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数学实验教学是指恰当地运用数学实验，创设问题情境，引导学生独立操作实践、自主探究、合作交流，从中发现问题、提出猜想、验证猜想、概括猜想，并创造性地解决问题的一种教学活动。目前，网络环境下的数学实验教学已经成为探究性学习的有效切入点，也是未来数学教学模式发展的方向之一。
几何画板是一个小巧、功能强大且使用简单的数学实验工具，具有简明朴素、短小精悍的特点。用几何画板做数学实验花时少、收效好，在对各种图形或数量进行变换的操作中，可以动态地保持数量与数量、图形与图形、数量与图形之间的关系，并能展示其中某些恒定不变的规律。通过动态演示数学变化规律，有助于引导学生厘清数和形的辩证关系，形成动态观察问题、分析问题和解决问题的思想方法。
一、基于“几何画板”的数学探究教学的操作程序
基于“几何画板”的数学探究教学的研究立足于高中数学课堂，以问题或任务为载体，创设一种类似于科学研究的情境，让学生通过自主探究活动回答问题或完成任务，并在此过程中了解知识的来龙去脉，获得知识和技能，强化数学思考过程，提高综合运用知识解决问题的能力。其操作程序包括5个环节：创设情境、提出问题→探究实验、提出猜想→师生合作、验证猜想→继续实验、深层探究→总结概括、形成结论。在一次具体的探究学习活动中，上述5个环节一般是先后执行，但这5个环节往往不是一次性的线性的过程，而是一个反复循环、螺旋式上升的过程。在“创设情境、提出问题”环节，教师用“几何画板”创设问题情境，推动学生的认知冲突，启发思维，引出问题；在“探究实验、提出猜想”环节，学生在教师的指导下，借助“几何画板”进行探究性实验，比如，对各个数学元素进行有序的控制操作、变换情境，从而发现规律，合情推理，归纳猜想；在“师生合作、验证猜想”环节，学生在教师的启发和引导下，对所得出的猜想进行验证，即通过演绎推理等方法来验证猜想是否正确，或通过举出反例的方法来否定猜想；在“继续实验、深层探究”环节，在得出结论的基础上，让学生进一步探究，进而获取真正的数学经验，而非抽象的数学结论；在“总结概括、形成结论”环节，学生通过自主探究，对新知识已经有了零碎或粗浅的认识后，需要在教师的启发和引导下进行概括、整理、归纳、总结，将各个知识点整理成为有条理有层次且准确系统的知识。
二、“几何画板”应用于探究教学的教学模式
通过实践，我校数学课题组已初步构建起三种常用的教学模式。
1.以教师为主导的“指导—探究”课堂教学，它是指教师根据教材的知识结构和学生的思维特点，对学生进行学习思路的引导，针对学生求知过程中产生的疑点，启发学生思考，帮助学生掌握知识规律，并在实践和探究中提高运用知识解决问题的能力。由于我们日常的教学任务比较重，经常拿出一整节课进行实验探究不太现实，在这种情况下，采用“指导一探究”的教学模式能较好地将教学的重点、难点用形象直观的动态画面演示出来，变抽象的内容为形象直观的知识，促进学生对知识的理解。
例如：我校周小英老师在讲解某些特殊的高次不等式（x-x1）（x-x2）…（x-xn）>0（或<0）的解法时，采取的教学设计是“提出问题—转化探究—改变条件—探求新知—归纳总结”，具体操作如下：
首先是“提出问题”环节：求不等式y=（x+3）（x+2）（x-1）（x-2）>0的解集。
其次是“转化探究”环节：师生对函数、方程、不等式三者间的关系进行讨论后，将问题转化为求函数y=（x+3）（x+2）（x-1）（x-2）>0的图像在x轴上方的部分的横坐标的集合，因此，求不等式的解集，关键在于了解函数图像。如图2，学生通过作图，观察后发现了函数y=（x-x1）（x-x2）…
（x-xn）的图像规律。
图2
第三个环节是“改变条件”：若方程（x-x1）（x-x2）…（x-xn）=0有重根，图像还相同吗？
第四个环节是“探求新知”：学生利用“几何画板”开展实验探究，归纳出两种情形：①方程有奇数个重根的情况，如图3、图4。
图3
图4
②方程有偶数个重根的情况，如图5、图6。
图5
图6
最后是“归纳总结”环节：y=0时的n个根将x轴分为n+1个区间，最右一个区间f（x）>0，其余区间函数值的符号从右到左“负正相间”，有重根时，图像的特点是奇数根处图像穿过根，偶数根处图像不穿过根（简记为“奇穿偶不穿”）。
周小英老师对题目的改造，使数学问题变得更具吸引力和探究性，较好地激发了学生的好奇心和探究欲，培养了学生的探究意识和能力。
又如，正态曲线就是函数f（x）=■■的图像。面对如此复杂的函数，在传统的教学中，教师往往依照教科书的三个图形画出草图，然后告知学生正态曲线的所有性质。实际上，大多数学生根本无法从仅有的几个图像中真正理解这些性质。对正态曲线性质的理解成了传统教学中学生一直无法克服的难点，而在实验探究教学中，学生能够主动地利用信息技术具有动态性的优点来研究函数图像（如图7、图8），通过观察图像的位置和形状的变化，轻而易举地得出正态曲线的性质，促进了学生对这些性质的理解。
图7
图8
2.以学生为主体的“情境—探究”课堂教学，这种教学模式由教师预先设计好需要探究的问题或情境，学生直接进行探究。课前，学生向老师提出感兴趣的问题或教师根据教学经验和教学需要确定课堂教学探究的主题，编写探究导学，探究导学的内容包括探究的主题和探究的目标任务。教师将探究导学提前两至三天发给学生，要求学生课前认真阅读探究导学，明确目标任务，复习相关知识，进行思考研究。课中，学生成立实验小组，根据教师创设的学习情境进行观察，同时结合自己的课前研究和思考与同伴展开交流，进行操作实践，验证猜想是否正确，然后在教师的指导下把思考的过程和实践的结果进行归纳和总结。 下面以陈清卓老师的一个实验课为例作具体说明：
实验课题：f（x）=x+■函数的图像和性质。
实验背景：函数f（x）=x+■蕴含极大的教学价值。表现在：它是一个正比例函数与一个反比例函数之和通过变量替换而得到的函数；它是一个奇函数；把它用在（0，+∞）上的单调性可以解决函数的一类最值问题，特别是在“均值不等式”中不能取得等号时求最值的问题；当k≠0时其图像为双曲线。
实验工具：几何画板GPS（4.01）。
实验目的：探究函数f（x）=x+■的图像和性质（单调性和奇偶性）。
实验要求：1.把学生分成若干小组，每个小组4人；2.各小组写出实验目的、实验方法、实验步骤；3.各小组按计划开展实验；4.全班交流实验结果；5.撰写实验报告。
实验步骤：
1.打开几何画板，进入函数编辑功能。
2.输入函数f（x）=x+■（k=-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4……）。
3.不断改变k的值，观察函数图像（如图9、图10）的变化规律，记录下观察到的现象，填写表2。
4.根据观察到的现象，猜想函数f（x）=
x+■的性质（奇偶性、单调性）。
5.检验猜想的正确性。
图9
图10
实验报告：
1.实验现象记录。不断改变k值时，观察到的现象是：随着k值的不断减小，分布在1、3象限的两条曲线逐渐靠近。当k值为正数时，图像在第一象限内“先减后增”，在第三象限内“先增后减”；当k为0时，两条曲线变为一条直线y=x；当k值为负值时，若x>0，函数为增函数，若x<0也是增函数。在整个函数图像的变化过程中，函数图像都关于原点对称。（教师用几何画板演示）
2.猜想。
猜想①：函数f（x）=x+■为奇函数。
猜想②：当k<0时，函数f（x）=x+■在x>0时单调递增，在x<0时也单调递增。
猜想③：当k>0时，函数f（x）=x+■在第一象限“先减后增”，在第三象限“先增后减”。
3.证明猜想①、猜想②；猜想③中的增与减的分界点难以确定。
4.寻找函数f（x）=x+■（k>0）的单调区间：①打开“几何画板”；②当k取不同的值时，作出函数f（x）=x+■（x>0）的图像，并观察函数取最小值时x的值（见图11），填写表3；③由表3猜想函数f（x）=x+■（x>0）取得最小值时x的值中所蕴含的规律；④对猜想进行验证；⑤证明猜想的正确性。
5.讨论：函数f（x）=x+■的性质。
①函数f（x）=x+■是奇函数，图像关于原点对称；②当k<0时，x在（-∞，0）上函数为增函数，x在（0，+∞）上函数也是增函数；③当k>0时，x在（-∞，■），（■，+∞）上的函数是增函数；x在（-■，0），（0，■）上的函数是减函数。若x>0，当x=■时，ymin=2■；x<0，当x=-■时，ymax=-2■.④当k=0时，函数为y=x，是一次函数。
这是一节探究实验课，教学设计的宗旨是让学生利用信息技术开展教学实验，根据原始的实验数据进行归纳整理，观察实验现象，从中猜想出函数的性质，并通过实验过程来验证猜想的正确性，利用函数的性质特点来解决一些实际问题和数学问题，培养科学实验的方法，学会撰写数学实验报告，促进学习方式的转变。
3.以学生“自主—探究”为主的研究性学习，是指让学生根据自身的经验、技能，以个体自学为主进行自主选择、自主探究、自主发展。除课堂内的探究性活动，教师还可以利用课外时间教给学生操作几何画板的简单知识，让学生利用计算机做实验来解决数学问题。对那些较为抽象的或几何图形变化较为复杂的数学知识，我们可以将它设计为数学实验，把抽象的数学知识具体化，把静止的图形动态化，让学生动手做数学实验，在实验中了解知识的发生和发展过程，掌握知识的变化规律，理解数学知识的来龙去脉，真正实现在“做中学”。
三、确定探究实验教学的整合点，建立与探究教学相配套的教学资源库
在数学探究教学过程中，要有效地发挥“几何画板”在数学探究教学中的作用，关键是要准确诊断出教学内容的整合点，在此基础上研究如何合理运用“几何画板”。以“导数”这一章节教学内容为例，我们对教材进行了认真分析，找出了利用“几何画板”进行探究实验教学的整合点。比如：在导数的概念这节内容中，动态演示■的变化过程，对■的值进行测量、通过动态演示来明确切线与曲线交点的问题、通过测量明确导函数的值与曲线图像性质的关系等内容，教学时采取以教师为主导的探究教学模式。对于一元三次函数的图像性质这一内容，让学生自己设计方案绘制出有代表性的函数图像，通过探究活动，明确一元三次函数的图像性质。含参数函数的图像性质这部分内容，采用以学生为主体的探究教学模式，而函数图像和它导函数图像的关系，需要通过观察图像找到它们之间的联系，然后撰写相应的研究报告，进行课题汇报，在课堂中进行展示交流，这部分内容采用以学生探究性学习为主的教学模式。
构建与探究教学内容相配套的教学资源库，从一定程度上改变了教师备课的方式。教师可以从素材库中选取授课时所需要的教学资源，在较短的时间内制作出教学所需要的教案或课件，这种做法在将教师从繁重的备课中解脱出来后，能把更多的精力放在钻研教学内容和教学设计上。而资源库中的成品课件，可以供学生使用，在丰富课程资源的同时，也为学生提供了广阔的探究空间。（责编 欧孔群）
几何画板是一个小巧、功能强大且使用简单的数学实验工具，具有简明朴素、短小精悍的特点。用几何画板做数学实验花时少、收效好，在对各种图形或数量进行变换的操作中，可以动态地保持数量与数量、图形与图形、数量与图形之间的关系，并能展示其中某些恒定不变的规律。通过动态演示数学变化规律，有助于引导学生厘清数和形的辩证关系，形成动态观察问题、分析问题和解决问题的思想方法。
一、基于“几何画板”的数学探究教学的操作程序
基于“几何画板”的数学探究教学的研究立足于高中数学课堂，以问题或任务为载体，创设一种类似于科学研究的情境，让学生通过自主探究活动回答问题或完成任务，并在此过程中了解知识的来龙去脉，获得知识和技能，强化数学思考过程，提高综合运用知识解决问题的能力。其操作程序包括5个环节：创设情境、提出问题→探究实验、提出猜想→师生合作、验证猜想→继续实验、深层探究→总结概括、形成结论。在一次具体的探究学习活动中，上述5个环节一般是先后执行，但这5个环节往往不是一次性的线性的过程，而是一个反复循环、螺旋式上升的过程。在“创设情境、提出问题”环节，教师用“几何画板”创设问题情境，推动学生的认知冲突，启发思维，引出问题；在“探究实验、提出猜想”环节，学生在教师的指导下，借助“几何画板”进行探究性实验，比如，对各个数学元素进行有序的控制操作、变换情境，从而发现规律，合情推理，归纳猜想；在“师生合作、验证猜想”环节，学生在教师的启发和引导下，对所得出的猜想进行验证，即通过演绎推理等方法来验证猜想是否正确，或通过举出反例的方法来否定猜想；在“继续实验、深层探究”环节，在得出结论的基础上，让学生进一步探究，进而获取真正的数学经验，而非抽象的数学结论；在“总结概括、形成结论”环节，学生通过自主探究，对新知识已经有了零碎或粗浅的认识后，需要在教师的启发和引导下进行概括、整理、归纳、总结，将各个知识点整理成为有条理有层次且准确系统的知识。
二、“几何画板”应用于探究教学的教学模式
通过实践，我校数学课题组已初步构建起三种常用的教学模式。
1.以教师为主导的“指导—探究”课堂教学，它是指教师根据教材的知识结构和学生的思维特点，对学生进行学习思路的引导，针对学生求知过程中产生的疑点，启发学生思考，帮助学生掌握知识规律，并在实践和探究中提高运用知识解决问题的能力。由于我们日常的教学任务比较重，经常拿出一整节课进行实验探究不太现实，在这种情况下，采用“指导一探究”的教学模式能较好地将教学的重点、难点用形象直观的动态画面演示出来，变抽象的内容为形象直观的知识，促进学生对知识的理解。
例如：我校周小英老师在讲解某些特殊的高次不等式（x-x1）（x-x2）…（x-xn）>0（或<0）的解法时，采取的教学设计是“提出问题—转化探究—改变条件—探求新知—归纳总结”，具体操作如下：
首先是“提出问题”环节：求不等式y=（x+3）（x+2）（x-1）（x-2）>0的解集。
其次是“转化探究”环节：师生对函数、方程、不等式三者间的关系进行讨论后，将问题转化为求函数y=（x+3）（x+2）（x-1）（x-2）>0的图像在x轴上方的部分的横坐标的集合，因此，求不等式的解集，关键在于了解函数图像。如图2，学生通过作图，观察后发现了函数y=（x-x1）（x-x2）…
（x-xn）的图像规律。
图2
第三个环节是“改变条件”：若方程（x-x1）（x-x2）…（x-xn）=0有重根，图像还相同吗？
第四个环节是“探求新知”：学生利用“几何画板”开展实验探究，归纳出两种情形：①方程有奇数个重根的情况，如图3、图4。
图3
图4
②方程有偶数个重根的情况，如图5、图6。
图5
图6
最后是“归纳总结”环节：y=0时的n个根将x轴分为n+1个区间，最右一个区间f（x）>0，其余区间函数值的符号从右到左“负正相间”，有重根时，图像的特点是奇数根处图像穿过根，偶数根处图像不穿过根（简记为“奇穿偶不穿”）。
周小英老师对题目的改造，使数学问题变得更具吸引力和探究性，较好地激发了学生的好奇心和探究欲，培养了学生的探究意识和能力。
又如，正态曲线就是函数f（x）=■■的图像。面对如此复杂的函数，在传统的教学中，教师往往依照教科书的三个图形画出草图，然后告知学生正态曲线的所有性质。实际上，大多数学生根本无法从仅有的几个图像中真正理解这些性质。对正态曲线性质的理解成了传统教学中学生一直无法克服的难点，而在实验探究教学中，学生能够主动地利用信息技术具有动态性的优点来研究函数图像（如图7、图8），通过观察图像的位置和形状的变化，轻而易举地得出正态曲线的性质，促进了学生对这些性质的理解。
图7
图8
2.以学生为主体的“情境—探究”课堂教学，这种教学模式由教师预先设计好需要探究的问题或情境，学生直接进行探究。课前，学生向老师提出感兴趣的问题或教师根据教学经验和教学需要确定课堂教学探究的主题，编写探究导学，探究导学的内容包括探究的主题和探究的目标任务。教师将探究导学提前两至三天发给学生，要求学生课前认真阅读探究导学，明确目标任务，复习相关知识，进行思考研究。课中，学生成立实验小组，根据教师创设的学习情境进行观察，同时结合自己的课前研究和思考与同伴展开交流，进行操作实践，验证猜想是否正确，然后在教师的指导下把思考的过程和实践的结果进行归纳和总结。 下面以陈清卓老师的一个实验课为例作具体说明：
实验课题：f（x）=x+■函数的图像和性质。
实验背景：函数f（x）=x+■蕴含极大的教学价值。表现在：它是一个正比例函数与一个反比例函数之和通过变量替换而得到的函数；它是一个奇函数；把它用在（0，+∞）上的单调性可以解决函数的一类最值问题，特别是在“均值不等式”中不能取得等号时求最值的问题；当k≠0时其图像为双曲线。
实验工具：几何画板GPS（4.01）。
实验目的：探究函数f（x）=x+■的图像和性质（单调性和奇偶性）。
实验要求：1.把学生分成若干小组，每个小组4人；2.各小组写出实验目的、实验方法、实验步骤；3.各小组按计划开展实验；4.全班交流实验结果；5.撰写实验报告。
实验步骤：
1.打开几何画板，进入函数编辑功能。
2.输入函数f（x）=x+■（k=-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4……）。
3.不断改变k的值，观察函数图像（如图9、图10）的变化规律，记录下观察到的现象，填写表2。
4.根据观察到的现象，猜想函数f（x）=
x+■的性质（奇偶性、单调性）。
5.检验猜想的正确性。
图9
图10
实验报告：
1.实验现象记录。不断改变k值时，观察到的现象是：随着k值的不断减小，分布在1、3象限的两条曲线逐渐靠近。当k值为正数时，图像在第一象限内“先减后增”，在第三象限内“先增后减”；当k为0时，两条曲线变为一条直线y=x；当k值为负值时，若x>0，函数为增函数，若x<0也是增函数。在整个函数图像的变化过程中，函数图像都关于原点对称。（教师用几何画板演示）
2.猜想。
猜想①：函数f（x）=x+■为奇函数。
猜想②：当k<0时，函数f（x）=x+■在x>0时单调递增，在x<0时也单调递增。
猜想③：当k>0时，函数f（x）=x+■在第一象限“先减后增”，在第三象限“先增后减”。
3.证明猜想①、猜想②；猜想③中的增与减的分界点难以确定。
4.寻找函数f（x）=x+■（k>0）的单调区间：①打开“几何画板”；②当k取不同的值时，作出函数f（x）=x+■（x>0）的图像，并观察函数取最小值时x的值（见图11），填写表3；③由表3猜想函数f（x）=x+■（x>0）取得最小值时x的值中所蕴含的规律；④对猜想进行验证；⑤证明猜想的正确性。
5.讨论：函数f（x）=x+■的性质。
①函数f（x）=x+■是奇函数，图像关于原点对称；②当k<0时，x在（-∞，0）上函数为增函数，x在（0，+∞）上函数也是增函数；③当k>0时，x在（-∞，■），（■，+∞）上的函数是增函数；x在（-■，0），（0，■）上的函数是减函数。若x>0，当x=■时，ymin=2■；x<0，当x=-■时，ymax=-2■.④当k=0时，函数为y=x，是一次函数。
这是一节探究实验课，教学设计的宗旨是让学生利用信息技术开展教学实验，根据原始的实验数据进行归纳整理，观察实验现象，从中猜想出函数的性质，并通过实验过程来验证猜想的正确性，利用函数的性质特点来解决一些实际问题和数学问题，培养科学实验的方法，学会撰写数学实验报告，促进学习方式的转变。
3.以学生“自主—探究”为主的研究性学习，是指让学生根据自身的经验、技能，以个体自学为主进行自主选择、自主探究、自主发展。除课堂内的探究性活动，教师还可以利用课外时间教给学生操作几何画板的简单知识，让学生利用计算机做实验来解决数学问题。对那些较为抽象的或几何图形变化较为复杂的数学知识，我们可以将它设计为数学实验，把抽象的数学知识具体化，把静止的图形动态化，让学生动手做数学实验，在实验中了解知识的发生和发展过程，掌握知识的变化规律，理解数学知识的来龙去脉，真正实现在“做中学”。
三、确定探究实验教学的整合点，建立与探究教学相配套的教学资源库
在数学探究教学过程中，要有效地发挥“几何画板”在数学探究教学中的作用，关键是要准确诊断出教学内容的整合点，在此基础上研究如何合理运用“几何画板”。以“导数”这一章节教学内容为例，我们对教材进行了认真分析，找出了利用“几何画板”进行探究实验教学的整合点。比如：在导数的概念这节内容中，动态演示■的变化过程，对■的值进行测量、通过动态演示来明确切线与曲线交点的问题、通过测量明确导函数的值与曲线图像性质的关系等内容，教学时采取以教师为主导的探究教学模式。对于一元三次函数的图像性质这一内容，让学生自己设计方案绘制出有代表性的函数图像，通过探究活动，明确一元三次函数的图像性质。含参数函数的图像性质这部分内容，采用以学生为主体的探究教学模式，而函数图像和它导函数图像的关系，需要通过观察图像找到它们之间的联系，然后撰写相应的研究报告，进行课题汇报，在课堂中进行展示交流，这部分内容采用以学生探究性学习为主的教学模式。
构建与探究教学内容相配套的教学资源库，从一定程度上改变了教师备课的方式。教师可以从素材库中选取授课时所需要的教学资源，在较短的时间内制作出教学所需要的教案或课件，这种做法在将教师从繁重的备课中解脱出来后，能把更多的精力放在钻研教学内容和教学设计上。而资源库中的成品课件，可以供学生使用，在丰富课程资源的同时，也为学生提供了广阔的探究空间。（责编 欧孔群）