运用凸函数证明不等式——兼谈一道高考题的背景

• 作 者: 钱照平
• 机 构: 安徽省青阳县木镇中学
• 出 处: 中学数学研究
• 发表日期: 2006年4期
• 关键词: 不等式 凸函数 高考 数学试题 最小值

一、问题的提出2005年全国高考理科数学试题（22）是“Ⅰ，没函数f（x）；xlog2x＋（1-x）log2（1-x）（0〈x〈1），求f（x）的最小值．Ⅱ．设正数P1，P2，P3，…，P2^n满足P1＋P2＋P3＋…＋P2^n=1，证明：P1log2P1＋P2^log2P2＋…＋P2^nlog2P2n≥-n．”这是一个有趣的问题，条件简单明了，结论优美简洁．归纳证题需考虑2^k和2^k＋1的关系，难倒了许多学生．仔细研读，我们发现上述问题和凸函数的一个性质有关．利用此性质易证上述高考题。还能推导出一些常