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摘 要：齿轮作为各种机械传动设备中的重要装置，具有传动平稳，承载能力强等优点。特别是变位齿轮还具有避免根切、提高齿面的接触强度和弯曲强度及齿面的抗胶合和耐磨损、修复旧齿轮、配凑中心距的能力。有着非常广泛的应用前景。但其结构复杂，设计计算困难，为了提高设计效率，增加竞争优势，实现齿轮齿廓的精确建模显得尤为重要。
关键词：变位齿轮；程序；编制；数学模型
一、变位齿轮的作用
随着工业生产的不断发展以及各种机器使用条件的多样化，对齿轮传动提出了更高的要求。广大劳动人民在总结齿轮传动原理的基础上又创造出变位齿轮传动，在很大程度上满足了现代齿轮传动的要求。
变位齿轮有以下几种功用：
1.由于传动比和空间的限制，必须采用齿数很少的齿轮时，可以消除根切现象，并且可以提高轮齿的抗弯强度及其使用寿命；
2.提高齿轮传动的接触强度。
3.提高轮齿抗磨损和耐胶合的性能。应用适当的变位方法可以显著地降低啮合的滑动速度和减小滑动比，从而提高齿面的耐磨损和抗胶合的性能。
4.在使用多于许用最小齿数的齿轮时，也会使轮齿的抗弯强度有较大的提高。
5.配凑中心距。在齿数和模数已定的前提下，如果啮合齿轮对的中心距不能满足时，通过变位可使两个互相啮合齿轮的中心距满足上述要求。
6.修复废旧齿轮。
7.增大重合系数，加大齿根圆以保证轮齿强度。
二、变位齿轮齿廓数学模型的建立
一个完整的轮齿齿廓通常由4个部分组成。其分别是齿根圆弧，过渡曲线，渐开线和齿顶圆弧。齿顶曲线，是在制造齿坯时车削出来的一段圆弧；工作齿廓，是在用范成法（或成形法）切制齿轮时的刀具工作齿廓的包络线一渐开线；齿廓过渡曲线，即齿根过渡曲线或齿根圆角，它是在用范成法加工时由刀具齿顶圆角的包络线或者是由刀具尖角形成的轨迹线；齿根圆弧，是刀具齿顶线的包络线。齿轮的齿廓包括啮合部分和非啮合部分，其中的非啮合部分即指齿根圆和过渡曲线。齿轮的过渡曲线有多种形式，它不参与齿轮的啮合运动，但是过渡曲线部分对于齿轮的疲劳和弯曲强度具有重要意义。所以在齿轮齿廓建模中有必要对过渡曲线进行深入研究，以满足轮齿造型的准确性，更可靠的满足实际生产的需要。在数学建模中只需要建立一个齿轮中的一段齿根圆弧、过渡曲线、渐开线、齿顶圆弧即可。其他齿廓坐标点可通过齿轮的对称中线和进行循环一定的角度求得。
2.1.齿根圆弧数学模型：
齿根圆弧段，其极坐标方程为：
2.3渐开线数学模型
渐开线是能满足定传动比（或某种变传动比规律）要求的一对齿廓曲线，从理论上讲，都可以作为实现定传动比（或某种变传动比规律）传动的齿轮的齿廓曲线。但在生产实际中，必须从制造、安装和使用等各方面综合考虑，选择适当的曲线作为齿廓曲线。目前常用的齿廓曲线有渐开线、摆线和圆弧等。采用渐开线作为齿廓曲线，有容易制造和便于安装等优点，所以目前绝大多数齿轮都采用渐开线齿廓。
根据等误差直线逼近渐开线原理可得渐开线在极坐标内之表达式为：
则次一邻近节点之坐标可按下式算出：
2.4过渡曲线数学模型
齿根过渡曲线不是齿轮传动的工作曲线，因此其对传动效率没有影响，然而齿根过渡曲线的形状对齿根弯曲应力、齿轮的承载能力等都有直接影响。渐开线齿轮齿根过渡曲线的曲率半径是描述齿根过渡曲线的重要参数，对渐开线齿轮的齿根过渡曲线的曲率半径进行研究具有重要意义。
齿根过渡曲线数学模型的精度将直接影响其曲率半径计算结果的准确度。增大齿根过渡曲线曲率半径可以减小齿根应力，因此可以通过增大刀尖圆弧半径的值达到提高齿根弯曲强度的目的。
参照朱景梓、张展、秦立高编著的《渐开线外啮合圆柱齿轮传动》可得变位齿轮齿根过渡曲线的参数方程如下：
三、变位齿轮各点坐标计算并绘制图形
3. 1 MATLAB程序编制流程图
MATLAB是国际上最为流行的科学与工程计算软件工具之一，现在的MATLAB已经成为成为应用代数、自动控制理论、时间序列分析、动态系统仿真等课程的基本教学工具。故可以根据变位齿轮的数学模型及参数，采用MATLAB编写建模程序，计算变位齿轮各点坐标。变位圆柱直齿轮的设计变量有模数、齿数、压力角、变位系数、齿顶高系数和顶隙系数，具体编程流程为：1）计算变位齿轮参数，由齿轮的模数，压力角，变位系数等基本参数求出其他参数；2）创建参考渐开线和齿顶圆对称中线；3）将齿廓线段方程编程；4）生成齿廓各线段坐标点，并将程序循环Z-1次，得出齿轮全部坐标；
3. 2编程计算各点坐标
利用上述数学模型，在MATLAB内对齿根圆弧、过渡曲线、渐近线、齿顶圆弧段进行编程，并利用程序计算出各曲线点的坐标值；
3. 3运行程序，得出坐标和齿轮图形
在程序中设置变位齿轮模数m设为4，齿数z设为25，变位系數x设为0.2，通过运行程序，可求得所需齿轮各点坐标及变位齿轮图形。
四、结论
在变位齿轮的设计中，可以通过直接利用MATLAB所编程序，生成变位齿轮齿廓上的各点坐标，而不用在一些软件上作图，得到变位齿轮图形。因为通过所生成的点绘制出来的齿轮图形，可以通过控制齿廓的坐标点数来控制齿轮图形的精度。能够达到精准设计的目的。变位齿轮齿廓的精准设计对于在实际生产中齿轮传动具有重要的意义。
参考文献
[1] 吴序堂.齿轮啮合原理.西安交通大学出版社，2009.
[2] 朱景梓，张展，秦立高.渐开线外啮合圆柱齿轮传动.国防工业出版社，1990年12月.
[3] 张敬东.等误差直线逼近渐开线节点的简易计算方法.组合机床与自动化加工技术，2004（3）：29-30.
[4] 张展.变位齿轮的简易计算.建筑机械，2000（5）：46-50.
关键词：变位齿轮；程序；编制；数学模型
一、变位齿轮的作用
随着工业生产的不断发展以及各种机器使用条件的多样化，对齿轮传动提出了更高的要求。广大劳动人民在总结齿轮传动原理的基础上又创造出变位齿轮传动，在很大程度上满足了现代齿轮传动的要求。
变位齿轮有以下几种功用：
1.由于传动比和空间的限制，必须采用齿数很少的齿轮时，可以消除根切现象，并且可以提高轮齿的抗弯强度及其使用寿命；
2.提高齿轮传动的接触强度。
3.提高轮齿抗磨损和耐胶合的性能。应用适当的变位方法可以显著地降低啮合的滑动速度和减小滑动比，从而提高齿面的耐磨损和抗胶合的性能。
4.在使用多于许用最小齿数的齿轮时，也会使轮齿的抗弯强度有较大的提高。
5.配凑中心距。在齿数和模数已定的前提下，如果啮合齿轮对的中心距不能满足时，通过变位可使两个互相啮合齿轮的中心距满足上述要求。
6.修复废旧齿轮。
7.增大重合系数，加大齿根圆以保证轮齿强度。
二、变位齿轮齿廓数学模型的建立
一个完整的轮齿齿廓通常由4个部分组成。其分别是齿根圆弧，过渡曲线，渐开线和齿顶圆弧。齿顶曲线，是在制造齿坯时车削出来的一段圆弧；工作齿廓，是在用范成法（或成形法）切制齿轮时的刀具工作齿廓的包络线一渐开线；齿廓过渡曲线，即齿根过渡曲线或齿根圆角，它是在用范成法加工时由刀具齿顶圆角的包络线或者是由刀具尖角形成的轨迹线；齿根圆弧，是刀具齿顶线的包络线。齿轮的齿廓包括啮合部分和非啮合部分，其中的非啮合部分即指齿根圆和过渡曲线。齿轮的过渡曲线有多种形式，它不参与齿轮的啮合运动，但是过渡曲线部分对于齿轮的疲劳和弯曲强度具有重要意义。所以在齿轮齿廓建模中有必要对过渡曲线进行深入研究，以满足轮齿造型的准确性，更可靠的满足实际生产的需要。在数学建模中只需要建立一个齿轮中的一段齿根圆弧、过渡曲线、渐开线、齿顶圆弧即可。其他齿廓坐标点可通过齿轮的对称中线和进行循环一定的角度求得。
2.1.齿根圆弧数学模型：
齿根圆弧段，其极坐标方程为：
2.3渐开线数学模型
渐开线是能满足定传动比（或某种变传动比规律）要求的一对齿廓曲线，从理论上讲，都可以作为实现定传动比（或某种变传动比规律）传动的齿轮的齿廓曲线。但在生产实际中，必须从制造、安装和使用等各方面综合考虑，选择适当的曲线作为齿廓曲线。目前常用的齿廓曲线有渐开线、摆线和圆弧等。采用渐开线作为齿廓曲线，有容易制造和便于安装等优点，所以目前绝大多数齿轮都采用渐开线齿廓。
根据等误差直线逼近渐开线原理可得渐开线在极坐标内之表达式为：
则次一邻近节点之坐标可按下式算出：
2.4过渡曲线数学模型
齿根过渡曲线不是齿轮传动的工作曲线，因此其对传动效率没有影响，然而齿根过渡曲线的形状对齿根弯曲应力、齿轮的承载能力等都有直接影响。渐开线齿轮齿根过渡曲线的曲率半径是描述齿根过渡曲线的重要参数，对渐开线齿轮的齿根过渡曲线的曲率半径进行研究具有重要意义。
齿根过渡曲线数学模型的精度将直接影响其曲率半径计算结果的准确度。增大齿根过渡曲线曲率半径可以减小齿根应力，因此可以通过增大刀尖圆弧半径的值达到提高齿根弯曲强度的目的。
参照朱景梓、张展、秦立高编著的《渐开线外啮合圆柱齿轮传动》可得变位齿轮齿根过渡曲线的参数方程如下：
三、变位齿轮各点坐标计算并绘制图形
3. 1 MATLAB程序编制流程图
MATLAB是国际上最为流行的科学与工程计算软件工具之一，现在的MATLAB已经成为成为应用代数、自动控制理论、时间序列分析、动态系统仿真等课程的基本教学工具。故可以根据变位齿轮的数学模型及参数，采用MATLAB编写建模程序，计算变位齿轮各点坐标。变位圆柱直齿轮的设计变量有模数、齿数、压力角、变位系数、齿顶高系数和顶隙系数，具体编程流程为：1）计算变位齿轮参数，由齿轮的模数，压力角，变位系数等基本参数求出其他参数；2）创建参考渐开线和齿顶圆对称中线；3）将齿廓线段方程编程；4）生成齿廓各线段坐标点，并将程序循环Z-1次，得出齿轮全部坐标；
3. 2编程计算各点坐标
利用上述数学模型，在MATLAB内对齿根圆弧、过渡曲线、渐近线、齿顶圆弧段进行编程，并利用程序计算出各曲线点的坐标值；
3. 3运行程序，得出坐标和齿轮图形
在程序中设置变位齿轮模数m设为4，齿数z设为25，变位系數x设为0.2，通过运行程序，可求得所需齿轮各点坐标及变位齿轮图形。
四、结论
在变位齿轮的设计中，可以通过直接利用MATLAB所编程序，生成变位齿轮齿廓上的各点坐标，而不用在一些软件上作图，得到变位齿轮图形。因为通过所生成的点绘制出来的齿轮图形，可以通过控制齿廓的坐标点数来控制齿轮图形的精度。能够达到精准设计的目的。变位齿轮齿廓的精准设计对于在实际生产中齿轮传动具有重要的意义。
参考文献
[1] 吴序堂.齿轮啮合原理.西安交通大学出版社，2009.
[2] 朱景梓，张展，秦立高.渐开线外啮合圆柱齿轮传动.国防工业出版社，1990年12月.
[3] 张敬东.等误差直线逼近渐开线节点的简易计算方法.组合机床与自动化加工技术，2004（3）：29-30.
[4] 张展.变位齿轮的简易计算.建筑机械，2000（5）：46-50.