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【摘 要】“九宫图”是一个简易的数学模型，却蕴含着大量的数学规律。教师要想在探究“九宫图”的各种内在数学规律的基础上，充分开发“九宫图”的教育价值，就要对九宫图的文化背景、九宫图的不同填法、“九宫图”的数字规律等进行深入的分析，从而提出教学设想。
【关键词】九宫图 教学价值
“越是简单的知识，越能体现数学的本源。”九宫图就是这样的一个例子。在3×3的九个方格中，分别填入1至9这九个数。这是一个十分简单的数学问题，简单到只要以“20以内的加法”作为基础，就可以解决这个数学问题（如右图）。但是，却赋予它神话的色彩，下面让我们慢慢走进“九宫图”的世界。
一、九宫图的文化背景分析
相传，在夏禹时代，洛水中曾出现过一只大的神龟，它的背壳上有个图（如左下图），人们把这个图称作“洛书”。据说，这个图中蕴含了世间万物的变化规律， “洛书”为当时的首领大禹所得，他从中悟出了治理天下的道理。
“洛书”比较形象的称法是“九宫图”或“纵横图”，它的神奇特点吸引了无数人对它痴迷。从我国古代的“河出图，洛出书，圣人则之”的传说起，系统研究九宫图的第一人，是我国古代数学家——杨辉。
二、九宫图的填写方法分析
九宫图的填法，如果用算术法凑数，可以用“罗列数组，对号入座”的方法很快地填出。但是，人们在此基础上，还创造出了许多口诀，根据口诀，可以按部就班地填出九宫图，增强填写“九宫图”的趣味性。下面我们列举几种适合小学生填写与了解的方法，并简要说明大致的教学设想。
（一）罗列数组，对号入座
（二）归纳口诀，记忆填数
用上面的填法，固然可以填写九宫图，但是需要一个较长的过程。因此，还可以编写出填写的口诀。这些口诀又可以分为两类，一类是直接填数法，一类是表述过程法。
1.直接填数法
这给我们提供了很好的教学思路：在学生按“罗列数组，对号入座”的方法填写出“九宫图”后，请学生阅读上面的两句口诀，说一说这两句口诀的意思及编写的思路。然后请学生再独立找一找“九宫图”中各个数的其他特征，自己来创作一句填数口诀。 2.表述过程法
用直接填数的口诀虽然形象生动，但是如果把它作为真正的填数方法，可能要增加学生的记忆负担。所以人们又创作出了另一种口诀，描述的是如何从最简单的数的排列，通过最简便的数的位置移动，实现填写九宫图的目的。
下面介绍的就是杨辉创造的一种填数口诀：
九数斜排，上下对易，左右互换。
读完上面的口诀，再看下面的两个图示，是否学会了“九宫图”的快速填法了？
在国外也有类似的口诀， “罗伯”口诀是其中有名的。
一填首行正中央，依次斜上莫要忘，
上出下填右出左，若是重了填下方。
从上面的填写法的分析中，我们感受到了数学家对于“九宫图”的喜欢，他们不满足于常规的填法，创造出了许多口诀，体现了数学家的创造精神。但是，“九宫图”真正吸引人们，尤其是数学家的研究兴趣的，并不仅仅是它的数学文化背景或它的填法创造，更为重要的是“九宫图”——这个只有9个数构建而成的数学模型中所蕴含着的数学规律。笔者收集了其中一些浅显易懂的规律，力图让它们成为教学资源。
（一）“田—口=15”
“九宫图”中的任何一个“田”格中的4数之和，减去与此“田”格不同行不同列的另一格之数，必等于15。如（2 9 7 5）-8=15，（7 5 6 1）-4=15。
（二）相等数对
把“九宫图”的中心格5抹去（如左图）以后，经过中心格的任一条线上的两数和均是10。其实这种相等的数对处处可见：我们随意压住“九宫图”中的一格，那么与这格相交的各线，所剩的两数的和全相等。就如我们提起一个正方形网片一样，无论我们从哪个角上提起，从这个角向三个方向看去，所看到每条线上的两数之和都相等。
（三）递增和
“九宫图”中对称的两行或两列，将每行（列）各数依次乘一个等差数列的各项，各项积之和必相等。例如
2×1 9×2 4×3=6×1 1×2 8×3=32。
2×5 9×8 4×11=6×5 1×8 8×11=126。
4×11 3×21 8×31=2×11 7×21 6×31=355。
（四）平方和相等性
“九宫图”的第一、三行或者第一、三列所含的数的平方和相等，即42 92 22=82 12 62=101，42 32 82=22 72 62=89。
此外过中心4线上各数的平方和也有规律，请看：（22 52 82） （42 52 62） 10=（72 52 32） （92 52 12）-10=180。
（五）循环积和
“九宫图”中第一、三行或第一、三列，顺次两数相乘，其和必相等，即
2×9 9×4 4×2=6×1 1×8 6×8。
4×3 3×8 8×4=2×7 7×6 6×2。
（六）对称积和
在对称的两行或两列中，一条线上，两端两数之积的2倍，与中间一数的平方之和相等，例如
（2×4）×2 92=（6×8）×2 12=97。
（6×2）×2 72=（8×4）×2 32=73。
以上只是笔者收集到的关于“九宫图”规律的一小部分。显然，要把它们转化成课程资源，需要教师进行创造性的开发。
首先，把这些规律按发现的难度进行分类。如上面的六个规律，由易到难，最简单的是“相等数对”的规律，最难的当数“对称积和”。
对于这些规律，在教师的引导下进行自主发现。在这个过程中，如果学生有其他的新发现，同样给予肯定。如要求学生找“相等数对”时，有一位学生说，他还发现了“角上的数是相对的两个肩上数的和的一半”，并举例子：8=（7 9）÷2。同时，在找到“相等数对”后，教师也可以进一步追问与引导，让学生从中发现新的规律，如可以从“相等数对”中衍生出：角上四个数的和等于边上四个数的和。
其次，把这些规律按与教材知识的匹配程度分，具体安排在各个不同的年级，引导学生有不同的发现。
如在学习了多位数加法之后，教师请学生按下面的要求计算：计算顺写的三个三位数的和与逆写的三个三位数的和，进而总结出：顺写的三个三位数的和等于逆写的三个三位数的和。如 816 357 492=618 753 294。
进而追问：为什么会有这样的规律？知道了为什么后，再请学生计算竖着的顺写与逆写的情况下三个数的和是否相等。
上面的活动，利用学生新近学习的计算方法来探究“九宫图”中的新规律。既有利于提高学生的计算技能，同时又丰富了对“九宫图”规律的新认识，激发了学生的学习兴趣。
总之，对作为教学资源的“九宫图”规律的探究，并不是只为了探究规律而组织活动，它完全可以融合到我们平时的计算教学中，为计算教学平添了一道人文风景。
（浙江省杭州市萧山区所前二小 311200浙江省杭州市萧山区北干小学 311200）
【关键词】九宫图 教学价值
“越是简单的知识，越能体现数学的本源。”九宫图就是这样的一个例子。在3×3的九个方格中，分别填入1至9这九个数。这是一个十分简单的数学问题，简单到只要以“20以内的加法”作为基础，就可以解决这个数学问题（如右图）。但是，却赋予它神话的色彩，下面让我们慢慢走进“九宫图”的世界。
一、九宫图的文化背景分析
相传，在夏禹时代，洛水中曾出现过一只大的神龟，它的背壳上有个图（如左下图），人们把这个图称作“洛书”。据说，这个图中蕴含了世间万物的变化规律， “洛书”为当时的首领大禹所得，他从中悟出了治理天下的道理。
“洛书”比较形象的称法是“九宫图”或“纵横图”，它的神奇特点吸引了无数人对它痴迷。从我国古代的“河出图，洛出书，圣人则之”的传说起，系统研究九宫图的第一人，是我国古代数学家——杨辉。
二、九宫图的填写方法分析
九宫图的填法，如果用算术法凑数，可以用“罗列数组，对号入座”的方法很快地填出。但是，人们在此基础上，还创造出了许多口诀，根据口诀，可以按部就班地填出九宫图，增强填写“九宫图”的趣味性。下面我们列举几种适合小学生填写与了解的方法，并简要说明大致的教学设想。
（一）罗列数组，对号入座
（二）归纳口诀，记忆填数
用上面的填法，固然可以填写九宫图，但是需要一个较长的过程。因此，还可以编写出填写的口诀。这些口诀又可以分为两类，一类是直接填数法，一类是表述过程法。
1.直接填数法
这给我们提供了很好的教学思路：在学生按“罗列数组，对号入座”的方法填写出“九宫图”后，请学生阅读上面的两句口诀，说一说这两句口诀的意思及编写的思路。然后请学生再独立找一找“九宫图”中各个数的其他特征，自己来创作一句填数口诀。 2.表述过程法
用直接填数的口诀虽然形象生动，但是如果把它作为真正的填数方法，可能要增加学生的记忆负担。所以人们又创作出了另一种口诀，描述的是如何从最简单的数的排列，通过最简便的数的位置移动，实现填写九宫图的目的。
下面介绍的就是杨辉创造的一种填数口诀：
九数斜排，上下对易，左右互换。
读完上面的口诀，再看下面的两个图示，是否学会了“九宫图”的快速填法了？
在国外也有类似的口诀， “罗伯”口诀是其中有名的。
一填首行正中央，依次斜上莫要忘，
上出下填右出左，若是重了填下方。
从上面的填写法的分析中，我们感受到了数学家对于“九宫图”的喜欢，他们不满足于常规的填法，创造出了许多口诀，体现了数学家的创造精神。但是，“九宫图”真正吸引人们，尤其是数学家的研究兴趣的，并不仅仅是它的数学文化背景或它的填法创造，更为重要的是“九宫图”——这个只有9个数构建而成的数学模型中所蕴含着的数学规律。笔者收集了其中一些浅显易懂的规律，力图让它们成为教学资源。
（一）“田—口=15”
“九宫图”中的任何一个“田”格中的4数之和，减去与此“田”格不同行不同列的另一格之数，必等于15。如（2 9 7 5）-8=15，（7 5 6 1）-4=15。
（二）相等数对
把“九宫图”的中心格5抹去（如左图）以后，经过中心格的任一条线上的两数和均是10。其实这种相等的数对处处可见：我们随意压住“九宫图”中的一格，那么与这格相交的各线，所剩的两数的和全相等。就如我们提起一个正方形网片一样，无论我们从哪个角上提起，从这个角向三个方向看去，所看到每条线上的两数之和都相等。
（三）递增和
“九宫图”中对称的两行或两列，将每行（列）各数依次乘一个等差数列的各项，各项积之和必相等。例如
2×1 9×2 4×3=6×1 1×2 8×3=32。
2×5 9×8 4×11=6×5 1×8 8×11=126。
4×11 3×21 8×31=2×11 7×21 6×31=355。
（四）平方和相等性
“九宫图”的第一、三行或者第一、三列所含的数的平方和相等，即42 92 22=82 12 62=101，42 32 82=22 72 62=89。
此外过中心4线上各数的平方和也有规律，请看：（22 52 82） （42 52 62） 10=（72 52 32） （92 52 12）-10=180。
（五）循环积和
“九宫图”中第一、三行或第一、三列，顺次两数相乘，其和必相等，即
2×9 9×4 4×2=6×1 1×8 6×8。
4×3 3×8 8×4=2×7 7×6 6×2。
（六）对称积和
在对称的两行或两列中，一条线上，两端两数之积的2倍，与中间一数的平方之和相等，例如
（2×4）×2 92=（6×8）×2 12=97。
（6×2）×2 72=（8×4）×2 32=73。
以上只是笔者收集到的关于“九宫图”规律的一小部分。显然，要把它们转化成课程资源，需要教师进行创造性的开发。
首先，把这些规律按发现的难度进行分类。如上面的六个规律，由易到难，最简单的是“相等数对”的规律，最难的当数“对称积和”。
对于这些规律，在教师的引导下进行自主发现。在这个过程中，如果学生有其他的新发现，同样给予肯定。如要求学生找“相等数对”时，有一位学生说，他还发现了“角上的数是相对的两个肩上数的和的一半”，并举例子：8=（7 9）÷2。同时，在找到“相等数对”后，教师也可以进一步追问与引导，让学生从中发现新的规律，如可以从“相等数对”中衍生出：角上四个数的和等于边上四个数的和。
其次，把这些规律按与教材知识的匹配程度分，具体安排在各个不同的年级，引导学生有不同的发现。
如在学习了多位数加法之后，教师请学生按下面的要求计算：计算顺写的三个三位数的和与逆写的三个三位数的和，进而总结出：顺写的三个三位数的和等于逆写的三个三位数的和。如 816 357 492=618 753 294。
进而追问：为什么会有这样的规律？知道了为什么后，再请学生计算竖着的顺写与逆写的情况下三个数的和是否相等。
上面的活动，利用学生新近学习的计算方法来探究“九宫图”中的新规律。既有利于提高学生的计算技能，同时又丰富了对“九宫图”规律的新认识，激发了学生的学习兴趣。
总之，对作为教学资源的“九宫图”规律的探究，并不是只为了探究规律而组织活动，它完全可以融合到我们平时的计算教学中，为计算教学平添了一道人文风景。
（浙江省杭州市萧山区所前二小 311200浙江省杭州市萧山区北干小学 311200）