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摘要：复习课的功能就是在巩固旧知识的基础上拓展学生的运用技能，帮助学生强化对已学知识的掌握和运用。高中数学复习课是数学教学中的非常重要的一类课型和不可或缺的重要环节。通过复习可以让学生更系统地掌握知识，同时填补知识上的遗漏。由于高中数学知识系统性较强，相对独立，又密切联系，运用传统复习方法很难达到预期效果。因此，创新教学模式至关重要。本文笔者通过教学例题来探索高中数学复习课的创新过程，以希达到抛砖引玉、唤醒广大数学教师共同参与、共同探讨之目的。
关键词：高中数学;复习课;创新，
如何上好数学复习课？传统方法往往就是通过知识点整理或经典例题分析，把一部分已经学过的知识再现、整理、归纳起来。但如果只是机械重复和简单再现已经解决的问题，就会很容易让学生感觉乏味无聊，老师也会感觉课堂索然无味，如此就很难达到预期学习效果。怎样让复习课更有实效性？笔者在教学过程中做了一些尝试，即用新视角来复习一些章节内容，试图在新的问题角度串联下，在旧题基础上讲出新意，解决学生在此章节中遇到的问题，引导他们避免盲区。以下笔者通过复习课中的几个例题加以说明数学复习课的创新点。
—、关注学生解题陷阱，用共通的“麻烦”来重现旧知识
例题1：《三角比和三角函数复习课》
为了调动学生复习的积极性，在学完三角比和三角函数这一章后，笔者让学生每人整理两道印象最深刻的错题。在搜集和整理学生们的错题之后，按相似问题让学生分组在讲台上展示给大家。以下是展示的两组问题：
题组一：
（1）判断函数的奇偶性
（2）求函数的反函数
（3）最小正周期
题组一中（1）函数奇偶性判断需要关注定义域是否关于原点对称;（2）求三角函数的反函数要从反三角的定义出发注意到表示的角的取值范围;（3）在整理函数解析式得到最简的函数形式后如果不注意定义域的取值，会造成周期扩大。经过这一组错题反思，可以引导学生发现导致错误的原因在于忽视了定义域的作用。
题组二：
（1）已知，求
（2） 已知方程两个实根，且则=
（3）中，已知，求=
（4）若且均为锐角，求的值。
从上述两组例题中可以看出，题组二是一组求值问题，（1）通过计算可以推出角的范围缩小到，避免出现两解的错误;（2）通过使用韦达定理进一步把角的范围缩小到，这样才能找到角的更精确的范围。（3）在三角形中因为则角A为锐角，则角B为锐角或钝角，需要关注B为钝角时和角A的和是否小于180度，这是用来判断几解的条件。（4）根据题目中的范围是，选用求解的余弦值来避免判断几解问题。
学生整理出来的这两组错题，分析其错误的原因都涉及到角度的范围问题，所以建立起“范围意识”在三角这部分学习中尤为重要。这种范围又有两类：第一类定义域中角的范围，这比较显而易见。但是对于求解奇偶性，反函数，周期等都有决定性的意义;另一类角的范围是隐含的，通过观察和运算可以把题目中给出的角的范围缩小，避免出现增根。
这样的教学设计，不再是面面俱到的呈现知识点，而是通过共通的错误“忽视定义域”“忽视隐含条件的挖掘”引导学生关注角的范围对解题的影响，进而建立这一部分必不可少的范围意识。这些错误贯穿在学习这一章的始终，散落在学习各个部分当中，通过知识点的串联可以更清楚的看到做这类题“会而不对”的本质。
二、通过自主类比制造新题目，让旧题演绎出新意
在学习数列这一章时，笔者发现学生总是害怕一类新定义数列问题。这一类问题通常以等差等比数列为基础，引入新信息、添加新条件、构建新定义，有效地考察学生的信息迁移能力和探究能力，但学生往往对这类题有畏难情绪。为了帮助学生克服这一困难，笔者借助等差数列和等比数列良好的类比性质，让学生对已经解决的新定义数列题进行再反思构造一个自己的新定义数列并提出问题。这样做既可以让学生体会到反思的重要性，又可以点燃学生探究的乐趣，达到不再惧怕新定义数列的目的。当然在提出具体问题后也复习了解决数列问题的各种方法。以下是学生根据已经探究过的新定义数列构造的“新题”：
例题2：定义等和数列：在一个数列中，如果每一项与它后一项的和都等于同一个常数，那么这个数列叫等和数列，这个常数叫做公和。已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为 ;这个数列的前n项和的计算公式
学生A给出的新定义等积数列：在一个数列中，如果每一项与它后一项的积都等于同一个常数，那么这个数列叫等积数列，这个常数叫做公积。已知数列是等积数列，且，公和为5，那么的值为 ;这个数列的前n项积的计算公式
学生B改造了新定义等和数列：在一个数列中，如果每一项与它隔一项的和都等于同一个常数，那么这个数列叫等和数列，这个常数叫做公和。已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为 ;这个数列的前n项和的计算公式
教师点评这两个类比：A同学的类比改造主要借助了等差数列中“加，减，乘”运算类比等比数列中“乘，除，乘方”运算，在后面前n项求和和前n项求积时，值得注意运用了运算上的类比。B同学的类比虽然还是等和数列，但是从运算的角度出发把变成了，这个转变没有改变这个数列是个周期数列的本质，但把周期由2变为了4，以此启发我们可否更大胆一点，推导出一个更一般性的结论。在教师的启发下很快有同学给出了若，则数列的周期为。
配套练习：设数列中，若，则称数列为凸数列
（1）在凸数列中，求证
（2）设若数列为凸数列，求数列前n项和
学生给出的新定义凹数列：设数列中，若，则称数列为凹数列
（1）在凹数列中，求证
（2）设若数列为凹数列，求数列前n项积 例题3：若数列满足：对于，都有，则称数列是公差为d的准等差数列。设数列满足：对于一切，都有。
①若，求证：为公差为2的准等差数列，并求其通项公式;
②若，求前项和为。
学生A给出的新定义“准等比数列”：若数列满足：对于，都有，则称数列是公差为q的准等比数列。设数列满足：对于一切，都有。
①若，求证：为公比为2的准等差数列，并求其通项公式;
②若，求前项积为。
学生B给出新定义“差等差数列” 定义：数列中，从第三项起，每一项与前一项的差成等差数列，则称该数列为差等差数列（当公差为0时，数列就是通常意义下的等差数列）
设数列满足：对于一切，都有。若，求通项公式.
学生C给出新定义“商等比数列” 定义：数列中，从第三项起，每一项与前一项的商成等比数列，则称该数列为商等比数列（当公比为1时，数列就是通常意义下的等比数列）.
设数列满足：对于一切，都有。若，求通项公式.
教师点评：这三个同学的三个类比分别是、、连同原题的，我们发现这些类比分别是通过前后相邻两项运算后还是等差或等比数列，构造一个新数列：积等比、差等差、商等比、和等差。以此为出发点我们还可以类比构造出更多有意思的数列，比如：和等比、差等比、积等差，商等差。我们在研究这些数列时，采用的数学思想是由特殊到一般的思想方法，通过数列的前几项的求值，观察出数列的一般性性质，大胆猜测-小心验证得到一般性的结论;转化化归的思想方法，把未知问题新定义数列转化为已知问题已经研究过的数列。在解决这些问题时，我们用到了累加、累乘等方法。
这节课的教学设计中需要反思的材料即等和数列，凸数列，准等差数列是已经研究的数列，教师所做的只是重新提出问题，让学生自己反思类比构建新的数列。在探究这一系列新定义数列时，因为是自主构建学生没有太大的畏难情绪。通过这些典型问题的解决学生悟出了可以尝试写出数列的前几项，观察归纳猜测出数列的性质。
这两堂数学课在授课形式和内容安排上都不是简单的把要复习的材料重现，第一节三角复习课由学生推荐题目，教师针对性的课前准备，学生通过自主学习、协作学习发现不足。这种模式用新的串联形式激发学生关注这一章共通的“麻烦”。第二节数列复习课，教学设计形式也是挺活泼的，即变老师讲解为学生讲解，而老师的点拨却起到了升华解决一类题思想方法的作用。这两节课设计的出发点都是为了解决学生学习中自认为比较困难的内容，这样安排可以让学生主观能动性得到很好的调动，学生的主体作用和教师的主导作用都会得到比较好的效果。
总之，复习课需要整理数学知识和技能，但精心设计不同的学习形式和方法往往能收到意想不到的效果。怎样选题，以什么样的形式呈现出来，怎样既做到学生积极参与，教师如何有效地点拨总结，这些还都需要我们高中数学教师继续认真大胆地探索和创新。
参考文献：
1.石庆玲，试谈高中数学复习课中创造性思维能力的培养，《北京师范大学学报》，2002，2，
2.姚东梅，建构 交流 精讲 领悟——例谈如何上好高中数学复习课，《数学学习与研究》，2009，10，
3.朱彤，从几个案例谈高中数学复习课教学设计的创新，《数学教学研究》 2009，12，
4.徐梅，例谈高中数学小组合作学习的尝试，《数学考试研究》，2013，12，
5.郭海艳，如何上好高中数学复习课，《数学教育》，2014年4期，
（作者单位：上海市复旦中学， 上海 200052 ）
关键词：高中数学;复习课;创新，
如何上好数学复习课？传统方法往往就是通过知识点整理或经典例题分析，把一部分已经学过的知识再现、整理、归纳起来。但如果只是机械重复和简单再现已经解决的问题，就会很容易让学生感觉乏味无聊，老师也会感觉课堂索然无味，如此就很难达到预期学习效果。怎样让复习课更有实效性？笔者在教学过程中做了一些尝试，即用新视角来复习一些章节内容，试图在新的问题角度串联下，在旧题基础上讲出新意，解决学生在此章节中遇到的问题，引导他们避免盲区。以下笔者通过复习课中的几个例题加以说明数学复习课的创新点。
—、关注学生解题陷阱，用共通的“麻烦”来重现旧知识
例题1：《三角比和三角函数复习课》
为了调动学生复习的积极性，在学完三角比和三角函数这一章后，笔者让学生每人整理两道印象最深刻的错题。在搜集和整理学生们的错题之后，按相似问题让学生分组在讲台上展示给大家。以下是展示的两组问题：
题组一：
（1）判断函数的奇偶性
（2）求函数的反函数
（3）最小正周期
题组一中（1）函数奇偶性判断需要关注定义域是否关于原点对称;（2）求三角函数的反函数要从反三角的定义出发注意到表示的角的取值范围;（3）在整理函数解析式得到最简的函数形式后如果不注意定义域的取值，会造成周期扩大。经过这一组错题反思，可以引导学生发现导致错误的原因在于忽视了定义域的作用。
题组二：
（1）已知，求
（2） 已知方程两个实根，且则=
（3）中，已知，求=
（4）若且均为锐角，求的值。
从上述两组例题中可以看出，题组二是一组求值问题，（1）通过计算可以推出角的范围缩小到，避免出现两解的错误;（2）通过使用韦达定理进一步把角的范围缩小到，这样才能找到角的更精确的范围。（3）在三角形中因为则角A为锐角，则角B为锐角或钝角，需要关注B为钝角时和角A的和是否小于180度，这是用来判断几解的条件。（4）根据题目中的范围是，选用求解的余弦值来避免判断几解问题。
学生整理出来的这两组错题，分析其错误的原因都涉及到角度的范围问题，所以建立起“范围意识”在三角这部分学习中尤为重要。这种范围又有两类：第一类定义域中角的范围，这比较显而易见。但是对于求解奇偶性，反函数，周期等都有决定性的意义;另一类角的范围是隐含的，通过观察和运算可以把题目中给出的角的范围缩小，避免出现增根。
这样的教学设计，不再是面面俱到的呈现知识点，而是通过共通的错误“忽视定义域”“忽视隐含条件的挖掘”引导学生关注角的范围对解题的影响，进而建立这一部分必不可少的范围意识。这些错误贯穿在学习这一章的始终，散落在学习各个部分当中，通过知识点的串联可以更清楚的看到做这类题“会而不对”的本质。
二、通过自主类比制造新题目，让旧题演绎出新意
在学习数列这一章时，笔者发现学生总是害怕一类新定义数列问题。这一类问题通常以等差等比数列为基础，引入新信息、添加新条件、构建新定义，有效地考察学生的信息迁移能力和探究能力，但学生往往对这类题有畏难情绪。为了帮助学生克服这一困难，笔者借助等差数列和等比数列良好的类比性质，让学生对已经解决的新定义数列题进行再反思构造一个自己的新定义数列并提出问题。这样做既可以让学生体会到反思的重要性，又可以点燃学生探究的乐趣，达到不再惧怕新定义数列的目的。当然在提出具体问题后也复习了解决数列问题的各种方法。以下是学生根据已经探究过的新定义数列构造的“新题”：
例题2：定义等和数列：在一个数列中，如果每一项与它后一项的和都等于同一个常数，那么这个数列叫等和数列，这个常数叫做公和。已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为 ;这个数列的前n项和的计算公式
学生A给出的新定义等积数列：在一个数列中，如果每一项与它后一项的积都等于同一个常数，那么这个数列叫等积数列，这个常数叫做公积。已知数列是等积数列，且，公和为5，那么的值为 ;这个数列的前n项积的计算公式
学生B改造了新定义等和数列：在一个数列中，如果每一项与它隔一项的和都等于同一个常数，那么这个数列叫等和数列，这个常数叫做公和。已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为 ;这个数列的前n项和的计算公式
教师点评这两个类比：A同学的类比改造主要借助了等差数列中“加，减，乘”运算类比等比数列中“乘，除，乘方”运算，在后面前n项求和和前n项求积时，值得注意运用了运算上的类比。B同学的类比虽然还是等和数列，但是从运算的角度出发把变成了，这个转变没有改变这个数列是个周期数列的本质，但把周期由2变为了4，以此启发我们可否更大胆一点，推导出一个更一般性的结论。在教师的启发下很快有同学给出了若，则数列的周期为。
配套练习：设数列中，若，则称数列为凸数列
（1）在凸数列中，求证
（2）设若数列为凸数列，求数列前n项和
学生给出的新定义凹数列：设数列中，若，则称数列为凹数列
（1）在凹数列中，求证
（2）设若数列为凹数列，求数列前n项积 例题3：若数列满足：对于，都有，则称数列是公差为d的准等差数列。设数列满足：对于一切，都有。
①若，求证：为公差为2的准等差数列，并求其通项公式;
②若，求前项和为。
学生A给出的新定义“准等比数列”：若数列满足：对于，都有，则称数列是公差为q的准等比数列。设数列满足：对于一切，都有。
①若，求证：为公比为2的准等差数列，并求其通项公式;
②若，求前项积为。
学生B给出新定义“差等差数列” 定义：数列中，从第三项起，每一项与前一项的差成等差数列，则称该数列为差等差数列（当公差为0时，数列就是通常意义下的等差数列）
设数列满足：对于一切，都有。若，求通项公式.
学生C给出新定义“商等比数列” 定义：数列中，从第三项起，每一项与前一项的商成等比数列，则称该数列为商等比数列（当公比为1时，数列就是通常意义下的等比数列）.
设数列满足：对于一切，都有。若，求通项公式.
教师点评：这三个同学的三个类比分别是、、连同原题的，我们发现这些类比分别是通过前后相邻两项运算后还是等差或等比数列，构造一个新数列：积等比、差等差、商等比、和等差。以此为出发点我们还可以类比构造出更多有意思的数列，比如：和等比、差等比、积等差，商等差。我们在研究这些数列时，采用的数学思想是由特殊到一般的思想方法，通过数列的前几项的求值，观察出数列的一般性性质，大胆猜测-小心验证得到一般性的结论;转化化归的思想方法，把未知问题新定义数列转化为已知问题已经研究过的数列。在解决这些问题时，我们用到了累加、累乘等方法。
这节课的教学设计中需要反思的材料即等和数列，凸数列，准等差数列是已经研究的数列，教师所做的只是重新提出问题，让学生自己反思类比构建新的数列。在探究这一系列新定义数列时，因为是自主构建学生没有太大的畏难情绪。通过这些典型问题的解决学生悟出了可以尝试写出数列的前几项，观察归纳猜测出数列的性质。
这两堂数学课在授课形式和内容安排上都不是简单的把要复习的材料重现，第一节三角复习课由学生推荐题目，教师针对性的课前准备，学生通过自主学习、协作学习发现不足。这种模式用新的串联形式激发学生关注这一章共通的“麻烦”。第二节数列复习课，教学设计形式也是挺活泼的，即变老师讲解为学生讲解，而老师的点拨却起到了升华解决一类题思想方法的作用。这两节课设计的出发点都是为了解决学生学习中自认为比较困难的内容，这样安排可以让学生主观能动性得到很好的调动，学生的主体作用和教师的主导作用都会得到比较好的效果。
总之，复习课需要整理数学知识和技能，但精心设计不同的学习形式和方法往往能收到意想不到的效果。怎样选题，以什么样的形式呈现出来，怎样既做到学生积极参与，教师如何有效地点拨总结，这些还都需要我们高中数学教师继续认真大胆地探索和创新。
参考文献：
1.石庆玲，试谈高中数学复习课中创造性思维能力的培养，《北京师范大学学报》，2002，2，
2.姚东梅，建构 交流 精讲 领悟——例谈如何上好高中数学复习课，《数学学习与研究》，2009，10，
3.朱彤，从几个案例谈高中数学复习课教学设计的创新，《数学教学研究》 2009，12，
4.徐梅，例谈高中数学小组合作学习的尝试，《数学考试研究》，2013，12，
5.郭海艳，如何上好高中数学复习课，《数学教育》，2014年4期，
（作者单位：上海市复旦中学， 上海 200052 ）