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[摘 要] 复变函数是高等学校工科专业一门重要的数学基础课程，具有高度抽象性，计算复杂性，学习难度较大。结合自身教学实践，分析该课程现状与背景，探讨课程教学改革，将工程专业背景融入课程中，激发学生学习兴趣，在教学实践中取得良好的教学效果。
[关 键 词] 复变函数;工科专业;教学模式
[中图分类号] G642 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2019）25-0170-02
复变函数是高等学校工科专业的一门重要的理论基础课，是高等数学后续课程，属于工程数学范畴，在信号处理、电磁理论以及流体力学等领域有着广泛的应用[1-4]。通过该课程的学习，学生能掌握复变函数的基本理论与方法，以便为后续数学课程（如积分变换、数学物理方程）打下基础，同时培养学生抽象思维能力、逻辑推理能力以及应用复变函数的知识解决工科专业实际问题的能力。
一、研究现状与背景分析
在复变函数课程教学过程中，学生常常感觉概念抽象、推导繁琐、计算复杂且彼此关联。如果学生对高等数学知识点掌握不足，基础不扎实，则不能充分理解、掌握本课程内容。同样学生专业知识的空白，缺乏工程实践，也导致其无法理解工程数学理论体系在大学课程设置中的实际意义。这些固有的特性使教师难教、学生难学的现象时有发生，如何使学生能在轻松愉悦的环境下领会复变函数的精髓，掌握课程学习方法，则是当前课程改革的重点。
首先，该课程在大二第一学期开设，该阶段学生专业知识几乎尚未涉及，学科背景比较匮乏，导致学生无法理解具体实用背景，从而兴趣低迷，有的甚至出现厌学情绪。如何调动学生学习本课程的积极性，成为重中之重。
其次，该课程涉及知识点繁多，但是课时设置有限，这就要求任课教师对所授知识有所取舍，结合本专业学科特点，重点突出，在有效的时间内达到知识点传授最大化和合理化。
再次，目前高校教学改革正在有序进行，结合高校实际情况，探讨该课程教学模式改革迫在眉睫。我们现在采取“小班授课”的模式，教师可以和学生近距离接触，及时获得学生的听课效果。通常我们还是采用“教师讲，学生听”的传统模式。现在学生获得知识渠道逐渐增多，这种单一的教学模式已经远远不能满足学生获取知识的需求。探讨教学模式改革，提高教学质量，是我们必须要面临的难题[5-6]。
二、课程教学改革探讨
（一）教师独特人格魅力和语言艺术是提高学生学习积极性的关键
首先，教师独特的人格魅力对吸引学生注意力至关重要。我们都有这样的经验，喜欢某位教师，听课兴致就很高;不喜欢某位老师，听课时老是昏昏欲睡。教师的学识、能力、性情、品德修养等综合素质熔铸成的人格魅力，是一名好教师吸引学生的主要源泉。教学需要“表演”，做到“以生为本”，一切为学生服务。每一堂课，教师如同表演者，学生如同观众，干枯的教授法已经不能满足学生获取知识的需求，教师每一句话、每一个眼神或者每一个转身，都是要经过设计的，并紧紧抓住学生的注意力。如，将数学史融入教学中，把伟大的數学家生平故事和他们的杰出贡献讲给学生听，避免课堂枯燥乏味。针对数学课程的抽象性和复杂性，力争用较为轻松而又严谨的话语把基本概念和方法讲清楚，如“欧拉公式”是复变函数课程学习中最重要的一个知识点，被称为最优美最具里程碑意义的公式，将复数域中三角函数和指数函数很好地结合在一起，是人类数学发展史上一大进步。学生听了，会对欧拉公式有比较深刻的印象。
我们面对的学生是极具个性的一代人，作为教师要充分尊重他们的人格和自尊，对学生要始终保持关注和热情。利用课前课后多和学生进行沟通，了解他们真正感兴趣的是什么。教师只有先拉近距离，让学生对教师有认同感，才能提高他们学习这门课程的积极性。
（二）加强学科专业知识积累，融入数学教学过程中
作为一名高校教师必须有深厚的专业知识积累与独特的教学眼光。“要给学生一杯水，自己先有一缸水。”当前学生获得知识的渠道多样化，单纯依靠课本教学已经满足不了学生学习的需求。教师熟练教学内容，了解工程学科专业背景知识，才能从多角度对问题进行思考，多举实例与数学理论知识相联系。以常见问题为切入点，用浅显易懂的语言将抽象问题具体化，培养学生的学科素养。
如讲授复变函数中“共形映射”知识点时，教师可以将复杂的几何图形经过变换简化为简单图形，工程技术上利用这一点成功解决了电场中电容问题和流体力学等方面的实际问题。在讲授过程中，教师结合工程应用，采用图形结合，加之几何意义，可以帮助学生深层次理解概念内涵和外延。在理解复变函数中“留数”这一重要概念时，教师结合电荷电场的相关知识，留数计算中的奇点类比电场中的点电荷，赋予数学概念以工程意义，将理论知识实践化、抽象问题具体化、复杂问题简单化，是教师主讲工程数学课程的重要原则。
（三）针对本课程的特殊性，注重教学方式突破
复变函数是在学生学习完高等数学后开设的课程。这两门课程有一定的相关性，将实数域研究问题扩展到了复数域。因此，在讲授过程中，教师多采用“类比/对比教学法”，从学生熟悉的知识点入手，由简入难。两门课程的主要内容都是函数、极限、连续、导数、积分和级数，前三者在复数域和实数域中区别不大。针对导数，在复变函数中引入解析函数的概念，强调了“领域”。并且，在复变函数中，所有初等函数的讲解都是在给出解析函数之后进行的，与实变函数有本质区别。复变函数的指数函数是有周期性的，这为我们以后理解量子力学中波粒二象性打下基础。复变函数中的积分强调的是围线积分，级数展开会有负幂项，这些都是复变函数独特的性质。基于此，将复积分和复级数结合起来，得到了“留数”这一独特的概念，并大大简化了不定积分的计算。通过这些比较，学生可以对复变函数课程的知识点有比较清晰的认识，把碎片化知识点串成知识树，探索各知识点之间的关系，掌握课程的整个脉络。 在课程讲授过程中，教师要着重强调解题思路。关于复积分计算，第一步首先将积分的围线在坐标轴上画出。第二步判断被积函数是否有奇点，如果没有，利用柯西-古萨基本定理得出结果;如果有，在坐标轴上画出相应奇点，并判断奇点是否在围线区域内。第三步利用柯西-积分公式、高阶导数公式或者留数定理求出结果。解题思路在数学学习中是至关重要的，可以将碎片化的知识点整合在一起，形成一个完整的知识体系。
（四）改革传统教学模式，提高教学质量
转变以往“一言堂、满堂灌”的“说教模式”，要与学生深度探讨。教师诊断学生前期的学习情况，发现学生学习中的兴趣点和难点，实时动态调整、优化和整合教学内容。教师与学生或者学生与学生之间积极互动，开展深入协作的教学活动，增强学生的学习体验，通过互动设计激发学生探索求知的热情。在教授过程中，教师采用“问题教学法”，与学生一起提出问题、解决问题，多媒体课件与板书相结合，对重点和难点进行仔细推导。针对一些重要但是难度不大的内容，可以开展讨论课或者“翻转课堂”，让学生走上讲台，真正做到教学相长，共同进步。
在复变函数课时有限的情况下，教师合理利用微课等平台，帮助学生理解课堂上难点和重点，大大提升教学效果。同时，探讨考核方式的改革，由当前闭卷答题改为多元化考核，如课外作业——利用课程知识解决本专业实际问题的小论文，真正做到“学以致用”。充分发挥学生的主观能动性，使自主学习成为一种习惯。
三、结语
复变函数的教学改革在不断思考和探索中，在教学内容、教学方法、教学模式、考核方式以及与高校工科专业结合等各个方面进行深入思考。我们在实际教学过程中探讨复变函数课程教学改革，将工程专业背景融合到该课程中，激发学生学习兴趣，在学习专业课时真正发挥该课程作为数学工具的重要作用。同时希望借助复变函数教学改革，对从事工程数学教学工作的教师提供一定的借鉴作用。
参考文献：
[1]西安交通大学高等数学教研室.复变函数[M].北京：高等教育出版社，2011.
[2]布朗·丘吉尔.复变函数及其应用[M].张继龙，李升，陈宝琴，译.北京：机械工业出版社，2015.
[3]钟玉泉.复变函数论[M].北京：高等教育出版社，2001.
[4]余家荣.复变函数[M].北京：高等教育出版社，2014.
[5]钟澎洪，陈静安.关于复变函数课程教学的几点思考[J].教育教學论坛，2017（27）：188-189.
[6]乔守红，卫雪梅，邓秀勤.复变函数教学的两则注记[J].高等数学研究，2018，21（1）：41-43.
编辑 陈鲜艳
[关 键 词] 复变函数;工科专业;教学模式
[中图分类号] G642 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2019）25-0170-02
复变函数是高等学校工科专业的一门重要的理论基础课，是高等数学后续课程，属于工程数学范畴，在信号处理、电磁理论以及流体力学等领域有着广泛的应用[1-4]。通过该课程的学习，学生能掌握复变函数的基本理论与方法，以便为后续数学课程（如积分变换、数学物理方程）打下基础，同时培养学生抽象思维能力、逻辑推理能力以及应用复变函数的知识解决工科专业实际问题的能力。
一、研究现状与背景分析
在复变函数课程教学过程中，学生常常感觉概念抽象、推导繁琐、计算复杂且彼此关联。如果学生对高等数学知识点掌握不足，基础不扎实，则不能充分理解、掌握本课程内容。同样学生专业知识的空白，缺乏工程实践，也导致其无法理解工程数学理论体系在大学课程设置中的实际意义。这些固有的特性使教师难教、学生难学的现象时有发生，如何使学生能在轻松愉悦的环境下领会复变函数的精髓，掌握课程学习方法，则是当前课程改革的重点。
首先，该课程在大二第一学期开设，该阶段学生专业知识几乎尚未涉及，学科背景比较匮乏，导致学生无法理解具体实用背景，从而兴趣低迷，有的甚至出现厌学情绪。如何调动学生学习本课程的积极性，成为重中之重。
其次，该课程涉及知识点繁多，但是课时设置有限，这就要求任课教师对所授知识有所取舍，结合本专业学科特点，重点突出，在有效的时间内达到知识点传授最大化和合理化。
再次，目前高校教学改革正在有序进行，结合高校实际情况，探讨该课程教学模式改革迫在眉睫。我们现在采取“小班授课”的模式，教师可以和学生近距离接触，及时获得学生的听课效果。通常我们还是采用“教师讲，学生听”的传统模式。现在学生获得知识渠道逐渐增多，这种单一的教学模式已经远远不能满足学生获取知识的需求。探讨教学模式改革，提高教学质量，是我们必须要面临的难题[5-6]。
二、课程教学改革探讨
（一）教师独特人格魅力和语言艺术是提高学生学习积极性的关键
首先，教师独特的人格魅力对吸引学生注意力至关重要。我们都有这样的经验，喜欢某位教师，听课兴致就很高;不喜欢某位老师，听课时老是昏昏欲睡。教师的学识、能力、性情、品德修养等综合素质熔铸成的人格魅力，是一名好教师吸引学生的主要源泉。教学需要“表演”，做到“以生为本”，一切为学生服务。每一堂课，教师如同表演者，学生如同观众，干枯的教授法已经不能满足学生获取知识的需求，教师每一句话、每一个眼神或者每一个转身，都是要经过设计的，并紧紧抓住学生的注意力。如，将数学史融入教学中，把伟大的數学家生平故事和他们的杰出贡献讲给学生听，避免课堂枯燥乏味。针对数学课程的抽象性和复杂性，力争用较为轻松而又严谨的话语把基本概念和方法讲清楚，如“欧拉公式”是复变函数课程学习中最重要的一个知识点，被称为最优美最具里程碑意义的公式，将复数域中三角函数和指数函数很好地结合在一起，是人类数学发展史上一大进步。学生听了，会对欧拉公式有比较深刻的印象。
我们面对的学生是极具个性的一代人，作为教师要充分尊重他们的人格和自尊，对学生要始终保持关注和热情。利用课前课后多和学生进行沟通，了解他们真正感兴趣的是什么。教师只有先拉近距离，让学生对教师有认同感，才能提高他们学习这门课程的积极性。
（二）加强学科专业知识积累，融入数学教学过程中
作为一名高校教师必须有深厚的专业知识积累与独特的教学眼光。“要给学生一杯水，自己先有一缸水。”当前学生获得知识的渠道多样化，单纯依靠课本教学已经满足不了学生学习的需求。教师熟练教学内容，了解工程学科专业背景知识，才能从多角度对问题进行思考，多举实例与数学理论知识相联系。以常见问题为切入点，用浅显易懂的语言将抽象问题具体化，培养学生的学科素养。
如讲授复变函数中“共形映射”知识点时，教师可以将复杂的几何图形经过变换简化为简单图形，工程技术上利用这一点成功解决了电场中电容问题和流体力学等方面的实际问题。在讲授过程中，教师结合工程应用，采用图形结合，加之几何意义，可以帮助学生深层次理解概念内涵和外延。在理解复变函数中“留数”这一重要概念时，教师结合电荷电场的相关知识，留数计算中的奇点类比电场中的点电荷，赋予数学概念以工程意义，将理论知识实践化、抽象问题具体化、复杂问题简单化，是教师主讲工程数学课程的重要原则。
（三）针对本课程的特殊性，注重教学方式突破
复变函数是在学生学习完高等数学后开设的课程。这两门课程有一定的相关性，将实数域研究问题扩展到了复数域。因此，在讲授过程中，教师多采用“类比/对比教学法”，从学生熟悉的知识点入手，由简入难。两门课程的主要内容都是函数、极限、连续、导数、积分和级数，前三者在复数域和实数域中区别不大。针对导数，在复变函数中引入解析函数的概念，强调了“领域”。并且，在复变函数中，所有初等函数的讲解都是在给出解析函数之后进行的，与实变函数有本质区别。复变函数的指数函数是有周期性的，这为我们以后理解量子力学中波粒二象性打下基础。复变函数中的积分强调的是围线积分，级数展开会有负幂项，这些都是复变函数独特的性质。基于此，将复积分和复级数结合起来，得到了“留数”这一独特的概念，并大大简化了不定积分的计算。通过这些比较，学生可以对复变函数课程的知识点有比较清晰的认识，把碎片化知识点串成知识树，探索各知识点之间的关系，掌握课程的整个脉络。 在课程讲授过程中，教师要着重强调解题思路。关于复积分计算，第一步首先将积分的围线在坐标轴上画出。第二步判断被积函数是否有奇点，如果没有，利用柯西-古萨基本定理得出结果;如果有，在坐标轴上画出相应奇点，并判断奇点是否在围线区域内。第三步利用柯西-积分公式、高阶导数公式或者留数定理求出结果。解题思路在数学学习中是至关重要的，可以将碎片化的知识点整合在一起，形成一个完整的知识体系。
（四）改革传统教学模式，提高教学质量
转变以往“一言堂、满堂灌”的“说教模式”，要与学生深度探讨。教师诊断学生前期的学习情况，发现学生学习中的兴趣点和难点，实时动态调整、优化和整合教学内容。教师与学生或者学生与学生之间积极互动，开展深入协作的教学活动，增强学生的学习体验，通过互动设计激发学生探索求知的热情。在教授过程中，教师采用“问题教学法”，与学生一起提出问题、解决问题，多媒体课件与板书相结合，对重点和难点进行仔细推导。针对一些重要但是难度不大的内容，可以开展讨论课或者“翻转课堂”，让学生走上讲台，真正做到教学相长，共同进步。
在复变函数课时有限的情况下，教师合理利用微课等平台，帮助学生理解课堂上难点和重点，大大提升教学效果。同时，探讨考核方式的改革，由当前闭卷答题改为多元化考核，如课外作业——利用课程知识解决本专业实际问题的小论文，真正做到“学以致用”。充分发挥学生的主观能动性，使自主学习成为一种习惯。
三、结语
复变函数的教学改革在不断思考和探索中，在教学内容、教学方法、教学模式、考核方式以及与高校工科专业结合等各个方面进行深入思考。我们在实际教学过程中探讨复变函数课程教学改革，将工程专业背景融合到该课程中，激发学生学习兴趣，在学习专业课时真正发挥该课程作为数学工具的重要作用。同时希望借助复变函数教学改革，对从事工程数学教学工作的教师提供一定的借鉴作用。
参考文献：
[1]西安交通大学高等数学教研室.复变函数[M].北京：高等教育出版社，2011.
[2]布朗·丘吉尔.复变函数及其应用[M].张继龙，李升，陈宝琴，译.北京：机械工业出版社，2015.
[3]钟玉泉.复变函数论[M].北京：高等教育出版社，2001.
[4]余家荣.复变函数[M].北京：高等教育出版社，2014.
[5]钟澎洪，陈静安.关于复变函数课程教学的几点思考[J].教育教學论坛，2017（27）：188-189.
[6]乔守红，卫雪梅，邓秀勤.复变函数教学的两则注记[J].高等数学研究，2018，21（1）：41-43.
编辑 陈鲜艳