确立之后，又经过漫长的一百五十多年，才有了现代意义下的极限概念。牛顿和莱布尼茨的微积分是不严格的，特别在使用无限小概念上的随意与混乱使他们的学说从一开始就受到怀疑与批评。也正是这样的怀疑与批评，才使得18世纪的数学家们努力探索使微积分严格化的途径。欧拉和拉格朗日的著作在分析中引入了形式化观点，而达朗贝尔的极限观点则为微积分的严格表述提供了合理内核。直到19世纪，严格的极限理论才由法国数学家柯西初建，由德国数学家魏尔斯特拉斯完成。
由此可以看出，人类对极限的认识，经历了艰难漫长的探索过程，极限概念的难于理解，由此可见一斑。因之极限概念也成为教学中的一个难点。
2.学生的原认知水平较低
极限概念与学生在中学所接触过的数学概念在研究的对象，刻画的内容，语言的抽象程度和语言逻辑等方面都具有很大的差别，因此无论是研究的思维方式还是语言表达都与学习初等数学不同。由于刚进入大学的学生，其学习的方式方法和思维方式往往还停留在学习初等数学阶段，初等数学都是常量数学，被研究的量都是固定不变的，且都是有限的。因而学生习惯于用一种静态不变的观点来分析问题。而极限是一个无限过程，需要用运动、变化的观点来考察问题。学生在此之前接触的都是“有限”，很少涉及“无限”，完成从有限到无限这个思想的转化有一定的难度。
3.极限概念复杂的语法结构和高度抽象的定义
极限概念复杂的语法结构和高度抽象的定义都会增加学生学习的难度。对于极限概念的学习，菲尔兹奖获得者芒福得曾经这样描写学生的困境：“首先，由于使用了希腊字母和复杂的语法结构（对任意……存在……使当……时，便有……），学生会感到某些复杂事情一定在发生。最糟糕还是，尽管你在此后对它的含义给予了简单的描述，学生将依然确信更复杂的事情还会发生，否则你为什么把事情用这样难理解的方法描述呢?”[2]另外“”语言高度抽象的定义让大一普通学生来理解是有一定的难度的。
二、极限概念的教学方法
针对极限形成为难点的原因及本人在教学中的体会，极限概念的教学应从以下几个方面入手。
1.结合数学史体会极限思想
通过数学史知识使学生首先了解极限思想在现实生活中的实际用途，体会“无限”的思想，也提高学生的学习兴趣。例如，我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，就是极限思想在几何上的应用。其具体做法是这样的：在一个圆内，作它的内接正多边形，显然，这个正多边形的面积不会等于圆面积。然而，从几何直观上可以看出，只要正多边形的边数不断增加，这些正多边形的面积必将随着边数的增加而不断的接近圆面积。这个“不断接近”的过程就是一个极限过程。圆面积就是这一系列边数不断增加的内接正多边形面积的极限。课堂设计上可通过多媒体展现刘徽的割圆术，采用数形结合的方式使学生体会极限的思想。此外，这种通过数学史引入极限的方法，不仅激发学生的求知欲，而且渗透了数学文化教育。
2.重视描述性定义的教学
人们往往认为极限的描述性定义学生在中学就有所接触，故教学中只是一笔带过。但实际上，在多年的教学实践中我们体会到掌握极限的描述性定义是掌握“”语言的前提。相当一部分学生之所以不能顺利地接受“”语言，其原因除了“”语言本身的高度抽象性以外，对极限的描述性定义没有深刻领会是一个主要原因。
在保证概念严密性的情况下，用通俗易懂的语言深入分析极限的描述性定义往往有助于对概念的理解。描述性定义是整个概念学习的基础，可以从感性认识入手。先考察如下几个数列：
在这里可举的例子很多，但必须具有代表性，要典型、直观。最好不要一开始就给出极限不存在或为无穷大的例子。给出这样的三个数列，学生立即会得出：当无限增大时，数列无
限接近于0，数列无限接近于1，而数列无限接近于0。我
们撇开具体的数列和具体的常数，抓住它们的共性，从而归纳出数列极限的描述性定义：“对于数列，如果存在常数，当项数无限增大时，数列的项无限接近于常数，就把叫做数列的极限。”这就是数列极限的描述性定义，它为高等数学的建立奠定了基础。这里得到的定义虽然比较粗糙，但容易与学生头脑中的观念建立联系，而且又为下一步学习严格定义建立了固定点，从而有利于实现学习的正迁移。
3.分析描述性定义从而得出精确定义
在极限概念的描述性定义中的“无限增大”与“无限接近”这些概念都是很模糊的。“无限增大”增大到什么程度；“无限接近”接近到什么程度，这些都要给出精确化的描述，如何用数学语言将这个思想表述出来是教学的重点。教师应当充分利用学生原认知结构中初等数学的有关知识经验改造新知，使新旧知识融为一体。在学习中，我们以数列为例分三步进行展开。第一
列极限的定义：设为一数列，如果存在常数，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，不等式都成立，那么称常数是数列的极限，或者称数列收敛于。
4.挖掘概念内涵，揭示本质属性
在给出数列极限的定义之后，还要进一步挖掘极限概念的内涵，揭示其本质属性：（1）定义中正数是任意给定的，它和一般变量的区别在于它是给定的，就是说在给定以前，人们可以随心所欲的取它为大于零的任何值，可一旦给定，就不变了。一般它可以取得任意小的意思就是与相差任意小的意思。（2）定义中的正整数是与任意给定的正数有关的，它随着的给定而选定。（3）在求极限时，重要的是，要能够找出，但没有必要找出最小的。（4）当时，不等式恒成立，指的是当时，所有的点都落在开区间内，而只有有限个点（至多只有个）在这区间以外。这也就是数列以为极限的几何意义。所以说，数列是否以为极限与它的前有限项是无关的。上述讨论对进一步认识极限的本质属性是完全必要的，在揭示内涵的过程中同化过程仍在继续，学生的知识更加系统化，认知结构也更加分化、更加完善。
最后，要及时安排典型例题，利用典型例题进行定义的巩固教学，由此加深对数列极限概念的理解和对“”语言的使用。
参考文献
[1]郑翔,金友良.融数学史于数学教育中[J].成都教育学院报,2004(7):29-30.
[2]陈跃.从历史的角度来讲微积分[J].高等数学研究,2005(11):47-50.
[3]同济大学数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2007:4.
作者简介：赵春婕（1982－），女，陕西西安人，陕西理工学院数学与计算机科学学院助教。