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摘 要 解题后的反思是一种高层次的数学创新活动，是数学活动的动力。在教学中教师有必要引导学生养成解题后的反思习惯，以便于解题能力和思维品质在更深和更高层次得到有效提高和升华，提高学习效率，塑造创新能力。为此本文拟就从反思解题的结果、反思解题方法、反思解题规律、反思解题的推广等主要方面由表及里逐一加以阐述，充分揭示其中的指导方法和重要意义。关键词 结果；方法；规律；推广中图分类号：B025.5 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2018）10-0214-02 数学家、教育家弗赖登塔尔说过：“反思是数学创造性思维的重要表现，它是一种高层次的数学创新活动，是数学活动的动力。”然而教学过程中经常发现，大多数学生对一道题目求得答案后就自认为大功告成，很少有学生会再对题目本身的命题及其他方面进行解题后的反思，以致于解题能力和思维品质未能在更深和更高层次得到有效提高和升华。因此在教学中教师有必要对学生进行解题后反思方面的指导，让学生养成反思的习惯，通过反思，加深对解题过程和结论的认识，积累经验，提高学习效率，塑造创新能力，形成良好的学习方法。一、在解题结果反思中，完善思维品质在解题时不少同学只满足于一知半解，解完了事，不加探索回顾，任其漏洞百出。这种错误思想和做法，像蛀虫一样严重蛀蚀着学生的思维品质，影响学生解题能力的提高。因此，教师应不失时机引导学生反思结果是否符合题意、结果是否全面。提高辨析解题错误的能力，努力克服在做题中的不足之处和不良习惯，熟练掌握解题技巧。例1：先化简： 再选取一个适当的x值代入求值。学生解答如下：原式= = 选x=1时，原式= 适时引导学生反思结果是否符合题意，学生观察、讨论，发现错误原因：x=1使分式的分母为0。进而得到正确的答案。通过对结果的反思，一方面可以确保答案准确无误，另一方面可以发现个人知识和思维方法上的薄弱环节，从而提高思维的严谨性。二、在解题方法反思中，拓展创新能力很多数学试题有多种解法，解题后要从多角度，分析、思考是否还有其他解法，可以开拓思路，防止思维定势，从而使思路更具创造性。例2：如图1，BC是半圆O的直径，AD⊥BC，垂足为D，AB（⌒）=AF（⌒），BF和AD交于点E，求证：AE=BE。证法1：连结AB、AC（如图2）∵BC是半圆O的直径∴∠2 ∠CAD=90°而∠C ∠CAD=90°∴∠2=∠C又AB（⌒）=AF（⌒）∴∠1=∠C∴∠1=∠2∴AE=BE解完后，让学生反思：还有其他解法吗？学生通过观察、分析、讨论，发现：证法2：连结AB、AF、FC（如图3）则有AB=AF，∠BFC=∠ADC=90°，于是∠DEF=180°-∠C，而∠BAF=180°-∠C∴∠BAF=∠DEF，又∠BAF=∠2 ∠EAF，∠DEF=∠3 ∠EAF，∴∠2=∠3又∵AB（⌒）=AF（⌒）∴∠1=∠3，∴∠1=∠2，故AE=BE，证法3：若联想到垂径定理，就可补画出整个⊙O。连结AB，延长AD交⊙O于M（如图4）可得AB（⌒）=AF（⌒）=BM（⌒），易证∠1=∠A，就得AE=BE通过对解题方法的反思，引导学生对于同一问题，从不同角度去观察、思考、联想，可得到解题的不同途径，从而拓宽学生的眼界，沟通知识之间的纵横联系，发挥学生自身的潜能，培养学生思维的灵活性、广阔性。三、在解题规律反思中，培养建构能力解完题后反思其中的解题规律，可使学生触类旁通、举一反三，达到事半功倍的效果，更可增强思维深刻性、培养知识重组能力。例3：如图5，点C是AB为直径的圆外一点，CA、CB交⊙O于D、E，若DE= ，AB= ，试求∠C的度数。解：连结AE∵ABED是圆内接四边形∴∠CDE=∠B又∵∠C=∠C∴△CDE∽△CBA∴ ∵AB为⊙O的直径∴∠AEB=∠AEC=90°∴ 从而∠C=60°然后让学生思考如下问题：（1）如图6，AB是⊙O的直径，CD为弦，AC、BD交于点P，若CD=5，AB=13，求cos∠BPC的值。（2）如图7，在⊙O中，AB是直径，P在BA的延长线上，PC切⊙O于C，CD⊥AB于D，已知PA=5，PC=10，试求：tg∠ACD的值。如果只让学生解这两题便失去编拟的意义，教师应引导学生反思这一组题的解题规律，充分让学生讨论、总结得出规律：对某个角的三角函数的求解，可通过寻找直角三角形，转化为线段比，再利用相似三角形来实现。在教学时，也可以先解一题，然后让学生反思并举出与之解法相同但形式不同的题目，从而掌握一类题的规律。四、在解题后的推广反思中，加强探究能力当一个问题解决后，引导学生从多个侧面、多个角度进行合理的发散反思，学生必然会感到别开生面，思路将被开阔起来，创新意识也将得到培养。例4：如图8，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=12 cm，高AD=8 cm.把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？解题之后可引导学生反思，观察、分析题目作一步的变化：变式1：如图9，若把锐角三角形ABC改为直角三角形ABC，边BC=12 cm，AC=8 cm。把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？变式2：如图9，一块材料的形状是直角三角形ABC，边BC=12 cm，AC=8 cm。把它加工成正方形零件，如何加工可使正方形零件的面積最大？变式3：如图10，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=12 cm，高AD=8 cm。四边形MNQP是三角形的内接矩形，矩形的边PQ：MP=2：1，求这个矩形的边长？变式4：如图10，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=12 cm，高AD=8 cm。四边形MNQP是三角形的内接矩形，设PQ长为 cm，求矩形面积 关于 的函数关系式，并求矩形面积的最大值，此时点P在何处。根据题目的内容和学生的认知水平，对原题中的已知条件和结论进行多方位、多角度演变、拓展、延伸，将知识灵活的辐射出去，做到以点带线，形成题网。这样不仅可以沟通知识间的相互联系，而且更重要的是可培养学生良好的思维品质，促进其创新能力的发展。孔子云：“学而不思则罔，思而不学则殆。”养成解题后的反思习惯，一方面能使学生学会审题，学会检查，学会多角度思考，有利于培养学生思维的灵活性、广阔性、创造性，从而大大提高创新能力；另一方面，也可以为学生获得终身受用的基础能力和创造才能奠定基础。参考文献：[1]郭浩潮.在“圆的有关性质”中培养学生的探索精神.中小学数学（初中），2004（1、2）.