一道高中数学竞赛题的两种新解法

• 作 者: 温月才
• 出 处: 青苹果
• 发表日期: 2009年3期

　　（2007年四川省高中数学竞赛预赛试题）已知正整数数列{an}满足条件：对于任意正整数n，从集合{a1，a2，…，an}中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得的数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与a1，a2，…，an一起恰好是1至Sn全体自然数组成的集合，其中Sn为数列{an}的前n项和。求：
　　（1）a1，a2的值；
　　（2）数列{an}的通项公式。
　　解 （1）记An={1，2，3，…，Sn}，显然a1=S1=1。
　　对于S2=a1+a2=1+a2，
　　有A2={1，2，…，S2}={1，a2，1+a2，｜1-a2｜}={1，2，3，4}，
　　故1+a2=4，
　　即a2=3。
　　（2）由题设知，集合{a1，a2，…，an}按上述规则，共产生了Sn个正整数，而集合{a1，a2，…，an，an+1}按上述规则产生的Sn+1个正整数中，除1，2，…，Sn个正整数外，还有an+1，an+1+i，｜an+1-i｜（i=1，2，…，Sn），共2Sn+1个数。
　　于是，有Sn+1=Sn+（2Sn+1）=3Sn+1。
　　所以Sn+ 是首项为S1+ = ，公比为3的等比数列。
　　于是，有Sn+ = ×3n-1，
　　即Sn= ×3n- 。
　　当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3n-1。
　　而a1=1也满足上式，
　　故an=3n-1。
　　新解方法一 1至Sn对应这Sn种不同取法，当从集合{a1，a2，…，an}中取1个数有C种，取2个数有C种，…，取n个数有C种取法。
　　一般的，对于取i个数ak1，ak2，…，aki之间可取“+”或“-”，故有2i-1种。
　　因而Sn=C20+C21+…+C2n-1。
　　∴2Sn+1=（2+1）n=3n，
　　∴Sn= 。
　　当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3n-1。
　　而a1=1也满足上式。
　　故an=3n-1。
　　新解方法二 1至Sn这Sn个正整数，都是集合{a1，a2，…，an}中不重复地任取若干个数，经过加减运算后再取绝对值得到的，即i=｜b1+b2+…+bn｜。其中1≤i≤Sn，bk∈{-ak，0，ak}，且b1，b2，…，bn不同时为0。
　　由分步计数原理知b1，b2，…，bn相加共3n个不同数，去掉0，且互为相反数成对出现。故i取值个数为Sn= 。
　　进一步可得：an=3n-1。
　　说明 本题原解法是：按照题目给出的规则，n个元素{a1，a2，…，an}共产生Sn个正整数，而Sn为数列{an}的前n项和，因此需要建立关于Sn+1与Sn的递推关系式。
　　本题新解法则是利用“对于任意正整数n，从集合{a1，a2，…，an}中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得的数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与a1，a2，…，an一起恰好是1至Sn全体自然数组成的集合”。又由（1）知a1=1。因此，从集合{a1，a2，…，an}产生的新集合中元素的个数即为Sn。从而，求得新集合中元素的个数就求出了Sn，进一步可得an。