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【摘要】模型预测控制技术是处理多变量约束系统最优控制问题的最有效的方法之一，已经在石油、化工等流程工业领域获得了广泛应用，取得了巨大的经济效益与社会效益（如减少能耗，减少污染）。模型预测控制基于滑动时域在线反复优化的思想来近似求解无限时间约束最优控制问题。由于模型预测控制的反复在线优化计算特点，模型预测控制技术通常只适用于被控对象问题规模不是很大或者系统的动态变化较慢的场合，如石油化工等过程控制系统；不适用于被控对象问题规模较大或者采样速率较高的系统，如动态变化较快的机电系统、机械结构振动主动控制等情形（在一个采样周期内难以完成优化问题的求解）。
【关键词】多参数规划法；显式模型预测控制；机械振动控制；电梯机械系统
0.引言
模型预测控制技术是处理多变量约束系统最优控制问题的最有效的方法之一，已经在石油、化工等流程工业领域获得了广泛应用，取得了巨大的经济效益与社会效益（如减少能耗，减少污染）。模型预测控制基于滑动时域在线反复优化的思想来近似求解无限时间约束最优控制问题。由于模型预测控制的反复在线优化计算特点，模型预测控制技术通常只适用于被控对象问题规模不是很大或者系统的动态变化较慢的场合，如石油化工等过程控制系统；不适用于被控对象问题规模较大或者采样速率较高的系统，如动态变化较快的机电系统、机械结构振动主动控制等情形（在一个采样周期内难以完成优化问题的求解）。
最近几年，国际上对于优化控制问题的显式求解方面的研究非常活跃，特别是Bemporad等人所做的開创性工作。把多参数规划理论引入到线性时不变对象的约束二次优化控制问题的求解中，得到了优化控制问题最优控制律与优化问题所含的参数之间的显式函数关系。即：离线计算时，应用多参数规划方法对系统的状态区域（即参数区域）进行凸划分，并建立对应每个状态分区上的优化问题的最优控制律与状态（参数）之间的显式函数关系（为状态的线性控制律）；在此之后，当优化问题所含的状态（参数）变化时，无需重新求解优化问题，只需确定当前时刻系统的状态（参数）所处的分区，并按照该分区上事先建立的优化问题的显式解，直接得到对应当前参数的最优控制量。Bemporad之后的许多学者对于多参数规划问题的求解方法的效率做了进一步的改进。
1.约束线性时不变系统最优控制的多参数规划求解方法
考虑线性时不变离散系统：
x(t+1)=Ax(t)+Bu(t)y(t)=Cx(t) （1）
满足状态和控制输入的约束条件：
Ex（t）+Lu（t）≤M t≥0 （2）
定义二次性能目标函数：
J(U,x(0))=Px2+(Qx2+Ru2 （3）
考虑约束线性时不变离散系统的最优控制问题：
J(x(0))=J(U,x(0))
s.t.Ex+Lu≤M, k=0,•••,N-1（4）
x+1=Ax+Bu(k),k≥0
x=x(0),x∈x
x∈x为终点状态约束条件。UN为优化问题（4）的决策向量，U=u′,•••,u′∈R,Q=Q′≥0,R=r>0，p≥0。定义x?哿R为满足式（4）中约束条件的x（0）的集合。优化问题（4）的最优决策向量U(x(0))取决于x（0）。当x（0）的值改变时，通常我们都是重新求解优化问题（4）。如果把系统的状态x（0）看作优化问题（4）的参数向量，设法得到当x（0）在可能的区域内改变时，U(x(0))与x（0）之间的显式函数关系，那么就可以避免x（0）取值变化时的反复优化计算。文[l]正是基于此思想，把优化问题（4）视为多参数二次规划问题，并给出了一种多参数二次规划问题的求解方法，得到优化问题（4）的显式解，即U(x(0))与x（0）之间的显式函数关系。
结论：约束线性时不变系统的最优控制问题（4），其可行域X为多面体域，X=x∈R|Hx≤K ，最优决策向量U(x(0))是x（0）的分段线性连续函数：U(x(0))=Fx(0)+G,x(0)∈CR,(i=1,•••,N)（CR表示状态的第i个分区，N表示状态的分区数目）。 CR 是X的凸划分，即：UCR=x,CR∩CR=0(i≠j)， CR为多面体集。
2.电梯机械振动系统动力学模型
建立准确可靠的电梯机械系统振动模型，是对电梯产品振动进行土动控制的基础。根据电梯机构的传动原理及结构特点，作出必要的假定与简化得到系统的集中参量振动力学模型，在此基础上可由拉格朗日方程得到系统的振动力学数学模型经分析与简化，系统的自由度为7个。虽然系统在运行过程中没有外加的激励作用，但系统必须通过一个加速起动或减速制动过程进入平稳运行阶段或静止停靠，由此产生的刚体运动惯性力即为系统的激励。电梯动力学系统模型的刚度矩阵是轿箱刚体运行位置或运行时间的函数（系统的刚度土要由钢丝绳的长度决定，而随着电梯的运行，电梯每侧的钢丝绳长度在变化），电梯动力学系统模型的质量矩阵随着电梯的运行工况而变（空载、轻载和重载等不同的工况），因此电梯机械系统振动力学模型是一个时变系统模型。
在电梯机械系统的主动振动控制中，作动器的布置必须考虑安装的方便性、各种布置方案下所需控制能量的大小以及控制的效率等问题。由于我们关心的只是轿箱的振动状况，希望把轿箱的振动控制在所要求的范围之内。因此考虑在轿箱与轿架之间施加控制力。
传统的隐式模型预测控制算法采用在线反复优化计算的策略，因而采样速率通常不能太高，采样周期不能太小。机械振动系统，特别是高频振动系统，与过程控制系统相比较，动态变化的过程一般比较快。离散化连续时间振动系统时，为了使得振动信息不丢失，往往需要较高的采样频率。因而，传统的模型预测控制算法很难应用于机械振动系统的控制。
3.电梯机械系统主动振动的显式模型预测控制
借助多参数规划工具箱和本文方法，首先对降阶简化的二阶动力学模型做仿真计算（仿真计算1）。在仿真计算2（未降阶的高阶系统）中，对于电梯处于不同工况（轻载，重载）时的机械系统振动控制情况做仿真计算。
取采样周期为T=0.02，电梯机械振动系统经降阶简化后的二阶离散状态空间模型为：
A= -0.4084 -75.16 0.007516-0.2581,B=0.0075160.0001258
C=1 00 10,D=00
为了保证人体的舒适性，对于电梯轿箱的振动位移、振动速度以及振动加速度必须加以约束限制，相对应地引入系统的状态与输入的约束条件：
-1≤x(kT)≤1,k=1,2,•••
-10≤x(kT)≤10,k=1,2,•••
-10≤u(kT)≤10,k=0,1,•••
仿真计算1：简化的二阶动力学模型。取N=2，离线计算得到系统的状态分区以及状态分区对应的控制律。在线计算时，首先确定当前的状态所处的分区（查表计算），并确定对应的控制输入序列（线性表达式计算）。根据模型预测控制的滑动优化策略，取出控制输入序列中的第一个控制信号，作为当前时刻实际作用到系统上的控制输入。下一时刻重复以上的过程，得到系统状态的演化轨迹。给定初始状态x（0）=[0.1，0.003]，闭环模型预测控制系统的状态随时间的演化过程如图3所示。从仿真计算中可以看到，从初始状态x（0）=[0.1，3e-3]出发的系统的状态演化过程渐近收敛至系统的平衡状态。初（下转第４２页）（上接第１８３页）始状态中的x2=0.003虽然处于系统状态的约束范围-10-3≤x2（kt）≤10-3之外，但在k≥1时，系统的状态都能满足约束条件。
仿真计算2：未降阶的高阶电梯机械系统振动控制。应用本文建立的线性时变对象的显式模型预测控制系统，仿真计算电梯处于不同工况（轻载，重载）时的轿箱机械振动加速度的抑制情况。
4.结语
本文基于约束线性优化控制问题的多参数规划求解方法，建立了约束线性（时变、时不变）系统的显式模型预测控制系统。应用显式模型预测控制技术，对电梯机械系统振动的主动控制做了研究。研究结果表明，显式模型预测控制对于电梯机械振动主动控制效果明显。
【参考文献】
［１］王槊华.显式模型预测控制的研究及应用［D］.浙江工业大学, 2009.
【关键词】多参数规划法；显式模型预测控制；机械振动控制；电梯机械系统
0.引言
模型预测控制技术是处理多变量约束系统最优控制问题的最有效的方法之一，已经在石油、化工等流程工业领域获得了广泛应用，取得了巨大的经济效益与社会效益（如减少能耗，减少污染）。模型预测控制基于滑动时域在线反复优化的思想来近似求解无限时间约束最优控制问题。由于模型预测控制的反复在线优化计算特点，模型预测控制技术通常只适用于被控对象问题规模不是很大或者系统的动态变化较慢的场合，如石油化工等过程控制系统；不适用于被控对象问题规模较大或者采样速率较高的系统，如动态变化较快的机电系统、机械结构振动主动控制等情形（在一个采样周期内难以完成优化问题的求解）。
最近几年，国际上对于优化控制问题的显式求解方面的研究非常活跃，特别是Bemporad等人所做的開创性工作。把多参数规划理论引入到线性时不变对象的约束二次优化控制问题的求解中，得到了优化控制问题最优控制律与优化问题所含的参数之间的显式函数关系。即：离线计算时，应用多参数规划方法对系统的状态区域（即参数区域）进行凸划分，并建立对应每个状态分区上的优化问题的最优控制律与状态（参数）之间的显式函数关系（为状态的线性控制律）；在此之后，当优化问题所含的状态（参数）变化时，无需重新求解优化问题，只需确定当前时刻系统的状态（参数）所处的分区，并按照该分区上事先建立的优化问题的显式解，直接得到对应当前参数的最优控制量。Bemporad之后的许多学者对于多参数规划问题的求解方法的效率做了进一步的改进。
1.约束线性时不变系统最优控制的多参数规划求解方法
考虑线性时不变离散系统：
x(t+1)=Ax(t)+Bu(t)y(t)=Cx(t) （1）
满足状态和控制输入的约束条件：
Ex（t）+Lu（t）≤M t≥0 （2）
定义二次性能目标函数：
J(U,x(0))=Px2+(Qx2+Ru2 （3）
考虑约束线性时不变离散系统的最优控制问题：
J(x(0))=J(U,x(0))
s.t.Ex+Lu≤M, k=0,•••,N-1（4）
x+1=Ax+Bu(k),k≥0
x=x(0),x∈x
x∈x为终点状态约束条件。UN为优化问题（4）的决策向量，U=u′,•••,u′∈R,Q=Q′≥0,R=r>0，p≥0。定义x?哿R为满足式（4）中约束条件的x（0）的集合。优化问题（4）的最优决策向量U(x(0))取决于x（0）。当x（0）的值改变时，通常我们都是重新求解优化问题（4）。如果把系统的状态x（0）看作优化问题（4）的参数向量，设法得到当x（0）在可能的区域内改变时，U(x(0))与x（0）之间的显式函数关系，那么就可以避免x（0）取值变化时的反复优化计算。文[l]正是基于此思想，把优化问题（4）视为多参数二次规划问题，并给出了一种多参数二次规划问题的求解方法，得到优化问题（4）的显式解，即U(x(0))与x（0）之间的显式函数关系。
结论：约束线性时不变系统的最优控制问题（4），其可行域X为多面体域，X=x∈R|Hx≤K ，最优决策向量U(x(0))是x（0）的分段线性连续函数：U(x(0))=Fx(0)+G,x(0)∈CR,(i=1,•••,N)（CR表示状态的第i个分区，N表示状态的分区数目）。 CR 是X的凸划分，即：UCR=x,CR∩CR=0(i≠j)， CR为多面体集。
2.电梯机械振动系统动力学模型
建立准确可靠的电梯机械系统振动模型，是对电梯产品振动进行土动控制的基础。根据电梯机构的传动原理及结构特点，作出必要的假定与简化得到系统的集中参量振动力学模型，在此基础上可由拉格朗日方程得到系统的振动力学数学模型经分析与简化，系统的自由度为7个。虽然系统在运行过程中没有外加的激励作用，但系统必须通过一个加速起动或减速制动过程进入平稳运行阶段或静止停靠，由此产生的刚体运动惯性力即为系统的激励。电梯动力学系统模型的刚度矩阵是轿箱刚体运行位置或运行时间的函数（系统的刚度土要由钢丝绳的长度决定，而随着电梯的运行，电梯每侧的钢丝绳长度在变化），电梯动力学系统模型的质量矩阵随着电梯的运行工况而变（空载、轻载和重载等不同的工况），因此电梯机械系统振动力学模型是一个时变系统模型。
在电梯机械系统的主动振动控制中，作动器的布置必须考虑安装的方便性、各种布置方案下所需控制能量的大小以及控制的效率等问题。由于我们关心的只是轿箱的振动状况，希望把轿箱的振动控制在所要求的范围之内。因此考虑在轿箱与轿架之间施加控制力。
传统的隐式模型预测控制算法采用在线反复优化计算的策略，因而采样速率通常不能太高，采样周期不能太小。机械振动系统，特别是高频振动系统，与过程控制系统相比较，动态变化的过程一般比较快。离散化连续时间振动系统时，为了使得振动信息不丢失，往往需要较高的采样频率。因而，传统的模型预测控制算法很难应用于机械振动系统的控制。
3.电梯机械系统主动振动的显式模型预测控制
借助多参数规划工具箱和本文方法，首先对降阶简化的二阶动力学模型做仿真计算（仿真计算1）。在仿真计算2（未降阶的高阶系统）中，对于电梯处于不同工况（轻载，重载）时的机械系统振动控制情况做仿真计算。
取采样周期为T=0.02，电梯机械振动系统经降阶简化后的二阶离散状态空间模型为：
A= -0.4084 -75.16 0.007516-0.2581,B=0.0075160.0001258
C=1 00 10,D=00
为了保证人体的舒适性，对于电梯轿箱的振动位移、振动速度以及振动加速度必须加以约束限制，相对应地引入系统的状态与输入的约束条件：
-1≤x(kT)≤1,k=1,2,•••
-10≤x(kT)≤10,k=1,2,•••
-10≤u(kT)≤10,k=0,1,•••
仿真计算1：简化的二阶动力学模型。取N=2，离线计算得到系统的状态分区以及状态分区对应的控制律。在线计算时，首先确定当前的状态所处的分区（查表计算），并确定对应的控制输入序列（线性表达式计算）。根据模型预测控制的滑动优化策略，取出控制输入序列中的第一个控制信号，作为当前时刻实际作用到系统上的控制输入。下一时刻重复以上的过程，得到系统状态的演化轨迹。给定初始状态x（0）=[0.1，0.003]，闭环模型预测控制系统的状态随时间的演化过程如图3所示。从仿真计算中可以看到，从初始状态x（0）=[0.1，3e-3]出发的系统的状态演化过程渐近收敛至系统的平衡状态。初（下转第４２页）（上接第１８３页）始状态中的x2=0.003虽然处于系统状态的约束范围-10-3≤x2（kt）≤10-3之外，但在k≥1时，系统的状态都能满足约束条件。
仿真计算2：未降阶的高阶电梯机械系统振动控制。应用本文建立的线性时变对象的显式模型预测控制系统，仿真计算电梯处于不同工况（轻载，重载）时的轿箱机械振动加速度的抑制情况。
4.结语
本文基于约束线性优化控制问题的多参数规划求解方法，建立了约束线性（时变、时不变）系统的显式模型预测控制系统。应用显式模型预测控制技术，对电梯机械系统振动的主动控制做了研究。研究结果表明，显式模型预测控制对于电梯机械振动主动控制效果明显。
【参考文献】
［１］王槊华.显式模型预测控制的研究及应用［D］.浙江工业大学, 2009.