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在一般的科学方法中，观察与实验是通过收集科学事实材料，获得感性认识的基本途径是形成、发展和检验自然科学理论的实践基础。那么，在数学中是否也要运用观察与实验方法呢？回答是肯定的。正如著名数学家欧拉所说的：“数学这门科学，需要观察，也需要实验。”
俗话说，巧妇难无米之炊。一个数学家若不积累一定数量的科学事实即经验材料，他就很难作出什么数学猜想，也不能对数学猜想进行检验和修正，更不能有所发明和创新。而辩证唯物主义认识论告诉我们，获得经验材料的基本途径是对研究对象的关系、性质等的观察和实验。所以观察与实验在中学数学教学中起到举足轻重的作用。
一、观察与实验
前苏联数学教育家B·A奥加涅相认为：观察是人们对客观世界的各个客观事物和现象，在其自然的条件下，按照客观事物本身存在的实际情况，研究和确定它们的性质和关系的方法。从数学角度来说，观察就是人们对事物或问题的数学特征通过视觉获取信息，运用思维辩证其形式、结构和数量关系，从而发现某些规律或性质的方法。著名数学家欧拉说：“在被称为纯粹数学的那部分数学中，观察无疑占有极重要的地位。”观察也能引导我们连续探索求新的性质而致力于它的证明。在数学知识的发现和解决问题的过程中，观察法是常用的有效方法之一。
一般来说，实验就是按照科学研究目的，根据研究对象的自然状态和自身发展规律，人为地设置条件，来引起或控制事物现象的发生或发展过程，并通过感观来认识对象和规律的方法。实验总是和观察相联系的，观察常常可用实验作基础，而实验有可使观察得到的性质或规律得以重现或验证。实验也是解决某些数学问题的有效方法。
二、观察法与实验法在中学数学教学中的作用
诚然，数学不能将观察的结果或实验性的验证作为判断数学命题真假性的充分依据。但是，对于数学活动中的两个阶段，即先于理论的事实积累阶段和理论之后的应用阶段，观察和实验的重要性不亚于演绎理论本身。
(一)观察法在数学教学中的作用。
从数学的发展史中可以看到，数学的许多成就皆起源于细致的观察。在数学科学研究过程中，都需要收集材料和积累材料，这主要靠观察来实现。在数学教学中恰当地运用观察来收集新材料、发现新问题，对于培养学生的观察能力，以及提高教学效果有很大的作用。
（1）观察法在数学概念教学中的作用。
数学概念是客观事物或现象的数学关系、空间形式的基本属性的人们头脑中的反映。所以，许多数学概念，尤其是中小学数学中的有关数、形、函数的概念，在实际生活中都可以发现它的现实原型；而且，数学概念是高度概括、高度抽象的产物，只有密切联系现实原型，从学生接触过或认识过的事物入手，才能使学生容易地理解、掌握数学概念。例如，在引入正负数概念之前，先有意识地让学生观察“零上8℃”，“高于5米，低于3米”等具有相反意义的量，了解引进新的数来表示这种实际问题的必要性，从而可使学生易于接受正负数的概念。
（2）观察法在发现数学定理、公式中的作用。
数学中的定理、公式，就是数学对象之间的关系的一种反映或描述，而数学对象之间的许多关系是从对数学对象的直接观察中得来的。所以，有人说，观察是数学科学研究的“敲门砖”、“引路石”，很有道理的。例如，揭示凸多面体顶点数V、棱数E、面数F之间的关系的欧拉公式V+F-E=2正是始于观察而发现的。又如，我国古代数学中关于二项式的幂（a+b）n的展开式系数的杨辉三角，通过观察后一列系数与前一列系数之间的关系，便可以得到（a+b）n的展开式中任何一项系数。
（3）观察是一种有效的解题方法。
数学解题需要透过观察去认识本质，找出问题的内在联系和规律。观察是一种有目的、有计划、有组织的主动知觉的方法，边观察边思考，有助于寻找解题的突破口，有助于探索和发现解题途径。
例1：自点A（-3，3）发出的光线ι射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆C：（x-2）2+(y-2)2=1相切，求光线ι的直线方程。
分析：这个问题初看似乎难求解，我们不妨结合图形来观察。因为入射光线与反射光线关于x轴对称的，所以圆C关于x轴对称的圆C1必与入射光线 相切，这样学生就能简捷地解出光线ι的直线方程。
（二）实验法在数学教学中的作用。
在数学中，实验法可用来发现或验证数学对换的性质。如几何中对各种图形面积、体积的计算或公式的导出，常使用割补变换成易于计算的等积图形来加以解决。因此，在数学中，应重视实验方法的作用。
不同的学科领域和不同的实验目的，其所需要进行的实验也不同，因而实验方法各有不同。在数学中的实验法，一般可归纳为三类：
（1）特例实验。
特例实验是指在解决数学系问题过程中，按照一定方向，取特例进行探索、试验，从中探索求解决问题的方向和途径，并发现其中的规律。
例2：试求方程x2-7y2=1的最小正整数解。
分析：将原方程化为x2=1+7y2，由于所求的是方程的最小正整数解，而最小的正整数是1，所以不妨取y=1,y=2,y=3,……特殊值试验。
（2）定性实验。
定性实验是探讨研究对象的质的规定性方法，它往往用来检验对象具有某些性质，某种因素之间存在什么关系等，换言之，其目的在于验证和修正猜想，使猜想更趋于数学真理。
例如，对于哥德巴赫猜想：“任何一个大于4的偶数均可表示成两奇素数之和”，一时找不到证明的途径，那么总想通过一些新的事物加以验证，如我们考查偶数28，因为：28=5+23=…即28可以表示成两奇数素数之和。这样便对猜想作了一些验证。
（3）定量实验。
定量实验是以探索数学对象的量的变化及其规律为直接目的实验，即是用来测定对象的数值、数量之间关系的实验。其主要目的在于形成猜想。一般而言，定性实验是基础；定量实验的精确化，其结果往往更具有说服力。
例3：证明平面几何中的“三角形内角和定理”。教师在讲授此定理时，一般可通过定量实验引导学生发现这一定理，如用量角器测量三角形三内角并求和。也可以用割补法。用纸片剪下一个三角形（记为△ABC），如图所示，然后，“撕下”两个角（∠A和∠B ），并将它们拼在∠C 的顶点会发现△ABC的三个内角就以C为顶点结合在一起。我们便会发现，∠2的边与线段BC重合，即△ABC三内角之和为180°。
这个实验不仅帮助我们建立命题，而且还提供了一种证明此命题的方法。
在中学数学教学中，通过引导学生观察和实验，可以帮助学生发现数学真理和解决问题的方向和途径。从而大大提高学生的学习效率。
俗话说，巧妇难无米之炊。一个数学家若不积累一定数量的科学事实即经验材料，他就很难作出什么数学猜想，也不能对数学猜想进行检验和修正，更不能有所发明和创新。而辩证唯物主义认识论告诉我们，获得经验材料的基本途径是对研究对象的关系、性质等的观察和实验。所以观察与实验在中学数学教学中起到举足轻重的作用。
一、观察与实验
前苏联数学教育家B·A奥加涅相认为：观察是人们对客观世界的各个客观事物和现象，在其自然的条件下，按照客观事物本身存在的实际情况，研究和确定它们的性质和关系的方法。从数学角度来说，观察就是人们对事物或问题的数学特征通过视觉获取信息，运用思维辩证其形式、结构和数量关系，从而发现某些规律或性质的方法。著名数学家欧拉说：“在被称为纯粹数学的那部分数学中，观察无疑占有极重要的地位。”观察也能引导我们连续探索求新的性质而致力于它的证明。在数学知识的发现和解决问题的过程中，观察法是常用的有效方法之一。
一般来说，实验就是按照科学研究目的，根据研究对象的自然状态和自身发展规律，人为地设置条件，来引起或控制事物现象的发生或发展过程，并通过感观来认识对象和规律的方法。实验总是和观察相联系的，观察常常可用实验作基础，而实验有可使观察得到的性质或规律得以重现或验证。实验也是解决某些数学问题的有效方法。
二、观察法与实验法在中学数学教学中的作用
诚然，数学不能将观察的结果或实验性的验证作为判断数学命题真假性的充分依据。但是，对于数学活动中的两个阶段，即先于理论的事实积累阶段和理论之后的应用阶段，观察和实验的重要性不亚于演绎理论本身。
(一)观察法在数学教学中的作用。
从数学的发展史中可以看到，数学的许多成就皆起源于细致的观察。在数学科学研究过程中，都需要收集材料和积累材料，这主要靠观察来实现。在数学教学中恰当地运用观察来收集新材料、发现新问题，对于培养学生的观察能力，以及提高教学效果有很大的作用。
（1）观察法在数学概念教学中的作用。
数学概念是客观事物或现象的数学关系、空间形式的基本属性的人们头脑中的反映。所以，许多数学概念，尤其是中小学数学中的有关数、形、函数的概念，在实际生活中都可以发现它的现实原型；而且，数学概念是高度概括、高度抽象的产物，只有密切联系现实原型，从学生接触过或认识过的事物入手，才能使学生容易地理解、掌握数学概念。例如，在引入正负数概念之前，先有意识地让学生观察“零上8℃”，“高于5米，低于3米”等具有相反意义的量，了解引进新的数来表示这种实际问题的必要性，从而可使学生易于接受正负数的概念。
（2）观察法在发现数学定理、公式中的作用。
数学中的定理、公式，就是数学对象之间的关系的一种反映或描述，而数学对象之间的许多关系是从对数学对象的直接观察中得来的。所以，有人说，观察是数学科学研究的“敲门砖”、“引路石”，很有道理的。例如，揭示凸多面体顶点数V、棱数E、面数F之间的关系的欧拉公式V+F-E=2正是始于观察而发现的。又如，我国古代数学中关于二项式的幂（a+b）n的展开式系数的杨辉三角，通过观察后一列系数与前一列系数之间的关系，便可以得到（a+b）n的展开式中任何一项系数。
（3）观察是一种有效的解题方法。
数学解题需要透过观察去认识本质，找出问题的内在联系和规律。观察是一种有目的、有计划、有组织的主动知觉的方法，边观察边思考，有助于寻找解题的突破口，有助于探索和发现解题途径。
例1：自点A（-3，3）发出的光线ι射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆C：（x-2）2+(y-2)2=1相切，求光线ι的直线方程。
分析：这个问题初看似乎难求解，我们不妨结合图形来观察。因为入射光线与反射光线关于x轴对称的，所以圆C关于x轴对称的圆C1必与入射光线 相切，这样学生就能简捷地解出光线ι的直线方程。
（二）实验法在数学教学中的作用。
在数学中，实验法可用来发现或验证数学对换的性质。如几何中对各种图形面积、体积的计算或公式的导出，常使用割补变换成易于计算的等积图形来加以解决。因此，在数学中，应重视实验方法的作用。
不同的学科领域和不同的实验目的，其所需要进行的实验也不同，因而实验方法各有不同。在数学中的实验法，一般可归纳为三类：
（1）特例实验。
特例实验是指在解决数学系问题过程中，按照一定方向，取特例进行探索、试验，从中探索求解决问题的方向和途径，并发现其中的规律。
例2：试求方程x2-7y2=1的最小正整数解。
分析：将原方程化为x2=1+7y2，由于所求的是方程的最小正整数解，而最小的正整数是1，所以不妨取y=1,y=2,y=3,……特殊值试验。
（2）定性实验。
定性实验是探讨研究对象的质的规定性方法，它往往用来检验对象具有某些性质，某种因素之间存在什么关系等，换言之，其目的在于验证和修正猜想，使猜想更趋于数学真理。
例如，对于哥德巴赫猜想：“任何一个大于4的偶数均可表示成两奇素数之和”，一时找不到证明的途径，那么总想通过一些新的事物加以验证，如我们考查偶数28，因为：28=5+23=…即28可以表示成两奇数素数之和。这样便对猜想作了一些验证。
（3）定量实验。
定量实验是以探索数学对象的量的变化及其规律为直接目的实验，即是用来测定对象的数值、数量之间关系的实验。其主要目的在于形成猜想。一般而言，定性实验是基础；定量实验的精确化，其结果往往更具有说服力。
例3：证明平面几何中的“三角形内角和定理”。教师在讲授此定理时，一般可通过定量实验引导学生发现这一定理，如用量角器测量三角形三内角并求和。也可以用割补法。用纸片剪下一个三角形（记为△ABC），如图所示，然后，“撕下”两个角（∠A和∠B ），并将它们拼在∠C 的顶点会发现△ABC的三个内角就以C为顶点结合在一起。我们便会发现，∠2的边与线段BC重合，即△ABC三内角之和为180°。
这个实验不仅帮助我们建立命题，而且还提供了一种证明此命题的方法。
在中学数学教学中，通过引导学生观察和实验，可以帮助学生发现数学真理和解决问题的方向和途径。从而大大提高学生的学习效率。