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摘 要：这是一个关于“操作”的问题，“操作问题”作为一类智力问题，广泛存在于民间游戏中，他们普遍难度不大。但也有一些难度大的“操作问题”，经常出现在数学竞赛中。一般来说都有取胜的规律，即最佳策略。本题也一样，只要按照一定的规则去取石子，首先取石子的人总可以赢得比赛。
关键词：数学游戏 游戏规则 中学生 对角线 数理化 老师 题目
中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2013）05（b）-0230-01
有这样一个古老的二人玩的游戏，桌子上放三排石子，第一排3个石子，第二排4个石子，第三排6个石子。游戏规则为：每人每次可以取走某一排中的若干（大于0）个石子，二人轮流取。规定取最后一个石子的人输。
下面笔者就探讨此游戏取胜的最佳策略。
首先把此问题化为数学问题：设有三个集合A、B、C，集合中分别有3、4、6个元素，即card（A）=3，card（B）=4，card（C）=6，甲乙二人轮流从集合中取元素，规定每人每次可以取走某一个集合中的若干（大于0）个元素，谁取得这13个元素的最后一个元素谁输。证明：如果甲先取，则乙必输。
我们先从最简单处入手，循序渐进的证明。条件由少到多，有：
结论1：当两个集合M、N中元素相等且不低于2个时，先取者必输。
证明：不妨设card（M）= card（N）=k，k为大于等于2的整数，乙先取。
1）若乙取集合M中的（k-1）个元素，则甲取集合N中的k个元素，于是集合M中剩最后1个元素归乙取，乙输。
2）若乙取集合M中的k个元素，则甲取集合N中的（k-1）个元素，于是集合N中剩最后1个元素归乙取，乙输。
3）若乙取集合M中的r（r小于k-1）个元素，则甲取集合N中的r个元素，这样集合M、N各剩k-r个元素，于是化为上面的情形，乙输。
综上，结论1成立。
结论2：当三个集合A、B、C各有一个元素时，先取者必输。
证明：不妨设乙先取，不管乙取哪一个，甲只需取余下的其中任一个，于是乙输。
结论3：当三个集合A、B、C分别有1、2、3个元素时，先取者必输。
证明：不妨设card（A）=1，card（B）=2，card（C）=3，乙先取。
1）若乙取集合A中的1个元素，则甲取集合C中的1个元素，于是集合B、C中各剩2个元素，由结论1，乙输。
2）若乙取集合B中的1个元素，则甲取集合C中的2个元素，于是集合A、B、C各剩1个元素，由结论2，乙输。若乙取集合B中的2个元素，则甲取集合C中的3个元素，于是集合A剩1个元素，乙输。
3）若乙取集合C中的1个元素，則甲取集合A中的1个元素，于是集合B、C中各剩2个元素，由结论1，乙输。若乙取集合C中的2个元素，则甲取集合B中的1个元素，于是集合A、B、C各剩1个元素，由结论2，乙输。若乙取集合C中的3个元素，则甲取集合B中的2个元素，于是集合A剩1个元素，乙输。
综上，结论3成立。
结论4：当三个集合A、B、C分别有1、k、k+1个（k大于2）元素时，先取者必输。
证明：不妨设card（A）=1，card（B） =k，card（C）=k+1，乙先取。
1）若乙取集合A中的1个元素，则甲取集合C中的1个元素，于是集合B、C中各剩k个元素，由结论1，乙输。
2）若乙取集合B中的r个元素，则甲取集合C中的r个元素，使集合B、C保持相差1个元素，循环下来总可以变为结论2、结论3情形，乙输。
综上，结论4成立。
上面证明了最基本的四种情形，所以，只要甲能够控制局面，使出现上面的四种最基本情形，则乙必输。下面证明，只要甲采取最佳策略，先取集合A中的1个元素，就可以控制局面从而出现上面的三种最基本情形。
证明：甲先取集合A中的1个元素，则card（A）=2，card（B）=4，card（C）=6。
这时，乙取
1）若乙取集合A中的1个元素，则甲取集合C中的1个元素，则card（A）=1，card（B）=4，card（C）=5。为结论4情形，乙输。
2）若乙取集合A中的2个元素，则甲取集合C中的2个元素，则card（B）=4，card（C）=4。为结论1情形，乙输。
3）若乙取集合B中的1个元素，则甲取集合C中的5个元素，则card（A）=2，card（B）=3，card（C）=1。为结论3情形，乙输。
4）若乙取集合B中的2个元素，则甲取集合C中的6个元素，则card（A）=2，card（B）=2。为结论1情形，乙输。
5）若乙取集合B中的3个元素，则甲取集合C中的3个元素，则card（A）=2，card（B）=1，card（C）=3。为结论3情形，乙输。
6）若乙取集合B中的4个元素，则甲取集合C中的4个元素，则card（A）=2，card（C）=2。为结论1情形，乙输。
7）若乙取集合C中的1个元素，则甲取集合A中的1个元素，则card（A）=1，card（B）=4，card（C）=5。为结论4情形，乙输。
8）若乙取集合C中的2个元素，则甲取集合A中的2个元素，则card（B）=4，card（C）=4。为结论1情形，乙输。
9）若乙取集合C中的3个元素，则甲取集合B中的3个元素，则card（A）=2，card（B）=1，card（C）=3。为结论3情形，乙输。
10）若乙取集合C中的4个元素，则甲取集合B中的4个元素，则card（A）=2， card（C）=2。为结论1情形，乙输。
11）若乙取集合C中的5个元素，则甲取集合B中的1个元素，则card（A）=2，card（B）=3，card（C）=1。为结论3情形，乙输。
12）若乙取集合C中的6个元素，则甲取集合B中的2个元素，则card（A）=2， card（B）=2。为结论1情形，乙输。
综上可知，甲先取乙必输；操作最佳策略为：甲只需先取集合A中的1个元素，就能控制局面使乙取得最后一个元素。
这个游戏还可以推广，读者不妨一试。
关键词：数学游戏 游戏规则 中学生 对角线 数理化 老师 题目
中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2013）05（b）-0230-01
有这样一个古老的二人玩的游戏，桌子上放三排石子，第一排3个石子，第二排4个石子，第三排6个石子。游戏规则为：每人每次可以取走某一排中的若干（大于0）个石子，二人轮流取。规定取最后一个石子的人输。
下面笔者就探讨此游戏取胜的最佳策略。
首先把此问题化为数学问题：设有三个集合A、B、C，集合中分别有3、4、6个元素，即card（A）=3，card（B）=4，card（C）=6，甲乙二人轮流从集合中取元素，规定每人每次可以取走某一个集合中的若干（大于0）个元素，谁取得这13个元素的最后一个元素谁输。证明：如果甲先取，则乙必输。
我们先从最简单处入手，循序渐进的证明。条件由少到多，有：
结论1：当两个集合M、N中元素相等且不低于2个时，先取者必输。
证明：不妨设card（M）= card（N）=k，k为大于等于2的整数，乙先取。
1）若乙取集合M中的（k-1）个元素，则甲取集合N中的k个元素，于是集合M中剩最后1个元素归乙取，乙输。
2）若乙取集合M中的k个元素，则甲取集合N中的（k-1）个元素，于是集合N中剩最后1个元素归乙取，乙输。
3）若乙取集合M中的r（r小于k-1）个元素，则甲取集合N中的r个元素，这样集合M、N各剩k-r个元素，于是化为上面的情形，乙输。
综上，结论1成立。
结论2：当三个集合A、B、C各有一个元素时，先取者必输。
证明：不妨设乙先取，不管乙取哪一个，甲只需取余下的其中任一个，于是乙输。
结论3：当三个集合A、B、C分别有1、2、3个元素时，先取者必输。
证明：不妨设card（A）=1，card（B）=2，card（C）=3，乙先取。
1）若乙取集合A中的1个元素，则甲取集合C中的1个元素，于是集合B、C中各剩2个元素，由结论1，乙输。
2）若乙取集合B中的1个元素，则甲取集合C中的2个元素，于是集合A、B、C各剩1个元素，由结论2，乙输。若乙取集合B中的2个元素，则甲取集合C中的3个元素，于是集合A剩1个元素，乙输。
3）若乙取集合C中的1个元素，則甲取集合A中的1个元素，于是集合B、C中各剩2个元素，由结论1，乙输。若乙取集合C中的2个元素，则甲取集合B中的1个元素，于是集合A、B、C各剩1个元素，由结论2，乙输。若乙取集合C中的3个元素，则甲取集合B中的2个元素，于是集合A剩1个元素，乙输。
综上，结论3成立。
结论4：当三个集合A、B、C分别有1、k、k+1个（k大于2）元素时，先取者必输。
证明：不妨设card（A）=1，card（B） =k，card（C）=k+1，乙先取。
1）若乙取集合A中的1个元素，则甲取集合C中的1个元素，于是集合B、C中各剩k个元素，由结论1，乙输。
2）若乙取集合B中的r个元素，则甲取集合C中的r个元素，使集合B、C保持相差1个元素，循环下来总可以变为结论2、结论3情形，乙输。
综上，结论4成立。
上面证明了最基本的四种情形，所以，只要甲能够控制局面，使出现上面的四种最基本情形，则乙必输。下面证明，只要甲采取最佳策略，先取集合A中的1个元素，就可以控制局面从而出现上面的三种最基本情形。
证明：甲先取集合A中的1个元素，则card（A）=2，card（B）=4，card（C）=6。
这时，乙取
1）若乙取集合A中的1个元素，则甲取集合C中的1个元素，则card（A）=1，card（B）=4，card（C）=5。为结论4情形，乙输。
2）若乙取集合A中的2个元素，则甲取集合C中的2个元素，则card（B）=4，card（C）=4。为结论1情形，乙输。
3）若乙取集合B中的1个元素，则甲取集合C中的5个元素，则card（A）=2，card（B）=3，card（C）=1。为结论3情形，乙输。
4）若乙取集合B中的2个元素，则甲取集合C中的6个元素，则card（A）=2，card（B）=2。为结论1情形，乙输。
5）若乙取集合B中的3个元素，则甲取集合C中的3个元素，则card（A）=2，card（B）=1，card（C）=3。为结论3情形，乙输。
6）若乙取集合B中的4个元素，则甲取集合C中的4个元素，则card（A）=2，card（C）=2。为结论1情形，乙输。
7）若乙取集合C中的1个元素，则甲取集合A中的1个元素，则card（A）=1，card（B）=4，card（C）=5。为结论4情形，乙输。
8）若乙取集合C中的2个元素，则甲取集合A中的2个元素，则card（B）=4，card（C）=4。为结论1情形，乙输。
9）若乙取集合C中的3个元素，则甲取集合B中的3个元素，则card（A）=2，card（B）=1，card（C）=3。为结论3情形，乙输。
10）若乙取集合C中的4个元素，则甲取集合B中的4个元素，则card（A）=2， card（C）=2。为结论1情形，乙输。
11）若乙取集合C中的5个元素，则甲取集合B中的1个元素，则card（A）=2，card（B）=3，card（C）=1。为结论3情形，乙输。
12）若乙取集合C中的6个元素，则甲取集合B中的2个元素，则card（A）=2， card（B）=2。为结论1情形，乙输。
综上可知，甲先取乙必输；操作最佳策略为：甲只需先取集合A中的1个元素，就能控制局面使乙取得最后一个元素。
这个游戏还可以推广，读者不妨一试。