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【摘要】几何证明是初中数学的难点和重点，掌握几何证明题的一般思路，探讨证明过程中的数学思维，总结几何证明的基本规律，是求解几何证明题的关键。本文认为八年级几何证明题有以下七种解题技巧：掌握概念夯基础、格式分明合规范、化繁为简分步骤、整合已知早预见、牵线搭桥作辅助、火眼金睛识隐形、玩转数字识典型。
【关键词】八年级；几何证明题；解题技巧
初中几何证明题入门难、解题难，这是许多学生在学习初中数学时的共识。特别是八年级的几何证明题，随着证明难度的增大，不少学生觉得解题时比较吃力，个别学生甚至连思考都没有就直接放弃。这不得不引起广大数学教师的高度重视。几何证明题之难既有客观因素，又有主观因素。客观因素包括题目本身难度较大、步骤较多、条件不足，主观因素则包括知识点掌握不到位、学习方法不得当、解题思路不清晰等。
掌握几何证明题的一般思路，探讨证明过程中的数学思维，总结几何证明的基本规律，是求解几何证明题的关键。笔者将结合自己的教学经验，谈谈八年级几何证明题的七种解题技巧。
一、掌握概念夯基础
数学家波士顿曾说：“概念的思考是数学的特色。”這句话说明了掌握概念对于数学学习的重要性。但实际情况是，许多学生认为只要会做题就可以了，概念、公理、定理不必牢记在心。其实这种想法是错误的。八年级的知识点越来越多，不少学生感到力不从心以致“消化不良”，其实症结就在于基础不扎实。俗话说，万丈高楼平地起，掌握概念、夯实基础才是明智之选。
例如，几何证明题中经常会出现这样一些已知条件：①OC是∠AOB的角平分线；②PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。上述已知条件包含了角平分线和垂线的概念，在证明之前，学生必须理解并掌握，才能做出正确的推理，从而准确地写出证明过程。
二、格式分明合规范
数学推理证明的书写格式有许多种，其中最基本的是演绎法，也就是从已知条件出发，根据已经学过的数学概念、公理、定理等知识进行推理，由“已知”得“推知”，由“推知”得“未知”，逐步推出求证的结论。初中数学教材里的定理证明和例题证明，大多数采用演绎法，其书写格式常用“因为……，所以……”（∵……，∴……）的句式，在学习几何证明时，首先要掌握基本的书写格式，做到规范化。
例1已知：如图，在△ABC中，BC∥AM，D是CA延长线上的一点，且∠B=∠DAM.求证：△ABC是等腰三角形.
证明：∵BC//AM（已知）
∴∠C=∠DAM（两直线平行，同位角相等）
∵∠B=∠DAM（已知）
∴∠B=∠C（等量代换）
∴AB=AC（等角对等边）
∴△ABC是等腰三角形（等腰三角形的定义）
如例1，在证明过程中，我们要准确使用数学符号语言，规范书写格式，同时明确“已知”与“推知”的因果关系，如此方能确保证明过程准确无误。
三、化繁为简分步骤
相比七年级，八年级几何证明题的已知条件更多，应用的知识点更多，求证的要求也更高，有些学生看到题目时手足无措，无从下手。实际上，只要我们花点心思，多点耐心，仔细审题，对解题步骤进行细化，就能够达到“化繁为简”的目的。
例2 已知：如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC. 求证：△BDE是等腰三角形。
证明：∵AD平分∠BAC（已知）
∴∠BAD=∠CAD
∵DE∥AC（已知）
∴∠EDA=∠CAD
∴∠BAD=∠EDA
∵AD⊥BD，垂足为点D，A（已知）
∴∠BDA=90°（垂直的定义）
∴∠BAD ∠B=90°（直角三角形中，两个锐角互余）
∠BAD ∠BDE=90°（直角的定义）
∴∠B=∠BDE（等量代换）
∴△BDE是等腰三角形（等角对等边）
如例2，我们可以把证明步骤细化为：①AD平分∠BAC；②AD⊥BD，垂足为点D，A；③DE∥AC。这三步是证明的基础，如此细分，题目也就简单很多了。
四、整合已知早预见
引用已知条件是几何证明常用的解题步骤，七年级的几何证明基本上是由一个“已知”得到一个“推知”，而八年级的几何证明则是由两个或三个“已知”得到一个“推知”。如果在引用时未能做好分析和预见，在证明过程中将会遭遇“条件不足或思路中断”的困境，使整个证明过程无法顺利完成。因此，在证明开始前应对已知条件进行整合。
例3 已知：如图，点P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D。求证：OC=OD.
证明：∵PC⊥OA，PD⊥OB（已知）
∴∠CPO=∠DPO=90°（垂直的定义）
∵点P是∠AOB平分线上的一点
PC⊥OA，PD⊥OB（已知）
∴PC=PD（三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等）
在RT△COP和RT△DOP中
PC=PD（已证）
OP=OP（公共边）
∴ Rt△COP≌Rt△DOP（HL）
∴OC=OD（全等三角形的对应边相等）
如例3，我们应深入理解题意，对已知条件“点P是∠AOB平分线上的一点”和“PC⊥OA，PD⊥OB”进行整合，对“Rt△COP≌Rt△DOP”的推论进行准确预见，这对于整个证明过程将起到很关键的作用。
五、牵线搭桥作辅助
七年级几何证明题相对简单、直接，因果关系明显，而八年级相对复杂得多，有些题目条件不足，无法顺利证明，此时需要找出能够补充的条件，画出能起辅助作用的辅助线，构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，搭起“已知”与“未知”的桥梁。 例4 已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD=CD。 求证：∠B=∠C。
证明：作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別为E，F
∵AD平分∠BAC（已知）
DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE=DF（角平分线上的点到两边距离相等）
∠BED=∠CFD=90°（垂直的定义）
在Rt△BDE和Rt△CDF中
BD=CD（已知）
DE=DF（已证）
∴Rt△BDE≌Rt△CDF
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）
如例4，在运用角平分线定理时，我们可以过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明。角平分线的辅助线一般有两种作法：①从角平分线上一点向两边作垂线或向其中一边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（在一侧的长边上截取短边）。通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其他情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目而定。
六、火眼金睛识隐形
七年级大部分几何证明题的已知条件和证明过程均简单、明了，而八年级则相对复杂一些，且经常条件不足，需要在平时通过多做习题积累经验，练就“火眼金睛”，发掘并识别题目的隐性条件。
例5 已知：如图，在△ABC中，AB = AC，DE∥BC。求证：△ADE是等腰三角形。
证明：∵AB = AC（已知）
∴∠B=∠C（等边对等角）
∵DE∥BC（已知）
∴∠B=∠E，∠D=∠C（两直线平行，内错角相等）
∴∠D=∠E（等量代换）
∴△ADE是等腰三角形（等角对等边）
隐性条件一般有公共边、公共角、邻补角，对顶角等，如例5，题目中有两个隐性条件：①两边相等；②两底角相等。在证明时我们要予以明确。同样，欲证明等边三角形，我们要明确三个隐性条件：①三边相等；②三个内角都相等；③有一角是60°的等腰三角形。在证明过程中，我们要善于发现题目中的隐性条件，从而提高解题效率。
七、玩转数字识典型
几何证明中也会出现数字类的题目，由于出现的频率较低且难度较大，学生普遍反映较难证明。其实只要我们细心观察，多加分析，积累解题经验，此类题目是可以攻破的。
例6 已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB，垂足为D。求证：AB=4BD。
证明：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°（已知）
∴ BC= AB（在直角三角形中，有一个角等于30°。
所对的直角边等于斜边的一半）
∵CD⊥AB，垂足为D（已知）
∴∠BDC=90°（垂直的定义）
在Rt△BCD中，∠ACB=90°，∠A=30°
∴BD= BC（在直角三角形中，有一个角等于300 ，所对的直角边等于你斜边的一半）
∴BD= AB（等量代换）
即AB=4BD
如例6，我们可以运用直角三角形定理进行证明，即在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。明确了这一点，题目也就迎刃而解了。
著名数学家维特根斯坦曾说：“数学是各式各样的证明技巧。”由此可见证明在数学学科中的重要性。八年级几何证明题虽然难度较大，但解题时是有方法可循的。在证明过程中，我们要认真审题，理解题意，从已知条件入手，找思路，找方法，掌握各种解题技巧，如此方能得心应手、事半功倍。
参考文献：
[1]张磊.数学教学技能导论[M].广州：暨南大学出版社，2015.
[2]林丽红.初中几何证明题解题技巧探析[J].中国培训，2015（10）.
[3]黎丽芬.初中几何证明题教学探究[J].基础教育研究，2018（4）.
【关键词】八年级；几何证明题；解题技巧
初中几何证明题入门难、解题难，这是许多学生在学习初中数学时的共识。特别是八年级的几何证明题，随着证明难度的增大，不少学生觉得解题时比较吃力，个别学生甚至连思考都没有就直接放弃。这不得不引起广大数学教师的高度重视。几何证明题之难既有客观因素，又有主观因素。客观因素包括题目本身难度较大、步骤较多、条件不足，主观因素则包括知识点掌握不到位、学习方法不得当、解题思路不清晰等。
掌握几何证明题的一般思路，探讨证明过程中的数学思维，总结几何证明的基本规律，是求解几何证明题的关键。笔者将结合自己的教学经验，谈谈八年级几何证明题的七种解题技巧。
一、掌握概念夯基础
数学家波士顿曾说：“概念的思考是数学的特色。”這句话说明了掌握概念对于数学学习的重要性。但实际情况是，许多学生认为只要会做题就可以了，概念、公理、定理不必牢记在心。其实这种想法是错误的。八年级的知识点越来越多，不少学生感到力不从心以致“消化不良”，其实症结就在于基础不扎实。俗话说，万丈高楼平地起，掌握概念、夯实基础才是明智之选。
例如，几何证明题中经常会出现这样一些已知条件：①OC是∠AOB的角平分线；②PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。上述已知条件包含了角平分线和垂线的概念，在证明之前，学生必须理解并掌握，才能做出正确的推理，从而准确地写出证明过程。
二、格式分明合规范
数学推理证明的书写格式有许多种，其中最基本的是演绎法，也就是从已知条件出发，根据已经学过的数学概念、公理、定理等知识进行推理，由“已知”得“推知”，由“推知”得“未知”，逐步推出求证的结论。初中数学教材里的定理证明和例题证明，大多数采用演绎法，其书写格式常用“因为……，所以……”（∵……，∴……）的句式，在学习几何证明时，首先要掌握基本的书写格式，做到规范化。
例1已知：如图，在△ABC中，BC∥AM，D是CA延长线上的一点，且∠B=∠DAM.求证：△ABC是等腰三角形.
证明：∵BC//AM（已知）
∴∠C=∠DAM（两直线平行，同位角相等）
∵∠B=∠DAM（已知）
∴∠B=∠C（等量代换）
∴AB=AC（等角对等边）
∴△ABC是等腰三角形（等腰三角形的定义）
如例1，在证明过程中，我们要准确使用数学符号语言，规范书写格式，同时明确“已知”与“推知”的因果关系，如此方能确保证明过程准确无误。
三、化繁为简分步骤
相比七年级，八年级几何证明题的已知条件更多，应用的知识点更多，求证的要求也更高，有些学生看到题目时手足无措，无从下手。实际上，只要我们花点心思，多点耐心，仔细审题，对解题步骤进行细化，就能够达到“化繁为简”的目的。
例2 已知：如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC. 求证：△BDE是等腰三角形。
证明：∵AD平分∠BAC（已知）
∴∠BAD=∠CAD
∵DE∥AC（已知）
∴∠EDA=∠CAD
∴∠BAD=∠EDA
∵AD⊥BD，垂足为点D，A（已知）
∴∠BDA=90°（垂直的定义）
∴∠BAD ∠B=90°（直角三角形中，两个锐角互余）
∠BAD ∠BDE=90°（直角的定义）
∴∠B=∠BDE（等量代换）
∴△BDE是等腰三角形（等角对等边）
如例2，我们可以把证明步骤细化为：①AD平分∠BAC；②AD⊥BD，垂足为点D，A；③DE∥AC。这三步是证明的基础，如此细分，题目也就简单很多了。
四、整合已知早预见
引用已知条件是几何证明常用的解题步骤，七年级的几何证明基本上是由一个“已知”得到一个“推知”，而八年级的几何证明则是由两个或三个“已知”得到一个“推知”。如果在引用时未能做好分析和预见，在证明过程中将会遭遇“条件不足或思路中断”的困境，使整个证明过程无法顺利完成。因此，在证明开始前应对已知条件进行整合。
例3 已知：如图，点P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D。求证：OC=OD.
证明：∵PC⊥OA，PD⊥OB（已知）
∴∠CPO=∠DPO=90°（垂直的定义）
∵点P是∠AOB平分线上的一点
PC⊥OA，PD⊥OB（已知）
∴PC=PD（三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等）
在RT△COP和RT△DOP中
PC=PD（已证）
OP=OP（公共边）
∴ Rt△COP≌Rt△DOP（HL）
∴OC=OD（全等三角形的对应边相等）
如例3，我们应深入理解题意，对已知条件“点P是∠AOB平分线上的一点”和“PC⊥OA，PD⊥OB”进行整合，对“Rt△COP≌Rt△DOP”的推论进行准确预见，这对于整个证明过程将起到很关键的作用。
五、牵线搭桥作辅助
七年级几何证明题相对简单、直接，因果关系明显，而八年级相对复杂得多，有些题目条件不足，无法顺利证明，此时需要找出能够补充的条件，画出能起辅助作用的辅助线，构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，搭起“已知”与“未知”的桥梁。 例4 已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD=CD。 求证：∠B=∠C。
证明：作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別为E，F
∵AD平分∠BAC（已知）
DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE=DF（角平分线上的点到两边距离相等）
∠BED=∠CFD=90°（垂直的定义）
在Rt△BDE和Rt△CDF中
BD=CD（已知）
DE=DF（已证）
∴Rt△BDE≌Rt△CDF
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）
如例4，在运用角平分线定理时，我们可以过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明。角平分线的辅助线一般有两种作法：①从角平分线上一点向两边作垂线或向其中一边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（在一侧的长边上截取短边）。通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其他情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目而定。
六、火眼金睛识隐形
七年级大部分几何证明题的已知条件和证明过程均简单、明了，而八年级则相对复杂一些，且经常条件不足，需要在平时通过多做习题积累经验，练就“火眼金睛”，发掘并识别题目的隐性条件。
例5 已知：如图，在△ABC中，AB = AC，DE∥BC。求证：△ADE是等腰三角形。
证明：∵AB = AC（已知）
∴∠B=∠C（等边对等角）
∵DE∥BC（已知）
∴∠B=∠E，∠D=∠C（两直线平行，内错角相等）
∴∠D=∠E（等量代换）
∴△ADE是等腰三角形（等角对等边）
隐性条件一般有公共边、公共角、邻补角，对顶角等，如例5，题目中有两个隐性条件：①两边相等；②两底角相等。在证明时我们要予以明确。同样，欲证明等边三角形，我们要明确三个隐性条件：①三边相等；②三个内角都相等；③有一角是60°的等腰三角形。在证明过程中，我们要善于发现题目中的隐性条件，从而提高解题效率。
七、玩转数字识典型
几何证明中也会出现数字类的题目，由于出现的频率较低且难度较大，学生普遍反映较难证明。其实只要我们细心观察，多加分析，积累解题经验，此类题目是可以攻破的。
例6 已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB，垂足为D。求证：AB=4BD。
证明：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°（已知）
∴ BC= AB（在直角三角形中，有一个角等于30°。
所对的直角边等于斜边的一半）
∵CD⊥AB，垂足为D（已知）
∴∠BDC=90°（垂直的定义）
在Rt△BCD中，∠ACB=90°，∠A=30°
∴BD= BC（在直角三角形中，有一个角等于300 ，所对的直角边等于你斜边的一半）
∴BD= AB（等量代换）
即AB=4BD
如例6，我们可以运用直角三角形定理进行证明，即在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。明确了这一点，题目也就迎刃而解了。
著名数学家维特根斯坦曾说：“数学是各式各样的证明技巧。”由此可见证明在数学学科中的重要性。八年级几何证明题虽然难度较大，但解题时是有方法可循的。在证明过程中，我们要认真审题，理解题意，从已知条件入手，找思路，找方法，掌握各种解题技巧，如此方能得心应手、事半功倍。
参考文献：
[1]张磊.数学教学技能导论[M].广州：暨南大学出版社，2015.
[2]林丽红.初中几何证明题解题技巧探析[J].中国培训，2015（10）.
[3]黎丽芬.初中几何证明题教学探究[J].基础教育研究，2018（4）.