一道数学测试题对我的启发

• 作 者: 王朝晖
• 出 处: 大观周刊
• 发表日期: 2011年46期
• 关键词: 学生 三角形 思路

　　摘要：很多人都认为拿高分是学好数学的表现，学生们往往为追求高分而变成“书呆子”，长此以往必将成为教条主义，毫无创新。笔者认为培养学生的发散新思维是非常重要的。发散思维是一种重要的创造性思维、具有流畅性、多端性、灵活性、新颖性和精细性等特点。发散思维是不依常规,寻求变异,对给出的材料、信息从不同角度,向不同方向,用不同方法或途径进行分析和解决问题的.那么什么是发散性思维呢，本文以道数学测试题学生的不同解法来进行一个简单的探讨。
　　关键词：学生 三角形 思路
　　
　　在2009—2010年第二学期中测评中，七年级有这样一道试题:
　　一个零件的形状如图1，按规定∠A=90°,∠B=20°,∠D=30°，工人师傅经过测量后得到∠BCD=143°，就判断这个零件不合格，试说明其中的道理。
　　在批阅卷子的时候，教师们就发现学生们的思路开阔，解题方法较多，等卷子发下以后，我发现我们班的学生对于这道题的解法真的是种类多多，这件事虽已过去这么久了，但我对学生们的思维方法，解题窍门由衷的赞叹，而且时常在脑海中呈现，因此，我就把这道题解法写出来，与大家共享。
　　解法一:
　　由于凹四边形ABCD的内角和为360°
　　即∠A+∠B+∠D+∠a=360°
　　所以∠a=360°-(∠A+∠B+∠D) =360°-（90°+20°+30°）=220°
　　所以∠BCD=360°-∠a =360°-220°=140°≠143°
　　因此该零件不合格。
　　此解法为常规解法，但特别指出的是凹四边形的内角和问题，学生能按此法推出结论也是值得赞赏的。
　　解法二:
　　如图2所示，假设∠BCD=143°是正确的。
　　则∠a=360°-∠BCD=360°-143°=217°
　　∵∠A+∠B+∠D+∠a=360°
　　∴∠A+∠B+∠D=360°-∠a=360°-217 =143°
　　而已知条件∠A=90°，∠B=20°，∠D=30°
　　∠A+∠B+∠D =90°+20°+30°=140°
　　因此假设不正确，即工人师傅测量得到∠BCD=143°，就判断这个零件不合格。
　　此解法类同于解法一，但采取的是逆向思维，利用反证法进行推理，当时学生没学反证法，解题过程也不完全符合反证法的过程，但从实际上就是利用了反证法，在我评讲这种解法时，学生脸上露出了自豪的神情，我也为学生感到欣慰。
　　解法三:
　　延长BC交AD于E，如图3
　　∵∠DEC=∠A+∠B,
　　∠A=90°，∠B=20°
　　∴∠DEC=110°
　　又∵∠BCD=∠D+∠DEC, ∠ D=30°
　　所以∠BCD=30°+110°=140°
　　而工人师傅测量∠BCD=143°，因此这个零件不合格。
　　其实也可以延长DC交AB于F，解法类同，都是利用三角形的外角定理来解。
　　解法四：
　　连结BD如图4
　　在△ABD中,∵∠A+∠ABD+∠ADB=180°即∠A+∠ABC+∠CBD+∠ADC+∠CDB=180°
　　∴∠CBD+∠BDC=180°-(∠A+∠ABC+∠ADC)
　　=180°-（90°+20°+30°）
　　=40°
　　在△BCD中,
　　∵∠CBD+∠CDB+∠BCD=180°
　　∴∠BCD =180°-(∠CBD+∠BDC)
　　=180°-40°
　　=140°
　　而工人师傅测量∠BCD=143°，因此这个零件不合格。
　　解法五:
　　连结AC,如图5
　　在△ABC中,∠BAC+∠B+∠ACB=180°
　　∴∠BCA =180°-∠B-∠BAC
　　=180°-20°-∠BAC
　　=160°-∠BAC
　　同理，在△ACD中,
　　∠ACD =150°-∠CAD
　　∴∠BCD =360°-(∠BCA+∠ACD)
　　=360°-（160°-∠BAC+150°-∠CAD）
　　=50°+(∠BAC+∠CAD)
　　=50°+90°
　　=140°≠143°
　　因此该零件不合格。