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可视化教学是大学数学教育的一种重要方式，它能够激发和培养学生的学习兴趣，增强学生的自信心，训练和提高学生的直觉思维和创新思维能力，并有助于提高学生探究问题的能力。本文基于此，阐述了可视化教学在高等数学教育中的意义、教学实践中的具体操作和注意事项。
高等数学教育改革是工科高校新世纪课程教材改革的基础与核心，它部分承载着培养高质量、基础宽、能适应未来社会发展的复合型人才的基本任务。由于高等数学是一门课时不足两百，以逻辑性、抽象性、推理性、严密性著称的课程，如何将诸多定理和定义、公式以及解法和技巧等知识有效传授给学生，是每位大学数学教育工作者必须积极思考的重要课题。
可视化方法（visual method）独创性运用在复分析教材中[1]。该方法独特新颖，起点高，要求教师数学素质和修养高，能够大范围地运用代数、几何、分析和物理等现代知识和工具来进行比较直观地讲授。然而这种方法若不改进，将不适合用来讲授大一新生的高等数学课程。本文通过对可视化方法进行适当地改进和完善，提出了一种面向高等数学的教学方法——可视化教学法，它是借助物理、几何和分析等工具，在教学中综合应用各种教学工具，充分调动学生的各种感官，让学生直接或间接地感知具体的事物和形象，然后再通过有效导入、融汇形象化和抽象化教学，让学生由表及里、深入浅出地理解事物本质的一种教学方法。这种教学方法是直观化教学方法的延展[2-3]，是一种易被学生接受和理解的教学方法，如果教师能够合理利用和发挥，它不仅能够激发学生学习的兴趣和动机、培养学生思维能力和提高教师教学质量，而且能够大力推动高等数学教育不断向前发展。
一 可视化教学在高等数学教学实践中的意义
1 提高教学效率和质量、增强学生自信心和激发学生学习兴趣
高等数学是一门抽象性、系统性、严谨性的晦涩难懂的课程，对于刚刚步入大学生活的新生而言，他们的学习方法还比较初级，认识的对象主要限于能够演示、能够感知的“活灵活现”的事物，因此要理解这些抽象的理论和方法，必须要继承和发展中学时的教学方法（比如数形结合法等），更加迫切需要直观化的教学手段。通过可视化教学，学生脑海中能够从视觉上直观感知新鲜事物的外在特征（外延或表象），在教师的有效引导下加以抽象总结，逐步理解事物的共性特征（内涵或本质特征），最终不但能够引发学生积极思考，发展学生思维能力，而且课堂教学能取得事半功倍的教学效果。比如借助直观的几何图形、有趣的实物模型、幻灯片和现实生活中形象化的范例等感官认识和理性分析，不仅能够加强学生的认知和记忆能力，激发学生的学习动机和兴趣，有助于学生深刻理解高等数学中的抽象概念和思想方法，而且充分调动了学生自主学习的积极性，增强了学生的自信心，有利于培养学生发现、分析和解决问题的数学思维能力。
2 培养学生分析、解决问题的能力和锻炼创新思维
著名数学家波利亚说“发现问题比解决问题更重要”，这句名言启发我们：要想学好数学，就必须有一双敏锐的眼睛，需要观察、发现问题，探索问题的规律性东西。而可视化教学法正是结合直观化教学和抽象化教学，在数学问题创造过程中，先提供与问题相关联的物理或几何模型、现实生活中的案例等熟悉的素材，启发和引导学生主动观察发现事物表象特征，加工信息，挖掘出事物的内在的、本质的或规律性的东西。这种探究问题的过程能够培养学生的洞察力，锻炼学生分析问题和解决问题的能力，培养学生良好的直觉思维和逻辑思维。
二 可视化教学方法在高等数学教育中的实践应用与探索
1 有效运用直观教学与抽象教学
（1）加强直观教学在学生认知初级阶段的应用
直观化教学是可视化教学的一种表现方式，是指在教学中通过学生观察所学事物，或通过教师语言的形象描述，引导学生形成对所学事物、过程的清晰表象，丰富他们的感性知识，从而使他们能够正确理解书本知识，发展认识能力。教学直观性可分为实物直观、模像直观和语言直观。高等数学授课对象为大一新生，他们正处于大学学习起步的初级阶段，对许多问题的认知还限于感官认知，采用直观教学，符合他们对事物认识的基本规律，有利于他们对高等数学的入门学习。比如在讲授重积分概念时，通过制作幻灯片形象地演示事物的变化过程，让难以想象的立体事物变得形象直观，让概念更加清晰易于理解，达到扩大学生视野，发展学生思维能力的目的。再比如在讲授“极限”等抽象概念时，通过寓言“龟兔赛跑”问题，提出芝诺悖论“追龟”等有趣现象，通过动态化的演示，不但能激发学生的求知欲和兴趣，从物理直观上让学生明白极限过程是人们通过有限认识事物特征来揭示无限过程的本质，这正是人们探索宇宙运动和规律的基本思想和方法，而且还能解释几何上诸如“穷竭”“无限循环”许多类似现象和规律，使学生初步理解了极限思想，为后续的学习和理解高等数学诸如“微元法”的许多内容打下了坚实基础。
（2）运用直观教学和抽象教学，揭示事物的内在规律
直观教学通过模型、模具、图表、幻灯片、计算机模拟等形式，将物体形象地呈现在学习者面前。这种教学适合于感性认知能力强的学生，它具备诸如能够激发学生的求知欲望和兴趣、锻炼学生的观察力、课堂气氛好等优点。但它也有缺点，譬如占用课堂时间多，易延误教学进度和目标，削弱了学生学习的主体性，易使学生被直观的形象吸引了注意力，感官冲击力震撼，觉得很好“玩”，缺乏了主动加工信息的过程。而抽象教学法，需要教师具备较高素养，可以不借助各种教学工具、生动语言等将事物直观地展现出来，只需要通过逻辑性强的语言交流向学生传授知识。这种教学法是建立在师生具备良好的素养和理解力的基础上，适合于讲授给层次较高的学生。因此，在高等数学教学活动中，我们要在充分调研的基础上，根据学生的感官认识能力和思维能力，结合教学内容的难易程度，合理选择直观教学和抽象教学法。比如，如果课堂教学内容容易理解，容易在脑海中呈现出相应内容的外在表象特征，那么我们就不需要直观教学法;如果学生对课堂教学中的概念、定理证明思路等内容，我们可以选择直观和抽象教学的有效结合，先使用直观教学，让学生对事物有了感官认知后，再通过教师有效地启发和引导、抽象和总结，一起发现和挖掘这类事物的内在的规律和本质特征。总之，无论何种教学形式，都不可能适合于所有教学情境，直观并不是最终目的，而是手段。我们应该在实践教学中，将形象直观和抽象概括有效结合，帮助学生牢固地掌握所学的知识，使抽象的概念具体化、鲜明化，同时锻炼学生的观察力，发展学生的抽象思维能力，最终达到全面提高学生综合能力的目的。 2 借助几何、分析等工具，重视数形结合和类比、联想等思想方法的运用
高等数学中有些问题，如果仅局限于数的方面考虑，虽然能解决问题，但过程繁琐，甚至较为困难。若根据问题的条件与结论的内在联系，既分析数式特征，又揭示几何意义，使数量关系与空间形式巧妙而和谐地结合起来，往往能化繁为简。这就要求教师在教学中，从概念的几何背景入手，借助直观的几何图形引导和启发学生观察、分析，由具体逐步过渡到抽象，这将有助于学生理解抽象的概念。此外，高等数学的许多内容具有相似的结构和处理方法，教学中运用类比和联想能够让学生自主发挥能动性、锻炼分析和解决问题的能力。 比如讲授一元函数的积分和多元函数的重积分的定义时，都使用“分割、近似、求和、取极限”的微元法思想。再比如在微分学中值定理教学中，我们可以通过几何和物理两模型直观阐述各个中值定理的关系，然后通过抽象总结，挖掘出这些中值定理的内在规律是刻画端点弦和切线的一种“弦切”平行关系。
3 提高教师综合素养
可视化教学作为一种重要的教学手段，它既需要教师熟悉与高等数学相联系的许多几何、 代数、物理等较为宽广的理论知识，同时还需要教师及时掌握学生的认知和理解能力，熟悉一些数学软件的操作，并懂得如何利用现代化的教学手段精心设计课件。为了便于开展直观化和抽象化相结合教学，还要求教师会根据授课内容懂得如何选取一些趣味性和应用性强的几何素材或物理模型，会创设情境教学[4]。因此，只有教师课外不断学习和完善课件，才能从真正意义上开展可视化教学方法。
三 实施可视化教学应注意的事项
第一，加强对数学知识的来源、动机介绍，促进数学的趣味性和应用性。高等数学教材内容是通过数学知识的学术形态完美呈现出来，它展现精炼、简洁，省去了数学知识的背景描述和探索猜想思维过程，省去了数学知识隐含在内的数学思想方法的揭示。因此，教学中要求老师向学生展现出数学知识的教育形态，通过直观手段展现、讲解数学文化和数学实践应用，启迪学生抽象总结、发现和探究数学知识的本源。
第二，合理利用形象化与抽象化教学。高等数学课时紧凑，运用形象化教学时，需要教师利用多种教学资源和教学工具进行有序、有理地引导和展现，同时又不能影响教学的主要目标，这需要教师根据学生及时反馈的信息和认知能力，合理、酌情选择教学手段。
总之，可视化教学方法对高等数学教学具有重要的创新意义， 它的运用使高等数学枯燥的成分减少， 教学难度降低， 学生乐于接受，教学效果良好。从体现高等数学的严格公理化体系和培养学生数学素质的角度考虑， 应将形象的知识作为教学的切入点， 而将建立抽象的概念体系作为着眼点， 有效结合直观和抽象教学，这才是教学要实现的最终目标。
参考文献
[1]Tristan Needham. 复分析：可视化方法[M]. 齐民友，译. 北京：人民邮电出版社，2009.
[2]刘徐湘，胡弼成. 从感知到理智：现代直观性教学原则的意义扩展[J].教育学报，2012，8（2）.
[3]杨孝平，许春根. 加强直观性和应用性教学 提高大学数学教育质量[J].大学数学，2006，22（6）.
[4]赵林.大学数学课堂教学中课题引出模式探讨[J].皖西学院学报，2005，21（5）.
高等数学教育改革是工科高校新世纪课程教材改革的基础与核心，它部分承载着培养高质量、基础宽、能适应未来社会发展的复合型人才的基本任务。由于高等数学是一门课时不足两百，以逻辑性、抽象性、推理性、严密性著称的课程，如何将诸多定理和定义、公式以及解法和技巧等知识有效传授给学生，是每位大学数学教育工作者必须积极思考的重要课题。
可视化方法（visual method）独创性运用在复分析教材中[1]。该方法独特新颖，起点高，要求教师数学素质和修养高，能够大范围地运用代数、几何、分析和物理等现代知识和工具来进行比较直观地讲授。然而这种方法若不改进，将不适合用来讲授大一新生的高等数学课程。本文通过对可视化方法进行适当地改进和完善，提出了一种面向高等数学的教学方法——可视化教学法，它是借助物理、几何和分析等工具，在教学中综合应用各种教学工具，充分调动学生的各种感官，让学生直接或间接地感知具体的事物和形象，然后再通过有效导入、融汇形象化和抽象化教学，让学生由表及里、深入浅出地理解事物本质的一种教学方法。这种教学方法是直观化教学方法的延展[2-3]，是一种易被学生接受和理解的教学方法，如果教师能够合理利用和发挥，它不仅能够激发学生学习的兴趣和动机、培养学生思维能力和提高教师教学质量，而且能够大力推动高等数学教育不断向前发展。
一 可视化教学在高等数学教学实践中的意义
1 提高教学效率和质量、增强学生自信心和激发学生学习兴趣
高等数学是一门抽象性、系统性、严谨性的晦涩难懂的课程，对于刚刚步入大学生活的新生而言，他们的学习方法还比较初级，认识的对象主要限于能够演示、能够感知的“活灵活现”的事物，因此要理解这些抽象的理论和方法，必须要继承和发展中学时的教学方法（比如数形结合法等），更加迫切需要直观化的教学手段。通过可视化教学，学生脑海中能够从视觉上直观感知新鲜事物的外在特征（外延或表象），在教师的有效引导下加以抽象总结，逐步理解事物的共性特征（内涵或本质特征），最终不但能够引发学生积极思考，发展学生思维能力，而且课堂教学能取得事半功倍的教学效果。比如借助直观的几何图形、有趣的实物模型、幻灯片和现实生活中形象化的范例等感官认识和理性分析，不仅能够加强学生的认知和记忆能力，激发学生的学习动机和兴趣，有助于学生深刻理解高等数学中的抽象概念和思想方法，而且充分调动了学生自主学习的积极性，增强了学生的自信心，有利于培养学生发现、分析和解决问题的数学思维能力。
2 培养学生分析、解决问题的能力和锻炼创新思维
著名数学家波利亚说“发现问题比解决问题更重要”，这句名言启发我们：要想学好数学，就必须有一双敏锐的眼睛，需要观察、发现问题，探索问题的规律性东西。而可视化教学法正是结合直观化教学和抽象化教学，在数学问题创造过程中，先提供与问题相关联的物理或几何模型、现实生活中的案例等熟悉的素材，启发和引导学生主动观察发现事物表象特征，加工信息，挖掘出事物的内在的、本质的或规律性的东西。这种探究问题的过程能够培养学生的洞察力，锻炼学生分析问题和解决问题的能力，培养学生良好的直觉思维和逻辑思维。
二 可视化教学方法在高等数学教育中的实践应用与探索
1 有效运用直观教学与抽象教学
（1）加强直观教学在学生认知初级阶段的应用
直观化教学是可视化教学的一种表现方式，是指在教学中通过学生观察所学事物，或通过教师语言的形象描述，引导学生形成对所学事物、过程的清晰表象，丰富他们的感性知识，从而使他们能够正确理解书本知识，发展认识能力。教学直观性可分为实物直观、模像直观和语言直观。高等数学授课对象为大一新生，他们正处于大学学习起步的初级阶段，对许多问题的认知还限于感官认知，采用直观教学，符合他们对事物认识的基本规律，有利于他们对高等数学的入门学习。比如在讲授重积分概念时，通过制作幻灯片形象地演示事物的变化过程，让难以想象的立体事物变得形象直观，让概念更加清晰易于理解，达到扩大学生视野，发展学生思维能力的目的。再比如在讲授“极限”等抽象概念时，通过寓言“龟兔赛跑”问题，提出芝诺悖论“追龟”等有趣现象，通过动态化的演示，不但能激发学生的求知欲和兴趣，从物理直观上让学生明白极限过程是人们通过有限认识事物特征来揭示无限过程的本质，这正是人们探索宇宙运动和规律的基本思想和方法，而且还能解释几何上诸如“穷竭”“无限循环”许多类似现象和规律，使学生初步理解了极限思想，为后续的学习和理解高等数学诸如“微元法”的许多内容打下了坚实基础。
（2）运用直观教学和抽象教学，揭示事物的内在规律
直观教学通过模型、模具、图表、幻灯片、计算机模拟等形式，将物体形象地呈现在学习者面前。这种教学适合于感性认知能力强的学生，它具备诸如能够激发学生的求知欲望和兴趣、锻炼学生的观察力、课堂气氛好等优点。但它也有缺点，譬如占用课堂时间多，易延误教学进度和目标，削弱了学生学习的主体性，易使学生被直观的形象吸引了注意力，感官冲击力震撼，觉得很好“玩”，缺乏了主动加工信息的过程。而抽象教学法，需要教师具备较高素养，可以不借助各种教学工具、生动语言等将事物直观地展现出来，只需要通过逻辑性强的语言交流向学生传授知识。这种教学法是建立在师生具备良好的素养和理解力的基础上，适合于讲授给层次较高的学生。因此，在高等数学教学活动中，我们要在充分调研的基础上，根据学生的感官认识能力和思维能力，结合教学内容的难易程度，合理选择直观教学和抽象教学法。比如，如果课堂教学内容容易理解，容易在脑海中呈现出相应内容的外在表象特征，那么我们就不需要直观教学法;如果学生对课堂教学中的概念、定理证明思路等内容，我们可以选择直观和抽象教学的有效结合，先使用直观教学，让学生对事物有了感官认知后，再通过教师有效地启发和引导、抽象和总结，一起发现和挖掘这类事物的内在的规律和本质特征。总之，无论何种教学形式，都不可能适合于所有教学情境，直观并不是最终目的，而是手段。我们应该在实践教学中，将形象直观和抽象概括有效结合，帮助学生牢固地掌握所学的知识，使抽象的概念具体化、鲜明化，同时锻炼学生的观察力，发展学生的抽象思维能力，最终达到全面提高学生综合能力的目的。 2 借助几何、分析等工具，重视数形结合和类比、联想等思想方法的运用
高等数学中有些问题，如果仅局限于数的方面考虑，虽然能解决问题，但过程繁琐，甚至较为困难。若根据问题的条件与结论的内在联系，既分析数式特征，又揭示几何意义，使数量关系与空间形式巧妙而和谐地结合起来，往往能化繁为简。这就要求教师在教学中，从概念的几何背景入手，借助直观的几何图形引导和启发学生观察、分析，由具体逐步过渡到抽象，这将有助于学生理解抽象的概念。此外，高等数学的许多内容具有相似的结构和处理方法，教学中运用类比和联想能够让学生自主发挥能动性、锻炼分析和解决问题的能力。 比如讲授一元函数的积分和多元函数的重积分的定义时，都使用“分割、近似、求和、取极限”的微元法思想。再比如在微分学中值定理教学中，我们可以通过几何和物理两模型直观阐述各个中值定理的关系，然后通过抽象总结，挖掘出这些中值定理的内在规律是刻画端点弦和切线的一种“弦切”平行关系。
3 提高教师综合素养
可视化教学作为一种重要的教学手段，它既需要教师熟悉与高等数学相联系的许多几何、 代数、物理等较为宽广的理论知识，同时还需要教师及时掌握学生的认知和理解能力，熟悉一些数学软件的操作，并懂得如何利用现代化的教学手段精心设计课件。为了便于开展直观化和抽象化相结合教学，还要求教师会根据授课内容懂得如何选取一些趣味性和应用性强的几何素材或物理模型，会创设情境教学[4]。因此，只有教师课外不断学习和完善课件，才能从真正意义上开展可视化教学方法。
三 实施可视化教学应注意的事项
第一，加强对数学知识的来源、动机介绍，促进数学的趣味性和应用性。高等数学教材内容是通过数学知识的学术形态完美呈现出来，它展现精炼、简洁，省去了数学知识的背景描述和探索猜想思维过程，省去了数学知识隐含在内的数学思想方法的揭示。因此，教学中要求老师向学生展现出数学知识的教育形态，通过直观手段展现、讲解数学文化和数学实践应用，启迪学生抽象总结、发现和探究数学知识的本源。
第二，合理利用形象化与抽象化教学。高等数学课时紧凑，运用形象化教学时，需要教师利用多种教学资源和教学工具进行有序、有理地引导和展现，同时又不能影响教学的主要目标，这需要教师根据学生及时反馈的信息和认知能力，合理、酌情选择教学手段。
总之，可视化教学方法对高等数学教学具有重要的创新意义， 它的运用使高等数学枯燥的成分减少， 教学难度降低， 学生乐于接受，教学效果良好。从体现高等数学的严格公理化体系和培养学生数学素质的角度考虑， 应将形象的知识作为教学的切入点， 而将建立抽象的概念体系作为着眼点， 有效结合直观和抽象教学，这才是教学要实现的最终目标。
参考文献
[1]Tristan Needham. 复分析：可视化方法[M]. 齐民友，译. 北京：人民邮电出版社，2009.
[2]刘徐湘，胡弼成. 从感知到理智：现代直观性教学原则的意义扩展[J].教育学报，2012，8（2）.
[3]杨孝平，许春根. 加强直观性和应用性教学 提高大学数学教育质量[J].大学数学，2006，22（6）.
[4]赵林.大学数学课堂教学中课题引出模式探讨[J].皖西学院学报，2005，21（5）.