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年年高考卷不同，“范围”问题岁岁多.作为一种经典成熟的题型，有关参数范围的求解题连续多年出现在各省高考卷中.它犹如一个不同凡响的智能化平台，函数、三角、数列、立几、解几等各种模块都可往上安装，填空、选择、求解、证明等各种题型都有涉及.它的区分度大，容易的普通学生一看就能报出答案，难的压轴试题就是执教多年的资深教师也不敢轻易言会.由于 “范围”问题综合性强、灵活性高，融众多知识和技巧于一体，学生见到这类问题常常感到心中无数、无所适从.在教学中，笔者启发学生从最常规思路入手，把解题思路定位于寻找“不等关系”，收到了较好的效果.
下面举例分析.
例1 在等差数列{an}中，a1=7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n=8时Sn取最大值，则d的取值范围.
解析：因为a1=7>0，当且仅当n=8时Sn取最大值，可知d<0且同时满足a8>0，a9<0，所以a8=7 7d>0a9=7 8d<0，易得-1 点评： 题设中“当且仅当n=8时Sn取最大值”显然就是所需的“不等关系”.
例2 在平面直角坐标系xOy中，对于直线I：ax by c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1 by1 c）（ax2 by2 c），若η<0，则称点P1，P2被直线I分隔，若曲线C与直线I没有公共点，且曲线C上存在点P1，P2被直线I分割，则称直线I为曲线C的一条分隔线.若直线y=kx是曲线x2-4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围.
解析：联立x2-4y2=1，y=kx，可得（1-4k2）x2=1.根据题意，此方程无解，故有△=4（1-4k2）≤0.所以k≤-12，或k≥12.
点评：该题属新定义类创新题，直线y=kx是曲线x2-4y2=1的分隔线意味着它们联立后无解，等价于通过联立方程得到一个新的一元二次方程无实根，故△≤0就是我们要找的本“不等关系”.
图1
例3 如图1，已知抛物线E∶y2=x与圆M∶（x-4）2 y2=r2（r>0）相交于A、B、C、D四个点.求r得取值范围.
解析：将抛物线E∶y2=x与圆M∶（x-4）2 y2=r2（r>0）的方程联立，消去y2，整理得x2-7x 16-r2=0. （1）
由题意，方程（1）有两个不相等的正根即可.
故△=72-4（16-r2）>0x1 x2=7>0x1x2=16-r2>0易得r∈（152，4）.
点评：通过联立方程得到一个新的一元二次方程，由对称性知抛物线与圆相交于四个点等价于该方程有两个不等正根，故两不等正根就是本题的“不等关系”.
例4 若不等式|2x-1| |x 2|≥a2 12a 2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是.
解析：|2x-1| |x 2|=-3x-1，x<-2，-x 3，-2≤x≤12，3x-1，x>12，
∴x=12时，|2x-1| |x 2|的最小值为52.
∵不等式|2x-1| |x 2|≥a2 12a 2对任意实数x恒成立，
∴a2 12a 2≤52.
∴a2 12a-12≤0.
∴-1≤a≤12.
∴实数a的取值范围是[-1，12].故答案为[-1，12].
点评：利用绝对值的意义，确定|2x-1| |x 2|的最小值为52，a2 12a 2≤52就是本题要寻找的“不等关系”.
总之，基本不等式是一种直接的不等关系，用在范围问题的处理上往往显得特别简捷.在应用时，要注意“一正，二定，三相等”.
下面举例分析.
例1 在等差数列{an}中，a1=7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n=8时Sn取最大值，则d的取值范围.
解析：因为a1=7>0，当且仅当n=8时Sn取最大值，可知d<0且同时满足a8>0，a9<0，所以a8=7 7d>0a9=7 8d<0，易得-1
例2 在平面直角坐标系xOy中，对于直线I：ax by c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1 by1 c）（ax2 by2 c），若η<0，则称点P1，P2被直线I分隔，若曲线C与直线I没有公共点，且曲线C上存在点P1，P2被直线I分割，则称直线I为曲线C的一条分隔线.若直线y=kx是曲线x2-4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围.
解析：联立x2-4y2=1，y=kx，可得（1-4k2）x2=1.根据题意，此方程无解，故有△=4（1-4k2）≤0.所以k≤-12，或k≥12.
点评：该题属新定义类创新题，直线y=kx是曲线x2-4y2=1的分隔线意味着它们联立后无解，等价于通过联立方程得到一个新的一元二次方程无实根，故△≤0就是我们要找的本“不等关系”.
图1
例3 如图1，已知抛物线E∶y2=x与圆M∶（x-4）2 y2=r2（r>0）相交于A、B、C、D四个点.求r得取值范围.
解析：将抛物线E∶y2=x与圆M∶（x-4）2 y2=r2（r>0）的方程联立，消去y2，整理得x2-7x 16-r2=0. （1）
由题意，方程（1）有两个不相等的正根即可.
故△=72-4（16-r2）>0x1 x2=7>0x1x2=16-r2>0易得r∈（152，4）.
点评：通过联立方程得到一个新的一元二次方程，由对称性知抛物线与圆相交于四个点等价于该方程有两个不等正根，故两不等正根就是本题的“不等关系”.
例4 若不等式|2x-1| |x 2|≥a2 12a 2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是.
解析：|2x-1| |x 2|=-3x-1，x<-2，-x 3，-2≤x≤12，3x-1，x>12，
∴x=12时，|2x-1| |x 2|的最小值为52.
∵不等式|2x-1| |x 2|≥a2 12a 2对任意实数x恒成立，
∴a2 12a 2≤52.
∴a2 12a-12≤0.
∴-1≤a≤12.
∴实数a的取值范围是[-1，12].故答案为[-1，12].
点评：利用绝对值的意义，确定|2x-1| |x 2|的最小值为52，a2 12a 2≤52就是本题要寻找的“不等关系”.
总之，基本不等式是一种直接的不等关系，用在范围问题的处理上往往显得特别简捷.在应用时，要注意“一正，二定，三相等”.