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摘要：数形结合思想在高中数学学习中占有的重要地位，它是数学思想方法的核心。本文针对高中阶段的实际情况，结合相关理论，旨在研究总结出数形结合这一数学思想在实际的教与学中出现的经验和不足，并研究总结出部分有益的方法以供师生借鉴，从而提高学生的学习效率.
关键词：数形结合；高中数学；思想方法
【中图分类号】G633.6
1数形结合思想的含义
数学是研究客观世界的空间形式和数量关系的科学，数与形是中学数学研究的两类基本对象，形是空间形式的体现，数是数量关系的体现.“数”与“形”既相互独立，又互相渗透，数是形的抽象概括，形是数的直观表现，即数量问题可以转化为图形问题，同时，数学中图形的内容也能够转化为数量方面的内容。
2数形结合思想在高中几何中的应用
2.1以形释数，理解记忆
熟练准确地掌握空间几何的基本概念、公理等基础知识并消除平面几何的知识带来的思维定式是学好立体几何的前提.在立体几何中的概念很抽象，同时又能很形象的通过图形来表达，是展现代数几何统一体的地方。立体几何中的异面直线等概念可以通过几何图形（图1）得到很好的阐释.
图1异面直线a、b
用图形来剖析概念知识，给概念附上图形信息，为记忆保持了形象支持，自效促进了概念的记忆.
2.2通过图形反映记忆公式
数学中公式多，记忆麻烦，是令很多学生头疼的事。如同角三角函数的相关公式有几十个，学生很难记清楚。要是抓住三角函数的几何直观表示，很多公式就容易记忆了.由三角函数的概念可知，三角函数的直观几何表示是依托于直角坐标系和单位圆的三角函数线，如图2所示：
图2：三角函数线 图3
OP是角A的终边，有向线段OM是正弦线，MP是余弦线，AT是正切线，它们的长短就代表相应三角函数值的大小，它们的方向就代表了三角函数值的正负.根据角的终边位置及对应的三角函数线，任意一个象限角的相应三角函数值符号见图便知，并可以把各个结果总结为图3表示几种情况：
每种三角函数在各个象限的符号很快就被记忆下来。据此，结合“奇变偶不变，符号看象限”的口诀，学生就能在短时内记住三角函数的六组诱导公式而且不容易忘记。如“sin（180°+A）=-sinA”，180°是90°的偶数倍，函数名称不变，即公式右边仍然是A角的sin值；把A看成锐角，则180°+A是第三象限角，第三象限角的正弦值是复数，所以在公式右边的sinA前加上一个“-”，就得到了sin（180°+A）=-sinA这个诱导公式.
3数形结合思想在高中概率与统计中的应用
3.1构造直观图形是解题的法宝
数形结合解题常见有两种形式，即“以数解形”和“以形助数”.“以数解形"关键是观察图形，找出图形中的重要数据，以达到解题目的；“以形助数”关键是根据题设条件和探求目标，联想或构造出一个恰当的图形.比如新课程为了让学生更好地理解概率的含义，概率在前排列组合在后.在学习概率时，学生因不知道排列组合公式，只能列出所有基本事件才能求出事件个数及相应概率，但容易重复漏掉。经验发现有两个元素构成的基本事件个数存在一定的规律，该规律可用图表表示.如同时掷两个骰子，出现基本事件的个数可用下表列出来：
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6 （1，1）
（2，1）
（3，1）
（4，1）
（5，1）
（6，1） （1，2）
（2，2）
（3，2）
（4，2）
（5，2）
（6，2） （1，3）
（2，3）
（3，3）
（4，3）
（5，3）
（6，3） （1，4）
（2，4）
（3，4）
（4，4）
（5，4）
（6，4） （1，5）
（2，5）
（3，5）
（4，5）
（5，5）
（6，5） （1，6）
（2，6）
（3，6）
（4，6）
（5，6）
（6，6）
共36个基本事件，根据题目要求个别情况再用排除法。变换题目求l至6的6个数字中取两个组成无重复数字的两位数，仍可以用上表，则共有36-6=30种基本事件。对这种情况我们只需简单列出上述图表就能很容易得到所有基本事件的个数，我们称之为“概率双选表”.
数形结合能够将很多比较复杂的问题简单化，也能够使数学解题方法多样化。一旦能够在图形特征中发现数量关系，而且还能够将图形的特征来体现出来，并且利用图形来快速的得到正确的解决结果.
3.2“生成学习”模式下的数形结合
生成是新课程教学的一个亮点，生成不但能够体现数学课堂教学的综合性，而且能够激发老师和学生的创造性和创作型思维，从而实现课堂教学的高效率运行. 数学课堂上用生成学习教学模式，为激发学生的思维能力开拓了一条宽阔之路.下面是生成“抛豆抽签”课堂实录：
师：请用抽签法叙述从8位同学中选两位去参加一项活动。
生：先画个圆，再从圆中画出占2/8比例的面积.（如图4）
图4 图5 图6抛显抽签图
师；那你选的是谁？明确吗？
生：不明确.
师：所问问题是哪种概率类型？
生：古典概型.
师：用面积表示的是哪种概率类型？
生：几何概型.
师：你能把几何概型中的无限个数变为古典概型中的有限个数吗？
生：把圆均匀分成8份。取两份.（如图5）
师：是指定两个还是随机选取的？
生：好像指定的.
师：怎样变成随机抽取？
生：拿一粒黄豆随机抛入圆内，抛入几号格域内就抽取几号，连续抛两次。（如图6）
师：现在我们把制作标签的过程变成了画图均分的过程，省去了作标签的麻烦，克服了抽签法的一个缺点。我们可以把这种抽签方式命名为“抛豆抽签"法.
学生结合抽签法与几何概型，利用数形结合，借助图形表示签子，降低了制作签子的成本，用投掷豆子来表示抽签过程，使抽签法更加简便易行。这种无意识的随机性的生成的课堂教学为发挥学生的主体作用提供了广阔的空间.
4. 结论与启示
第一，利用数与形的客观存在及创设图景情境等手段实现数形结合的增趣功能；第二，通过以形释数、理解记忆，实验演示、思维导图等策略实现数形结合的记忆功能；第三，数形结合具有解题功能，在利用数形结合解题时强调要抓住两点，一是掌握代数式的几何意义，二是构造直观图形；第四，结合“自主探究”、“生成学习”等教学模式，发挥数形结合发展学生思维能力的功能。
关键词：数形结合；高中数学；思想方法
【中图分类号】G633.6
1数形结合思想的含义
数学是研究客观世界的空间形式和数量关系的科学，数与形是中学数学研究的两类基本对象，形是空间形式的体现，数是数量关系的体现.“数”与“形”既相互独立，又互相渗透，数是形的抽象概括，形是数的直观表现，即数量问题可以转化为图形问题，同时，数学中图形的内容也能够转化为数量方面的内容。
2数形结合思想在高中几何中的应用
2.1以形释数，理解记忆
熟练准确地掌握空间几何的基本概念、公理等基础知识并消除平面几何的知识带来的思维定式是学好立体几何的前提.在立体几何中的概念很抽象，同时又能很形象的通过图形来表达，是展现代数几何统一体的地方。立体几何中的异面直线等概念可以通过几何图形（图1）得到很好的阐释.
图1异面直线a、b
用图形来剖析概念知识，给概念附上图形信息，为记忆保持了形象支持，自效促进了概念的记忆.
2.2通过图形反映记忆公式
数学中公式多，记忆麻烦，是令很多学生头疼的事。如同角三角函数的相关公式有几十个，学生很难记清楚。要是抓住三角函数的几何直观表示，很多公式就容易记忆了.由三角函数的概念可知，三角函数的直观几何表示是依托于直角坐标系和单位圆的三角函数线，如图2所示：
图2：三角函数线 图3
OP是角A的终边，有向线段OM是正弦线，MP是余弦线，AT是正切线，它们的长短就代表相应三角函数值的大小，它们的方向就代表了三角函数值的正负.根据角的终边位置及对应的三角函数线，任意一个象限角的相应三角函数值符号见图便知，并可以把各个结果总结为图3表示几种情况：
每种三角函数在各个象限的符号很快就被记忆下来。据此，结合“奇变偶不变，符号看象限”的口诀，学生就能在短时内记住三角函数的六组诱导公式而且不容易忘记。如“sin（180°+A）=-sinA”，180°是90°的偶数倍，函数名称不变，即公式右边仍然是A角的sin值；把A看成锐角，则180°+A是第三象限角，第三象限角的正弦值是复数，所以在公式右边的sinA前加上一个“-”，就得到了sin（180°+A）=-sinA这个诱导公式.
3数形结合思想在高中概率与统计中的应用
3.1构造直观图形是解题的法宝
数形结合解题常见有两种形式，即“以数解形”和“以形助数”.“以数解形"关键是观察图形，找出图形中的重要数据，以达到解题目的；“以形助数”关键是根据题设条件和探求目标，联想或构造出一个恰当的图形.比如新课程为了让学生更好地理解概率的含义，概率在前排列组合在后.在学习概率时，学生因不知道排列组合公式，只能列出所有基本事件才能求出事件个数及相应概率，但容易重复漏掉。经验发现有两个元素构成的基本事件个数存在一定的规律，该规律可用图表表示.如同时掷两个骰子，出现基本事件的个数可用下表列出来：
1 2 3 4 5 6
1
2
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5
6 （1，1）
（2，1）
（3，1）
（4，1）
（5，1）
（6，1） （1，2）
（2，2）
（3，2）
（4，2）
（5，2）
（6，2） （1，3）
（2，3）
（3，3）
（4，3）
（5，3）
（6，3） （1，4）
（2，4）
（3，4）
（4，4）
（5，4）
（6，4） （1，5）
（2，5）
（3，5）
（4，5）
（5，5）
（6，5） （1，6）
（2，6）
（3，6）
（4，6）
（5，6）
（6，6）
共36个基本事件，根据题目要求个别情况再用排除法。变换题目求l至6的6个数字中取两个组成无重复数字的两位数，仍可以用上表，则共有36-6=30种基本事件。对这种情况我们只需简单列出上述图表就能很容易得到所有基本事件的个数，我们称之为“概率双选表”.
数形结合能够将很多比较复杂的问题简单化，也能够使数学解题方法多样化。一旦能够在图形特征中发现数量关系，而且还能够将图形的特征来体现出来，并且利用图形来快速的得到正确的解决结果.
3.2“生成学习”模式下的数形结合
生成是新课程教学的一个亮点，生成不但能够体现数学课堂教学的综合性，而且能够激发老师和学生的创造性和创作型思维，从而实现课堂教学的高效率运行. 数学课堂上用生成学习教学模式，为激发学生的思维能力开拓了一条宽阔之路.下面是生成“抛豆抽签”课堂实录：
师：请用抽签法叙述从8位同学中选两位去参加一项活动。
生：先画个圆，再从圆中画出占2/8比例的面积.（如图4）
图4 图5 图6抛显抽签图
师；那你选的是谁？明确吗？
生：不明确.
师：所问问题是哪种概率类型？
生：古典概型.
师：用面积表示的是哪种概率类型？
生：几何概型.
师：你能把几何概型中的无限个数变为古典概型中的有限个数吗？
生：把圆均匀分成8份。取两份.（如图5）
师：是指定两个还是随机选取的？
生：好像指定的.
师：怎样变成随机抽取？
生：拿一粒黄豆随机抛入圆内，抛入几号格域内就抽取几号，连续抛两次。（如图6）
师：现在我们把制作标签的过程变成了画图均分的过程，省去了作标签的麻烦，克服了抽签法的一个缺点。我们可以把这种抽签方式命名为“抛豆抽签"法.
学生结合抽签法与几何概型，利用数形结合，借助图形表示签子，降低了制作签子的成本，用投掷豆子来表示抽签过程，使抽签法更加简便易行。这种无意识的随机性的生成的课堂教学为发挥学生的主体作用提供了广阔的空间.
4. 结论与启示
第一，利用数与形的客观存在及创设图景情境等手段实现数形结合的增趣功能；第二，通过以形释数、理解记忆，实验演示、思维导图等策略实现数形结合的记忆功能；第三，数形结合具有解题功能，在利用数形结合解题时强调要抓住两点，一是掌握代数式的几何意义，二是构造直观图形；第四，结合“自主探究”、“生成学习”等教学模式，发挥数形结合发展学生思维能力的功能。