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“会上课，上好课”是教师永恒的职业追求。事实上，通过打磨课堂，做好课例研究，是促进专业成长的必由之路。那么，在打磨课堂的过程中，应关注哪几个要点呢？本文试结合具体案例作如下分析。
一、上位知识，把握课的高度
所谓上位知识，是指教师所具有的特定学科知识，与当下教学的数学知识之间是上下位的关系，既包括当下知识的源头，也包括当下知识的后续发展。
要把围绕一节课的上位数学知识与这节课的知识紧密联系在一起，才能帮助学生形成完整的知识结构。
案例1：“最小的偶数是（ ）”
每当教到这一节课，教师都要争论不休，有的教师认为：能被2整除的数，叫作偶数。所以0当然是偶数；还有的教师说，“因数和倍数”这一单元，研究的是非0的自然数，所以最小的偶数就是2了。
众说纷纭，相持不下。
那么这个问题的上位知识是什么呢？
2002年国际数学协会规定零为偶数；我国2004年也规定零为偶数。它既是正偶数与负偶数的分界线，又是正奇数与负奇数的分水岭。
但是到初中学习了负数，出现了负偶数时，0就不是最小的偶数了。
在“因数和倍数”这一单元，最小的偶数是2，在小学阶段，最小的偶数是0；到了初中就没有最小的偶数了。
如果我们把这些上位知识都理清了，那么最小的偶数是什么还要再争吗？
因为这个命题本身就是伪问题。对学生来说这只是阶段性的知识，根本没有探讨的价值。
教师只有拥有了上位知识，才能不迷惑于现在，不惧于将来。才能在制高点上看待我们的课堂，用发展的眼光看待学生。
二、加强理论指导，把握课的深度
我们知道，没有实践的理论是空洞的，没有理论指导的实践是盲目的。如果说教材是知识点的外显，那么背后的理论才是课堂教学的内核，谁对理论实践得越到位，离教学的本质就越近。
案例2：“认识方程”教学
“方程”是一个非常重要的数学概念和数学模型。什么是方程？教材的表达是：“含有未知数的等式，称为方程。”传统教学都是借助天平，引导学生列出含有未知数的等式，然后再让学生根据方程的特点：一是等式；二是含有未知数。反复强化练习。
例如，张齐华老师执教“认识方程”这一节课，设计了“猜年龄”的活动。引导学生体会什么是“方程”。
（1）师：我的年龄和他（指学生）的年龄之间有某一种关系，你们能不能通过这种关系，知道张老师的年龄？
①我的年龄减去20岁，我的年龄还比他大。
②我的年龄减去30岁，我的年龄比他小。
③我的年龄减去25岁，我的年龄就和他正好相等了。
（2）师：从数学的角度，我们再琢磨琢磨，把三种关系用含有字母的式子表示出来，看看大家还能发现什么？
板书：x-20>11，x-30<11，x-25=11。
师：比较一下，这三个式子有什么不同？
生：前面两个是“>”或“<”，最后一个是“=”。
师：最后一个就在未知数和已知数之间建立了一种什么关系？
生：等量关系。
（3）师：未知数和已知数之间建立的等量关系式，数学上我们就把它叫作——？
生：方程。
师：前面这两个式子叫方程吗？
生：不是。
师：为什么？
生：没有等号。
师：没有等号，也就是未知数和已知数之间没有——
生：等量关系。
师：这样看来，只有在未知数和已知数之间建立等量关系的式子才是——
生：方程。
传统教学注重方程的形式化表达，而张老师的课重点在“等量关系”，突破了以往套用这一概念、生硬地判断是否方程的教学模式，充分抓住方程的本质，重视模型的建构，彰显方程思想的魅力。
张老师这样教学背后的理论指导是什么？
（1）皮亚杰的“建构主义”：儿童是在与周围环境相互作用的过程中，逐步建构起关于外部世界的知识，从而使自身认知结构得到发展。
（2）建模思想：将实际问题经过分析、简化转化为一个数学问题，然后用适当的数学方法去解决。
张老师的“猜年龄”活动体现的就是这两种理论——重体验、重过程。这样的教学让学习不再浮于表面，直击教学本质，加强了课的深度。
三、对照课程标准，把握课的准度
数学课程标准是一个纲领性文件，解读指导性文件，直接影响整节课的方向。《数学课程标准》如同一把尺子，直接决定着课的精准度。
案例3：“图形中的规律”教学
此次，教材重新整合了这节课的内容，把“摆三角形”和“点阵中的规律”编为1课时，许多教师不明白，觉得本来就不好教的两个内容，合在一起，怎么可能一节课上完？
“摆三角形”就是计算所需要小棒的数量，“点阵中的规律” 就是要学生如何快速地计算出点阵的点数。许多教师把大部分精力花在了这些计算方法上面。为了理清同一图形可以用不同算式，并得到相同的结果，搞得师生筋疲力尽。
比如，在10秒内写出下面三个式题的答案。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 7 6 5 4 3 2 1=？
1 3 5 7 9 11 13 15=？
1 3 5 7 9 11 ……（共100个连续的单数相加）=？
其实，《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，“实践与综合应用”是帮助学生综合运用已有的知识和经验，以发展学生解决问题的能力。那么，这节课这两个教学素材到底有什么共通之处呢？其实，“摆三角形”和“点阵中的规律”都只是教学的一个载体，教材的真正用意是让学生体会“从简单入手，多角度观察”这一解决问题的策略。 四、把控学生起点，突破课的难度
找准学生知识和经验的起点， 才能突破一节课的教学难点。
案例4：“认识角”教学
问题：比角的大小为什么难学？
1.问卷调查
2.数据统计
3.个别访谈
师：为什么写等号？
生：不会做，就乱写一个。
生：图1比较粗，图比较小；图2比较细，比较大，变平等了。
生：因为两条边的宽度一样，都是平等的。
4.结论：比角的大小之所以难教，是因为学生受到了比图形大小的影响，比如，学生经常比谁更长，谁更大，谁更高。受这样的经验影响，学生在比角的时候，也只关注到图形的大小，而忽略角的本质概念的不同，这是生活经验的负迁移的表现。
找准了学生的学习困境成因之后，才能有的放矢地展开教学。那么，学生真的没有比角大小的生活经验吗？有的，如从比“张口”大小这一生活经验入手，引导学生比手臂、脚、手指展开的大小，体会“张口”的大小与两条边张开的大小有关，为比角的大小做好准备。
五、夯实课后评价，改进课的力度
案例5：“分数与除法”教学
例题：把1块蛋糕平均分给2个小朋友，每人可以分到几块蛋糕？如果把7块蛋糕平均分给3个小朋友呢？
教学一个月后，后测：
把4m长的绳子平均分成5段，每段长（ ）（准确率28.3%），每段是全长的（ ）（准确率76.7%）。
第1空错误的答案：五分之四（没带单位）占51.7%。
在教学中，侧重于引导学生理解分数与除法的关系，以及7块蛋糕平均分给3个小朋友的不同分法，忽略了分数的不同表意功能：一表示数量；二表示数量关系。学生并没有真正地理解分数的意义。这部分知识掌握不好，将直接影响到后面“百分数的意义”的学习。
所以说，课后评价是检查课堂教学效果的必要手段之一。通过后测和对学生访谈，才能避免被课堂“繁荣”的假象所迷惑，真正了解课堂教学的实效，加大课堂教学改进的力度。
六、加强教材比较，增加课的宽度
数学教材为学生学习一节课的内容提供了基本线索和知识结构， 它是重要的数学课程资源。不同版本的教材，同一教学素材就可能有不同的价值取向，通过不同版本教材的比较，多方借鉴，一节课实施起来才能左右逢源，才能增加一节课的宽度。
案例6：“鸡兔同笼”教学
人教版重在解决“鸡兔同笼”问题，建立数学模型；而北师大版则是作为载体，体会从简单入手和列表法解决问题的策略。
用北师大版教材教学时，学生在解决“鸡兔同笼”问题的过程中，不同水平的学生采用的方法不同，水平高的学生有可能摈弃列表法，采用假设法，但大部分学生还是会采用列表法解决问题，列表法虽然烦琐，但却具有广泛的迁移性和应用性。我们在课堂教学时应该在保底的基础上，允许个别学生有自己独特的想法。
加强教材比较，可以增加课的宽度。有了宽度，学生的学习多样化和个性化才能得到了充分的体现。
七、合理运用资料，寻找课的适度
在浩如烟海的杂志、教参、教学录像、网络资源等参考材料中，我们可以查到同一节课的多种教学设计方案。这时候，如何“甄别”就显得特别重要。笔者把这一过程比作是找一双合适的“鞋子”，也就是课的适合度。
案例7：“谁先走”教学
在教学情境的创设上，当确定“谁先走”的时候，有的选择“抛硬币”，有的选择“石头、剪子、布”，还有的选择“转转盘”等。
抛硬币相对比较简单，但受条件限制；石头、剪刀、布学生最熟悉，但分析起来比较复杂；转转盘直观，但费时费力。不同的选择，殊途同归。但是，不管选择哪一种情境，最终的目的都是让学生体会“可能性相等游戏才公平”的道理。
所以，在选择各种不同的教学设计时，重点要关注学生的南北差异和城乡差异，以及本班学生的实际情况，还有教师个人的教学风格。唯有这样，才能把这双合适的鞋子舒服地穿到课堂上去。
八、找准观课要点，追寻课的效度
一节课在实施的过程中是否有效，还需要实践的检验。检验的有效性，不能主观地臆测，切忌漫无边际的空谈。只有科学有效的评价方法，才能真实地检测一节课的效度。
1.观课要有明确分工
可以有针对性地设置几个观察点，对课堂教学进行观察。比如：教师顾及的学生面，课堂教学时间分配合理性，教师处理学生错误的方式，问题设置有效性的分析，课后学生访谈等。
2.议课要用数据说话
议课时，尽量避免主观臆测，可以多一些定量的分析，用数据说话。例如，可定量分析学生参与的人数、次数占全班的百分比。课堂教学时间分配，可定量分析，各教学环节占一节课时间的百分比。处理学生错误的方式可定量分析学生各种原因占错误总数的百分比。问题设置有效性的分析，可以定量分析有效问题与问题总数之间的百分比。课后学生访谈，可定量分析学生对教学的满意程度。
（福建省泉州市实验小学 362000）
一、上位知识，把握课的高度
所谓上位知识，是指教师所具有的特定学科知识，与当下教学的数学知识之间是上下位的关系，既包括当下知识的源头，也包括当下知识的后续发展。
要把围绕一节课的上位数学知识与这节课的知识紧密联系在一起，才能帮助学生形成完整的知识结构。
案例1：“最小的偶数是（ ）”
每当教到这一节课，教师都要争论不休，有的教师认为：能被2整除的数，叫作偶数。所以0当然是偶数；还有的教师说，“因数和倍数”这一单元，研究的是非0的自然数，所以最小的偶数就是2了。
众说纷纭，相持不下。
那么这个问题的上位知识是什么呢？
2002年国际数学协会规定零为偶数；我国2004年也规定零为偶数。它既是正偶数与负偶数的分界线，又是正奇数与负奇数的分水岭。
但是到初中学习了负数，出现了负偶数时，0就不是最小的偶数了。
在“因数和倍数”这一单元，最小的偶数是2，在小学阶段，最小的偶数是0；到了初中就没有最小的偶数了。
如果我们把这些上位知识都理清了，那么最小的偶数是什么还要再争吗？
因为这个命题本身就是伪问题。对学生来说这只是阶段性的知识，根本没有探讨的价值。
教师只有拥有了上位知识，才能不迷惑于现在，不惧于将来。才能在制高点上看待我们的课堂，用发展的眼光看待学生。
二、加强理论指导，把握课的深度
我们知道，没有实践的理论是空洞的，没有理论指导的实践是盲目的。如果说教材是知识点的外显，那么背后的理论才是课堂教学的内核，谁对理论实践得越到位，离教学的本质就越近。
案例2：“认识方程”教学
“方程”是一个非常重要的数学概念和数学模型。什么是方程？教材的表达是：“含有未知数的等式，称为方程。”传统教学都是借助天平，引导学生列出含有未知数的等式，然后再让学生根据方程的特点：一是等式；二是含有未知数。反复强化练习。
例如，张齐华老师执教“认识方程”这一节课，设计了“猜年龄”的活动。引导学生体会什么是“方程”。
（1）师：我的年龄和他（指学生）的年龄之间有某一种关系，你们能不能通过这种关系，知道张老师的年龄？
①我的年龄减去20岁，我的年龄还比他大。
②我的年龄减去30岁，我的年龄比他小。
③我的年龄减去25岁，我的年龄就和他正好相等了。
（2）师：从数学的角度，我们再琢磨琢磨，把三种关系用含有字母的式子表示出来，看看大家还能发现什么？
板书：x-20>11，x-30<11，x-25=11。
师：比较一下，这三个式子有什么不同？
生：前面两个是“>”或“<”，最后一个是“=”。
师：最后一个就在未知数和已知数之间建立了一种什么关系？
生：等量关系。
（3）师：未知数和已知数之间建立的等量关系式，数学上我们就把它叫作——？
生：方程。
师：前面这两个式子叫方程吗？
生：不是。
师：为什么？
生：没有等号。
师：没有等号，也就是未知数和已知数之间没有——
生：等量关系。
师：这样看来，只有在未知数和已知数之间建立等量关系的式子才是——
生：方程。
传统教学注重方程的形式化表达，而张老师的课重点在“等量关系”，突破了以往套用这一概念、生硬地判断是否方程的教学模式，充分抓住方程的本质，重视模型的建构，彰显方程思想的魅力。
张老师这样教学背后的理论指导是什么？
（1）皮亚杰的“建构主义”：儿童是在与周围环境相互作用的过程中，逐步建构起关于外部世界的知识，从而使自身认知结构得到发展。
（2）建模思想：将实际问题经过分析、简化转化为一个数学问题，然后用适当的数学方法去解决。
张老师的“猜年龄”活动体现的就是这两种理论——重体验、重过程。这样的教学让学习不再浮于表面，直击教学本质，加强了课的深度。
三、对照课程标准，把握课的准度
数学课程标准是一个纲领性文件，解读指导性文件，直接影响整节课的方向。《数学课程标准》如同一把尺子，直接决定着课的精准度。
案例3：“图形中的规律”教学
此次，教材重新整合了这节课的内容，把“摆三角形”和“点阵中的规律”编为1课时，许多教师不明白，觉得本来就不好教的两个内容，合在一起，怎么可能一节课上完？
“摆三角形”就是计算所需要小棒的数量，“点阵中的规律” 就是要学生如何快速地计算出点阵的点数。许多教师把大部分精力花在了这些计算方法上面。为了理清同一图形可以用不同算式，并得到相同的结果，搞得师生筋疲力尽。
比如，在10秒内写出下面三个式题的答案。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 7 6 5 4 3 2 1=？
1 3 5 7 9 11 13 15=？
1 3 5 7 9 11 ……（共100个连续的单数相加）=？
其实，《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，“实践与综合应用”是帮助学生综合运用已有的知识和经验，以发展学生解决问题的能力。那么，这节课这两个教学素材到底有什么共通之处呢？其实，“摆三角形”和“点阵中的规律”都只是教学的一个载体，教材的真正用意是让学生体会“从简单入手，多角度观察”这一解决问题的策略。 四、把控学生起点，突破课的难度
找准学生知识和经验的起点， 才能突破一节课的教学难点。
案例4：“认识角”教学
问题：比角的大小为什么难学？
1.问卷调查
2.数据统计
3.个别访谈
师：为什么写等号？
生：不会做，就乱写一个。
生：图1比较粗，图比较小；图2比较细，比较大，变平等了。
生：因为两条边的宽度一样，都是平等的。
4.结论：比角的大小之所以难教，是因为学生受到了比图形大小的影响，比如，学生经常比谁更长，谁更大，谁更高。受这样的经验影响，学生在比角的时候，也只关注到图形的大小，而忽略角的本质概念的不同，这是生活经验的负迁移的表现。
找准了学生的学习困境成因之后，才能有的放矢地展开教学。那么，学生真的没有比角大小的生活经验吗？有的，如从比“张口”大小这一生活经验入手，引导学生比手臂、脚、手指展开的大小，体会“张口”的大小与两条边张开的大小有关，为比角的大小做好准备。
五、夯实课后评价，改进课的力度
案例5：“分数与除法”教学
例题：把1块蛋糕平均分给2个小朋友，每人可以分到几块蛋糕？如果把7块蛋糕平均分给3个小朋友呢？
教学一个月后，后测：
把4m长的绳子平均分成5段，每段长（ ）（准确率28.3%），每段是全长的（ ）（准确率76.7%）。
第1空错误的答案：五分之四（没带单位）占51.7%。
在教学中，侧重于引导学生理解分数与除法的关系，以及7块蛋糕平均分给3个小朋友的不同分法，忽略了分数的不同表意功能：一表示数量；二表示数量关系。学生并没有真正地理解分数的意义。这部分知识掌握不好，将直接影响到后面“百分数的意义”的学习。
所以说，课后评价是检查课堂教学效果的必要手段之一。通过后测和对学生访谈，才能避免被课堂“繁荣”的假象所迷惑，真正了解课堂教学的实效，加大课堂教学改进的力度。
六、加强教材比较，增加课的宽度
数学教材为学生学习一节课的内容提供了基本线索和知识结构， 它是重要的数学课程资源。不同版本的教材，同一教学素材就可能有不同的价值取向，通过不同版本教材的比较，多方借鉴，一节课实施起来才能左右逢源，才能增加一节课的宽度。
案例6：“鸡兔同笼”教学
人教版重在解决“鸡兔同笼”问题，建立数学模型；而北师大版则是作为载体，体会从简单入手和列表法解决问题的策略。
用北师大版教材教学时，学生在解决“鸡兔同笼”问题的过程中，不同水平的学生采用的方法不同，水平高的学生有可能摈弃列表法，采用假设法，但大部分学生还是会采用列表法解决问题，列表法虽然烦琐，但却具有广泛的迁移性和应用性。我们在课堂教学时应该在保底的基础上，允许个别学生有自己独特的想法。
加强教材比较，可以增加课的宽度。有了宽度，学生的学习多样化和个性化才能得到了充分的体现。
七、合理运用资料，寻找课的适度
在浩如烟海的杂志、教参、教学录像、网络资源等参考材料中，我们可以查到同一节课的多种教学设计方案。这时候，如何“甄别”就显得特别重要。笔者把这一过程比作是找一双合适的“鞋子”，也就是课的适合度。
案例7：“谁先走”教学
在教学情境的创设上，当确定“谁先走”的时候，有的选择“抛硬币”，有的选择“石头、剪子、布”，还有的选择“转转盘”等。
抛硬币相对比较简单，但受条件限制；石头、剪刀、布学生最熟悉，但分析起来比较复杂；转转盘直观，但费时费力。不同的选择，殊途同归。但是，不管选择哪一种情境，最终的目的都是让学生体会“可能性相等游戏才公平”的道理。
所以，在选择各种不同的教学设计时，重点要关注学生的南北差异和城乡差异，以及本班学生的实际情况，还有教师个人的教学风格。唯有这样，才能把这双合适的鞋子舒服地穿到课堂上去。
八、找准观课要点，追寻课的效度
一节课在实施的过程中是否有效，还需要实践的检验。检验的有效性，不能主观地臆测，切忌漫无边际的空谈。只有科学有效的评价方法，才能真实地检测一节课的效度。
1.观课要有明确分工
可以有针对性地设置几个观察点，对课堂教学进行观察。比如：教师顾及的学生面，课堂教学时间分配合理性，教师处理学生错误的方式，问题设置有效性的分析，课后学生访谈等。
2.议课要用数据说话
议课时，尽量避免主观臆测，可以多一些定量的分析，用数据说话。例如，可定量分析学生参与的人数、次数占全班的百分比。课堂教学时间分配，可定量分析，各教学环节占一节课时间的百分比。处理学生错误的方式可定量分析学生各种原因占错误总数的百分比。问题设置有效性的分析，可以定量分析有效问题与问题总数之间的百分比。课后学生访谈，可定量分析学生对教学的满意程度。
（福建省泉州市实验小学 362000）