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摘要：在《“别时容易见时难”：增补内容的教学思考》一文中，张赞老师认同和提出的关于“增补内容”的案例性建议、一般化观点显得有些急功近利，值得商榷。教学多项式整除（因式分解）问题，要对学生的解法做出自然、深入的点拨，而没有必要补充多项式带余除法。考虑到更多学生的学习能力、负担以及更高层次的学习目标、要求，课标对一些课程内容做了删减是适当的。面向全体、指向育人的数学教学并不仅在于教学内容的多少与增删，而更加在于教學的过程和方式；应该是一种慢化的艺术，关注知识建构过程，突出学生主体探索，注重探索路径规划，强化实践活动体验。
关键词：数学教学增补内容教学过程教学方式慢的艺术
《中学数学（初中版）》2017年第7期刊载了江苏省苏州市吴江区笠泽实验初级中学张赞老师的《“别时容易见时难”：增补内容的教学思考》（简称《增补》）一文。
该文首先简要讲述了一道多项式整除（因式分解）问题的解题教学过程：教师出示习题“已知x2-3x+1是关于x的多项式ax3+bx2-1的一个因式，则2b-a的值为”；学生1设另一个因式为ax-1，把两个因式相乘展开，通过其与原式对应项系数相等解得a、b的值，求出2b-a的值，但是没解释设另一个因式的依据；教师肯定这种解法的正确性；学生2根据x2-3x+1=0时ax3+bx2-1=0，求出x2-3x+1=0的两根，分别代入ax3+bx2-1=0解得a、b的值，求出2b-a的值，但是其结果与学生1的不同；教师肯定这种思路的正确性，但是因为关于a、b的方程组比较复杂，一时不能确定求解时的错误在哪里，于是让学生存疑，课后深入思考。然后，该文给出了一位奥数教师和李尚志教授对上述解题教学案例的建议：补充（课标、教材之外被删减的）多项式带余除法，使得问题的解决更加便捷（根据余式恒等于0，可以直接解得a、b的值）。
由此，该文提出了一般化观点：数学教学应对课标、教材之外被删减的“数学主干链条上的知识”进行适当的增补。
具体到初中阶段
，应该认真思辨哪些内容值得增补（多项式带余除法、韦达定理、四点共圆等值得增补），精心预设增补内容的呈现方式
（在教学相关的知识时，利用适当的问题情境引导学生自主发现）；并且不宜让增补内容直接或拓展进入考卷（但是可以将其隐含在试题中）。
一、相关的商榷
纵观《增补》一文，笔者认为：张老师具有勤思、善思的教学作风和品质，令人钦佩；但是，张老师认同和提出的关于“增补内容”的案例性建议、一般化观点显得有些急功近利，值得商榷。
（一）对文中关于“增补内容”的案例性建议的思考
在文中讲述的解题教学过程中，学生是能够解决教师出示的问题的。这里，教师主要的不足之处不是没有补充多项式带余除法，使得问题的解决更加便捷；而是没有充分发挥主导作用，对学生的解法做出点拨，让学生的思考更加自然、深入。
学生的解法1简单而有效。对此，教师最主要的不足之处在于没有追问设另一个因式的依据，便因答案正确而迅速滑过了。这里，教师应该让学生从多项式乘法中积的次数与因式的次数之间的关系来分析设另一个因式的依据：两个因式最高次项的积为积的最高次项，两个因式常数项的积为积的常数项，易得另一个因式的最高次项、常数项分别是ax、-1。数学教学需要关注思维过程，让学生“知其然，更知其所以然”。
学生的解法2复杂但可行。对此，教师最主要的不足之处在于没有指出它和学生1的解法殊途同归的根本原因，即它和学生1的解法在本质上的相通之处。这里，教师应该让学生从两个多项式恒等的角度来认识两种解法：由学生1解法中的恒等式（ax-1）·（x2-3x+1）=ax3+bx2-1，可以将其左边展开，再通过左右两边对应项系数相等，列方程组求解a、b，也可以通过代入两个特殊的x的值，列方程组求解a、b（如代入x=1和x=-1，列方程组-a+1=a+b-1，5（-a-1）=-a+b-1）；学生2的解法在本质上是通过代入两个使恒等式左右两边为零的x的值，列方程组求解a、b。数学教学还需要打通知识联系，让学生建立认知结构，理解内容本质。当然，教师还应该让学生比较两种方法的优劣，学会合理地选择。
可见，做出这样的点拨后，学生便能很好地认识和掌握这类题目及其解法，教师没有必要补充多项式带余除法。
（二）对文中关于“增补内容”的一般化观点的思考
数学课程是否应对“数学主干链条上的知识”进行删减？数学教学是否应对“数学主干链条上的知识”进行增补？
一些大学教授关注数学知识体系、结构的严密性、完备性，认为初等数学的基本内容都不能删减。很多奥数教师和普通教师关注竞赛成绩和考试成绩，认为可以帮助学生快速解决问题的数学内容都不能不讲，否则学生就会吃亏。但是，他们没有从普通学生现实的学习能力、负担以及理想的学习目标、要求的角度来考虑他们是否能够理解以及是否需要掌握那些内容。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出：“义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，具有基础性、普及性和发展性。数学课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能，培养学生的抽象思维和推理能力，培养学生的创新意识和实践能力，促进学生在情感、态度与价值观等方面的发展。义务教育的数学课程能为学生未来生活、工作和学习奠定重要的基础。”这说明义务教育
阶段的数学课程具有基础性，即面向全体学生，适应学生个性发展的需要；也具有指向性，即以知识学习、技能训练为载体，以思维发展、素养提升、精神培养、文化传承为目标（以内容为载体，以育人为目标）。
考虑到更多学生的学习能力、负担以及更高层次的学习目标、要求，课标（及教材）对一些课程（及教学）内容做了删减。比如，对《增补》一文提及的韦达定理（即一元二次方程根与系数的关系）不做过多、过高要求（以选学形式出现）。其原因有二：（1）相关的难点比较多，学生难以掌握。如不解方程利用定理求值问题，其代数式有齐次对称式、非齐次对称式等，转化和变形等情况复杂、多变，需要充分运用整体处理、恒等变换、消元降次等思想方法，学生理解力和思维力明显不足。如根据条件求待定系数的值或范围问题，其求解需要考虑较多的因素（二次项系数、有根条件、实际意义等），学生综合能力明显不够。（2）应用的价值不够高，学生无须掌握。如在二次函数综合问题中的应用， 随着二次函数要求的降低而消减。如在发展逆向思维活动中的应用（基于根的情况研究系数情况），可以被整式乘法与因式分解的比较、一元二次方程方程根的判别式的应用、几何问题条件与结论互换的变式探究等代替。
当然，考虑到部分“资优生”的水平和兴趣，以及“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”的目标和要求，教师可以在课外个别辅导中对一些被删减的内容进行适当的增补，从而引发他们更为深入的探索。
二、引发的数学教学思考
其实，面向全体、指向育人的数学教学，并不仅在于教学内容的多少与增删（很多教学内容都可以面向全体、指向育人），而更加在于教学的过程和方式（即关注学生是如何理解、掌握教学内容的）。数学学习应该是一个自主建构、自然生长、逐步完善、螺旋上升的过程。数学教学应该是一种慢化的艺术，教师不能急着把知识结论告诉学生，而应该充分发掘内容的意蕴，发挥内容的价值，认真组织学习环节，设计学习活动，引领学生参与探索和实践的过程，进行深度学习，从而在深化理解、激发热情的基础上发展思维、提升素养。
（一）关注知识建构过程，让课堂充满“火热的思考”
教育专家将数学知识分为三种形态：学术形态、课程形态、教育形态。数学教学要将数学知识的学术形态、课程形态转化为教育形态。数学知识的形成过程包含深厚的数学文化、丰富的数学思想方法、精妙的数学结构、简洁的数学表达。数学知识的教育形态就是基于学习者已有的生活经验和数学现实，按照学习者的认知能力和认知水平重构知识的认知过程。这一过程尤其要突出思想方法的感悟、语言的表达，实现知识的内化、能力的培养；切不能采取“一个定义，三项注意”的方式，失去应有的教育价值。
例如負数知识的建构活动，一是利用生活中的现象（气温、海拔高度、进出货物情况的记录等），感受负数的存在；二是通过具体的实例，亲历相反意义的量的表达过程，感悟数学的方法和价值；三是通过负数在数轴上表示的实践，参与建构数轴的过程，形成几何直观形象；四是经历负数相关计算法则的研讨及运用等过程，逐步完成负数知识的整体建构，体验负数形成的必要性、合理性、简洁性、严密性。
（二）突出学生主体探索，让课堂成为“再发现”“再创造”的场域
有效的数学学习活动是学生自主探索的过程，指向学生自己的发现和创造。教师要相信学生，让学生疑，让学生思，让学生猜想、验证，让学生归纳、演绎，充分挖掘学生的潜能，开启学生的智慧。
例如多项式乘法公式的教学活动：（1）练习：看谁算得又快又好！①（x+a）（x+b），（x+1）（x+2），（x-1）（x+2），（x-1）（x-2）；②（a+b）2，（x+3）2，（2x+1）2，（x-1）2；③（a+b）（a-b），（x+1）（x-1），（x-2）（x+2），（2x+1）（2x-1）。（2）交流：①算得快的同学，能把你的计算秘诀告诉同学吗？②你能归纳多项式乘多项式哪些形式可以简便计算吗？③试着给公式起一个合适的名称。④试着用语言表达上述公式。⑤你能用图形介绍上述公式吗？（3）拓展：试着用得到的公式解决下列式子的计算。（2x+3y）2，（-2x+3y）2，（a-b）2，（a+b+c）2，（-2x+1）（2x+1），（-2x-1）（2x-1），（x+y+z）（x+y-z）。以上教学活动，能够引导学生自主回忆和运用已有的数学知识和经验，探索和发现多项式乘多项式的特殊形式及其运算规律，并基于自己的理解给公式起名称，用语言和图形表述公式内涵。这样的一节课，能够帮助学生自主学习完全平方公式、平方差公式，并完善、深化。
（三）注重探索路径规划，让课堂成为思维发展的殿堂
帮助学生发展思维，需要渗透数学思想方法，引领学生规划探索的路径。一方面，要关注
已知和未知之间的联系，指引知识建构的方法；另一方面，还要关注条件和结论之间的联系，指引问题解决的策略。由此，培养学生思维的灵活性和深刻性，帮助学生建立知识结构，感悟问题本质。
例如，教学四边形知识时，可以引导学生先回顾三角形的研究思路（如图1），再类比迁移，规划四边形的研究路径（如图2），进而构建几何图形研究的一般模式，不断优化研究路径，形成整体结构。
又如，教学一元二次方程问题“写一个一元二次方程，使它的两根为方程x2-x-2=0的两根的相反数”时，可以引导学生规划以下路径：（1）直接计算：①求出x2-x-2=0的两根2、-1；②写出所求方程的两根-2、1；③列出所求的方程（x+2）（x-1）=0，得到x2+x-2=0。（2）整体代换：①设出x2-x-2=0的两根α、β；②写出所求方程的两根-α、-β；
③列出所求的方程（x+α）（x+β） =0，得到x2+（α+β）x+αβ=0；④得到x2+x-2=0。（3）关系变换：①设所写方程的根为y，则y=-x；②将x=-y，代入原方程（-y）2+（-y）-2=0，得到y2-y-2=0。（4）变式方向：改换方程或改变根的关系。
（四）强化实践活动体验，让课堂成为素养提升的领地
帮助学生提升素养，需要联系实际展开应用，促进学生体验实践性活动。要将理论与实践相结合，要求学生应用所学知识和方法解决现实情境的问题。活动过程一般包括活动方案设计、器材准备、实地活动、数据收集、数据整理、活动报告（总结）等几个环节。由此，可以促进学生形成“用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言表达世界”的数学素养。
例如，学习完相关的知识后，教师可以设计测量校园旗杆高度的实践活动，引导学生设计和实施以下方案：（1）利用相似形，即同一时刻影长与物长成正比（如图3）。工具：卷尺、标志杆等；条件：晴天、平坦的场地等。（2）利用直角三角形边角关系（如图4）。工具：卷尺、测角仪等；条件：平坦的场地等。（3）利用直角三角形边角关系及方程（如图5、图6）。工具：卷尺、测角仪等；条件：平坦的场地等。
本文系江苏省教育科学“十二五”规划立项课题“初中数学‘情理交融’课堂教学的实践研究”（编号：E-c/2013/011）的阶段性研究成果。
参考文献：
[1] 章建跃.理解数学，理解学生，理解教学[J].中国数学教育，2010（12）.
[2] 钱德春，吕同林.“初中数学‘情理交融’课堂教学的实践研究”开题报告[J].中学数学教学参考（中旬），2014（8）.
关键词：数学教学增补内容教学过程教学方式慢的艺术
《中学数学（初中版）》2017年第7期刊载了江苏省苏州市吴江区笠泽实验初级中学张赞老师的《“别时容易见时难”：增补内容的教学思考》（简称《增补》）一文。
该文首先简要讲述了一道多项式整除（因式分解）问题的解题教学过程：教师出示习题“已知x2-3x+1是关于x的多项式ax3+bx2-1的一个因式，则2b-a的值为”；学生1设另一个因式为ax-1，把两个因式相乘展开，通过其与原式对应项系数相等解得a、b的值，求出2b-a的值，但是没解释设另一个因式的依据；教师肯定这种解法的正确性；学生2根据x2-3x+1=0时ax3+bx2-1=0，求出x2-3x+1=0的两根，分别代入ax3+bx2-1=0解得a、b的值，求出2b-a的值，但是其结果与学生1的不同；教师肯定这种思路的正确性，但是因为关于a、b的方程组比较复杂，一时不能确定求解时的错误在哪里，于是让学生存疑，课后深入思考。然后，该文给出了一位奥数教师和李尚志教授对上述解题教学案例的建议：补充（课标、教材之外被删减的）多项式带余除法，使得问题的解决更加便捷（根据余式恒等于0，可以直接解得a、b的值）。
由此，该文提出了一般化观点：数学教学应对课标、教材之外被删减的“数学主干链条上的知识”进行适当的增补。
具体到初中阶段
，应该认真思辨哪些内容值得增补（多项式带余除法、韦达定理、四点共圆等值得增补），精心预设增补内容的呈现方式
（在教学相关的知识时，利用适当的问题情境引导学生自主发现）；并且不宜让增补内容直接或拓展进入考卷（但是可以将其隐含在试题中）。
一、相关的商榷
纵观《增补》一文，笔者认为：张老师具有勤思、善思的教学作风和品质，令人钦佩；但是，张老师认同和提出的关于“增补内容”的案例性建议、一般化观点显得有些急功近利，值得商榷。
（一）对文中关于“增补内容”的案例性建议的思考
在文中讲述的解题教学过程中，学生是能够解决教师出示的问题的。这里，教师主要的不足之处不是没有补充多项式带余除法，使得问题的解决更加便捷；而是没有充分发挥主导作用，对学生的解法做出点拨，让学生的思考更加自然、深入。
学生的解法1简单而有效。对此，教师最主要的不足之处在于没有追问设另一个因式的依据，便因答案正确而迅速滑过了。这里，教师应该让学生从多项式乘法中积的次数与因式的次数之间的关系来分析设另一个因式的依据：两个因式最高次项的积为积的最高次项，两个因式常数项的积为积的常数项，易得另一个因式的最高次项、常数项分别是ax、-1。数学教学需要关注思维过程，让学生“知其然，更知其所以然”。
学生的解法2复杂但可行。对此，教师最主要的不足之处在于没有指出它和学生1的解法殊途同归的根本原因，即它和学生1的解法在本质上的相通之处。这里，教师应该让学生从两个多项式恒等的角度来认识两种解法：由学生1解法中的恒等式（ax-1）·（x2-3x+1）=ax3+bx2-1，可以将其左边展开，再通过左右两边对应项系数相等，列方程组求解a、b，也可以通过代入两个特殊的x的值，列方程组求解a、b（如代入x=1和x=-1，列方程组-a+1=a+b-1，5（-a-1）=-a+b-1）；学生2的解法在本质上是通过代入两个使恒等式左右两边为零的x的值，列方程组求解a、b。数学教学还需要打通知识联系，让学生建立认知结构，理解内容本质。当然，教师还应该让学生比较两种方法的优劣，学会合理地选择。
可见，做出这样的点拨后，学生便能很好地认识和掌握这类题目及其解法，教师没有必要补充多项式带余除法。
（二）对文中关于“增补内容”的一般化观点的思考
数学课程是否应对“数学主干链条上的知识”进行删减？数学教学是否应对“数学主干链条上的知识”进行增补？
一些大学教授关注数学知识体系、结构的严密性、完备性，认为初等数学的基本内容都不能删减。很多奥数教师和普通教师关注竞赛成绩和考试成绩，认为可以帮助学生快速解决问题的数学内容都不能不讲，否则学生就会吃亏。但是，他们没有从普通学生现实的学习能力、负担以及理想的学习目标、要求的角度来考虑他们是否能够理解以及是否需要掌握那些内容。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出：“义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，具有基础性、普及性和发展性。数学课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能，培养学生的抽象思维和推理能力，培养学生的创新意识和实践能力，促进学生在情感、态度与价值观等方面的发展。义务教育的数学课程能为学生未来生活、工作和学习奠定重要的基础。”这说明义务教育
阶段的数学课程具有基础性，即面向全体学生，适应学生个性发展的需要；也具有指向性，即以知识学习、技能训练为载体，以思维发展、素养提升、精神培养、文化传承为目标（以内容为载体，以育人为目标）。
考虑到更多学生的学习能力、负担以及更高层次的学习目标、要求，课标（及教材）对一些课程（及教学）内容做了删减。比如，对《增补》一文提及的韦达定理（即一元二次方程根与系数的关系）不做过多、过高要求（以选学形式出现）。其原因有二：（1）相关的难点比较多，学生难以掌握。如不解方程利用定理求值问题，其代数式有齐次对称式、非齐次对称式等，转化和变形等情况复杂、多变，需要充分运用整体处理、恒等变换、消元降次等思想方法，学生理解力和思维力明显不足。如根据条件求待定系数的值或范围问题，其求解需要考虑较多的因素（二次项系数、有根条件、实际意义等），学生综合能力明显不够。（2）应用的价值不够高，学生无须掌握。如在二次函数综合问题中的应用， 随着二次函数要求的降低而消减。如在发展逆向思维活动中的应用（基于根的情况研究系数情况），可以被整式乘法与因式分解的比较、一元二次方程方程根的判别式的应用、几何问题条件与结论互换的变式探究等代替。
当然，考虑到部分“资优生”的水平和兴趣，以及“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”的目标和要求，教师可以在课外个别辅导中对一些被删减的内容进行适当的增补，从而引发他们更为深入的探索。
二、引发的数学教学思考
其实，面向全体、指向育人的数学教学，并不仅在于教学内容的多少与增删（很多教学内容都可以面向全体、指向育人），而更加在于教学的过程和方式（即关注学生是如何理解、掌握教学内容的）。数学学习应该是一个自主建构、自然生长、逐步完善、螺旋上升的过程。数学教学应该是一种慢化的艺术，教师不能急着把知识结论告诉学生，而应该充分发掘内容的意蕴，发挥内容的价值，认真组织学习环节，设计学习活动，引领学生参与探索和实践的过程，进行深度学习，从而在深化理解、激发热情的基础上发展思维、提升素养。
（一）关注知识建构过程，让课堂充满“火热的思考”
教育专家将数学知识分为三种形态：学术形态、课程形态、教育形态。数学教学要将数学知识的学术形态、课程形态转化为教育形态。数学知识的形成过程包含深厚的数学文化、丰富的数学思想方法、精妙的数学结构、简洁的数学表达。数学知识的教育形态就是基于学习者已有的生活经验和数学现实，按照学习者的认知能力和认知水平重构知识的认知过程。这一过程尤其要突出思想方法的感悟、语言的表达，实现知识的内化、能力的培养；切不能采取“一个定义，三项注意”的方式，失去应有的教育价值。
例如負数知识的建构活动，一是利用生活中的现象（气温、海拔高度、进出货物情况的记录等），感受负数的存在；二是通过具体的实例，亲历相反意义的量的表达过程，感悟数学的方法和价值；三是通过负数在数轴上表示的实践，参与建构数轴的过程，形成几何直观形象；四是经历负数相关计算法则的研讨及运用等过程，逐步完成负数知识的整体建构，体验负数形成的必要性、合理性、简洁性、严密性。
（二）突出学生主体探索，让课堂成为“再发现”“再创造”的场域
有效的数学学习活动是学生自主探索的过程，指向学生自己的发现和创造。教师要相信学生，让学生疑，让学生思，让学生猜想、验证，让学生归纳、演绎，充分挖掘学生的潜能，开启学生的智慧。
例如多项式乘法公式的教学活动：（1）练习：看谁算得又快又好！①（x+a）（x+b），（x+1）（x+2），（x-1）（x+2），（x-1）（x-2）；②（a+b）2，（x+3）2，（2x+1）2，（x-1）2；③（a+b）（a-b），（x+1）（x-1），（x-2）（x+2），（2x+1）（2x-1）。（2）交流：①算得快的同学，能把你的计算秘诀告诉同学吗？②你能归纳多项式乘多项式哪些形式可以简便计算吗？③试着给公式起一个合适的名称。④试着用语言表达上述公式。⑤你能用图形介绍上述公式吗？（3）拓展：试着用得到的公式解决下列式子的计算。（2x+3y）2，（-2x+3y）2，（a-b）2，（a+b+c）2，（-2x+1）（2x+1），（-2x-1）（2x-1），（x+y+z）（x+y-z）。以上教学活动，能够引导学生自主回忆和运用已有的数学知识和经验，探索和发现多项式乘多项式的特殊形式及其运算规律，并基于自己的理解给公式起名称，用语言和图形表述公式内涵。这样的一节课，能够帮助学生自主学习完全平方公式、平方差公式，并完善、深化。
（三）注重探索路径规划，让课堂成为思维发展的殿堂
帮助学生发展思维，需要渗透数学思想方法，引领学生规划探索的路径。一方面，要关注
已知和未知之间的联系，指引知识建构的方法；另一方面，还要关注条件和结论之间的联系，指引问题解决的策略。由此，培养学生思维的灵活性和深刻性，帮助学生建立知识结构，感悟问题本质。
例如，教学四边形知识时，可以引导学生先回顾三角形的研究思路（如图1），再类比迁移，规划四边形的研究路径（如图2），进而构建几何图形研究的一般模式，不断优化研究路径，形成整体结构。
又如，教学一元二次方程问题“写一个一元二次方程，使它的两根为方程x2-x-2=0的两根的相反数”时，可以引导学生规划以下路径：（1）直接计算：①求出x2-x-2=0的两根2、-1；②写出所求方程的两根-2、1；③列出所求的方程（x+2）（x-1）=0，得到x2+x-2=0。（2）整体代换：①设出x2-x-2=0的两根α、β；②写出所求方程的两根-α、-β；
③列出所求的方程（x+α）（x+β） =0，得到x2+（α+β）x+αβ=0；④得到x2+x-2=0。（3）关系变换：①设所写方程的根为y，则y=-x；②将x=-y，代入原方程（-y）2+（-y）-2=0，得到y2-y-2=0。（4）变式方向：改换方程或改变根的关系。
（四）强化实践活动体验，让课堂成为素养提升的领地
帮助学生提升素养，需要联系实际展开应用，促进学生体验实践性活动。要将理论与实践相结合，要求学生应用所学知识和方法解决现实情境的问题。活动过程一般包括活动方案设计、器材准备、实地活动、数据收集、数据整理、活动报告（总结）等几个环节。由此，可以促进学生形成“用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言表达世界”的数学素养。
例如，学习完相关的知识后，教师可以设计测量校园旗杆高度的实践活动，引导学生设计和实施以下方案：（1）利用相似形，即同一时刻影长与物长成正比（如图3）。工具：卷尺、标志杆等；条件：晴天、平坦的场地等。（2）利用直角三角形边角关系（如图4）。工具：卷尺、测角仪等；条件：平坦的场地等。（3）利用直角三角形边角关系及方程（如图5、图6）。工具：卷尺、测角仪等；条件：平坦的场地等。
本文系江苏省教育科学“十二五”规划立项课题“初中数学‘情理交融’课堂教学的实践研究”（编号：E-c/2013/011）的阶段性研究成果。
参考文献：
[1] 章建跃.理解数学，理解学生，理解教学[J].中国数学教育，2010（12）.
[2] 钱德春，吕同林.“初中数学‘情理交融’课堂教学的实践研究”开题报告[J].中学数学教学参考（中旬），2014（8）.