论文部分内容阅读
我国著名的教育专家章建跃教授在《中学数学教学的十个问题》中提到：许多高中数学教师认为教材内容太简单，不足以应付高考。只有讲课外的东西才能显示水平，从而脱离教本进行教学。不可否认，由于数学在高考中所处的地位，数学成绩的好坏直接影响到许多学生能否考到理想的学校，影响到学校在社会中的地位。而高考中的试题由于具有选拔性，体现在对学生的知识与能力的考察，因此，在教师中产生上述现象便不足为奇。高于教材，是高考试题的真实写照，也是考题“能力立意”的体现之处，但源于教材，却是高考试题的出发点，是高考试题的根本要求。所以，课堂教学应该是培养和提高学生能力的主阵地，在这里，教师与学生展开对教材的核心组成部分，即定义、公理、定理及公式的推导和证明的研究性学习，通过活动可帮助学生深刻理解包含在知识中的数学思想、方法以及培养学生的开放性思维，提高学生创新、解决问题的能力，任何脱离教材进行后的研究性学习都将成为空中楼阁。教材的知识结构、内容顺序是反复考虑的，语句是字斟句酌的，例题是反复打磨的，习题是精挑细选的。教师完全可以利用教材，来培养学生分析问题、解决问题以及创新思维的能力。
如何利用教材，利用好教材是每个教师所面临的问题，也是值得每个数学教师进行探讨。下面的课堂实录是我最近听课的一个教学片断：
例1：已知等差数列{an}中，a5=10，a12=31，求{an}的通项公式。
师：根据本题特点，请大家发表看法
生：已知{an}为等差数列，所以可以设首项a1，公差d，然后代入a5和a12，解出a1与d,即可求出an
师：同学们考虑一下这种方法是否可以？
生：可以
师：要解方程组，是不是很烦？
生：是的
师：根据大家所学的等差数列的性质，有没有更为简洁的方法？
……
生：可利用d=■求出公差d,即可用a5或a12表示出an
师：很好，这位同学利用等差数列的图像是分布在直线上的点，根据直线斜率即公差，然后老师板书，写出该方法的全过程。
教学背景：
这是学生学习过等差数列相关概念后老师讲解的一道例题，学生使用基本量法，教师认为此法计算较繁。
教学感悟：
1.何谓最佳方法？从本节课老师的引导可以看出，老师认为方法二是优于方法一的。其实方法一是数列中最典型的“基本量”法，可以说是解决等差（此）问题的通性通法，平时的教法中对通性通法的培养是课堂例题讲解的关键，况且此方法中还包含着方程（组）的思想，是我们解决问题的最自然的思想。
2.没有“最佳”只有“更佳”。教学中解题方法千变万化，只要我们认真探究，还会找到更好的办法。比如本节课中，教师引导出的方法二，我们还可以更进一步的探究，教师在课堂上不仅仅是组织者，更是引领者和拓展者，需要站在比学生更高的精神点引领学生。既然等差数列的图像是直线，那么A（5,a5）,B（12,a12）,C（n,an）三点必共线，因此，解题的思路更宽阔。比如A、B、C三点共线，则AB的斜率与直线AC的斜率相等
则■=■ 即■=■，化简即可。
应该说上面的教学案例充分考虑了学生的课堂主体能动性。教师利用教材进行教学，同时又不局限于教材，而是对教材进行“深加工”、“次开发”。整个教学过程教师把教材作为进行教学活动的中介，积极调动学生的上课积极性，留给学生的思考空间，符合新课改的要求，教师若在此基础上让学生对不同的解法进行评价则会使教学过程更完美。
教材作为教师教学的依据，教学中教师不应把教材中的核心组成部分，定义、公理、定理及公式等内容简单的告诉学生，然后再通过大量的训练反过来理解教材内容。而应力求使学生经历教材的核心组成部分；定义、公理、定理及公式的推导和证明的形成过程，学生通过知识的形成过程可以对蕴含在此过程中的数学思想方法深刻理解。学生只有掌握孕育在知识中的数学思想方法，才可能在处理新的问题时不至于出现“讲过练过的题不一定会，没讲没练的一定不会”的现象。
案例：教材中求等差数列{an}的第n项an的解题过程我们简称为叠加法，求等比数列{an}前n项和的解题思路我们简称为错位相减法。但在教学过程中，教师往往只是简单告诉学生求通项及前n项和的解题思路，然后就把此通项公式与前n项和公式告诉给学生，学生根本没有真正理解这两个公式的来源思想。教师的根本目的就是节约时间进行大量的解题训练，是想通过“刺激—反应”训练代替学生的知识形成过程，这是教育功利化在数学教学中的具体体现，其结果是教师的大量付出没收到相应的回报，教师喊累，学生感到更累。教师在教学新课时应该是让学生经历知识的形成过程，形成解题的思想，才可能在有限的时间内处理综合能力较强的问题，做到得心应手。下面的题目是2009年全国卷Ⅰ理中的一道有关数列的试题：
题目：在数列{an}中，a1=1,an+1=(1+■)an+■
（I）设bn=■，求数列{bn}的通项公式
（II）求数列{an}的前n项和Sn
分析：（I）由已知有■=■+■，所以bn+1-bn=■
利用累差迭加即可求出数列{bn}的通项公式:
（II）由（I）知
所以，
而 是一个典型的错位相减法模型，
易得 ，所以，
从解析中我们可看出本题主要考察利用累加法、构造新数列和利用错位相减法求前n项和，此解题思想直接来源于教材。出题人的目的显然是让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法、基本技能，重视两纲的导向作用。再如2010年四川理数19有关三角函数的试题第（I）问：
①证明两角和的余弦公式 ；
② 由 推导两角和的正弦公式 。 如果学生理解课本中的两角差的余弦公式的推导过程的思想，则此题就不难处理了，否则处理起来就比较困难。
下面谈谈我的几点感想：
（1）以教材组织教学，使教学回归本质。现在教育正从精英教育向大众教育转变，教育形式的改变必须要求教师改变其教学方式。不可否认，由于现在许多教师没能跟上这一变化，依旧采用原有的教学模式，许多地方的数学教育不能令人满意，甚至出现倒退的现象，特别是一些农村地方的教育。主要原因是教师的教学方式没有较快地组织好教材进行教学，而是仍旧通过大量训练的教学方法组织教学活动，结果是课本学完了，许多学生就连最基本的定义、公理、定理、公式等内容都没掌握好，那又如何通过这些基本内容解决问题呢？因此，教师让学生一定理解、掌握教材中的定义、公理、定理、公式等，另外要让学生学好例题。书中的例题很重要， 书中的例题一定要搞得很透彻、明白。书上的例题都是很典型的，都是有启示作用的，学生掌握好教材中的知识是数学教学成功的重要前提。
（2）以教材为中介，让学生经历知识的形成过程。教学的根本目的是教师如何利用已有的知识处理新的问题能力，这种能力的体现关键在于学生在学习中如何形成数学思想，而经历数学知识的生成过程是学生形成数学思想的基础。教师要以教材为“中介”，通过设置恰当的问题情境，引导学生参与到对问题的讨论中。通过学生的合作、交流等，引导学生归纳出隐含在问题中的一般结论。因此，教学中，教师要重视知识和方法的形成,强调过程性知识,重视知识系统、思想方法策略的讲授，要避免以解题训练代替知识的形成过程。李建华在《北京四中数学教育传统的形成与发展》中提出，有些老师来四中听课,感觉课堂效率不是很高时指出:知识和方法很重要,但知识和方法形成的过程更重要,而过程性的东西一展开,就不一定能够按照常规的意义来理解,所以经常会出现一些新状况。
（3）注重学生的个性发展，培养学生继续学习的习惯。叶澜教授指出：“课堂是向未知方向挺进的旅程，随时都有可能发生意外的通道和美丽的因素，而不是一切都必须遵循固定线路而没有激情的行程”。由于有些教师受到教材的束缚，他们在教学过程中，当学生回答的解题思路与教材中的不一样时，不加任何评论的让别的学生继续回答，直到回答的结果与教材一致时才结束或干脆自己说出解题思路。一般说来，教材的解题思路是清晰的、解题过程是严密的，但并不是说我们就没有疑问，在解法上就不能提出自己的见解。否则，我们培养的学生就只会模仿而没有创新，这是对学生富有个性色彩的经验没有给予足够的重视。教师的教学过程是用教材教而不是教教材，教师应以教材为媒介培养学生自主、合作、质疑的学习精神。
【参考文献】
[1]章建跃.数学课改的十个问题[J].数学教学参考，2010.3
[2]李道华.北京四中数学教育传统的形成与发展[J],数学通报,2008.3
[3]徐利治.谈谈我青少年时代学习数学的一些经历和感想[J].数学通报，2007.12
（作者单位：江苏省丰县民族中学）
如何利用教材，利用好教材是每个教师所面临的问题，也是值得每个数学教师进行探讨。下面的课堂实录是我最近听课的一个教学片断：
例1：已知等差数列{an}中，a5=10，a12=31，求{an}的通项公式。
师：根据本题特点，请大家发表看法
生：已知{an}为等差数列，所以可以设首项a1，公差d，然后代入a5和a12，解出a1与d,即可求出an
师：同学们考虑一下这种方法是否可以？
生：可以
师：要解方程组，是不是很烦？
生：是的
师：根据大家所学的等差数列的性质，有没有更为简洁的方法？
……
生：可利用d=■求出公差d,即可用a5或a12表示出an
师：很好，这位同学利用等差数列的图像是分布在直线上的点，根据直线斜率即公差，然后老师板书，写出该方法的全过程。
教学背景：
这是学生学习过等差数列相关概念后老师讲解的一道例题，学生使用基本量法，教师认为此法计算较繁。
教学感悟：
1.何谓最佳方法？从本节课老师的引导可以看出，老师认为方法二是优于方法一的。其实方法一是数列中最典型的“基本量”法，可以说是解决等差（此）问题的通性通法，平时的教法中对通性通法的培养是课堂例题讲解的关键，况且此方法中还包含着方程（组）的思想，是我们解决问题的最自然的思想。
2.没有“最佳”只有“更佳”。教学中解题方法千变万化，只要我们认真探究，还会找到更好的办法。比如本节课中，教师引导出的方法二，我们还可以更进一步的探究，教师在课堂上不仅仅是组织者，更是引领者和拓展者，需要站在比学生更高的精神点引领学生。既然等差数列的图像是直线，那么A（5,a5）,B（12,a12）,C（n,an）三点必共线，因此，解题的思路更宽阔。比如A、B、C三点共线，则AB的斜率与直线AC的斜率相等
则■=■ 即■=■，化简即可。
应该说上面的教学案例充分考虑了学生的课堂主体能动性。教师利用教材进行教学，同时又不局限于教材，而是对教材进行“深加工”、“次开发”。整个教学过程教师把教材作为进行教学活动的中介，积极调动学生的上课积极性，留给学生的思考空间，符合新课改的要求，教师若在此基础上让学生对不同的解法进行评价则会使教学过程更完美。
教材作为教师教学的依据，教学中教师不应把教材中的核心组成部分，定义、公理、定理及公式等内容简单的告诉学生，然后再通过大量的训练反过来理解教材内容。而应力求使学生经历教材的核心组成部分；定义、公理、定理及公式的推导和证明的形成过程，学生通过知识的形成过程可以对蕴含在此过程中的数学思想方法深刻理解。学生只有掌握孕育在知识中的数学思想方法，才可能在处理新的问题时不至于出现“讲过练过的题不一定会，没讲没练的一定不会”的现象。
案例：教材中求等差数列{an}的第n项an的解题过程我们简称为叠加法，求等比数列{an}前n项和的解题思路我们简称为错位相减法。但在教学过程中，教师往往只是简单告诉学生求通项及前n项和的解题思路，然后就把此通项公式与前n项和公式告诉给学生，学生根本没有真正理解这两个公式的来源思想。教师的根本目的就是节约时间进行大量的解题训练，是想通过“刺激—反应”训练代替学生的知识形成过程，这是教育功利化在数学教学中的具体体现，其结果是教师的大量付出没收到相应的回报，教师喊累，学生感到更累。教师在教学新课时应该是让学生经历知识的形成过程，形成解题的思想，才可能在有限的时间内处理综合能力较强的问题，做到得心应手。下面的题目是2009年全国卷Ⅰ理中的一道有关数列的试题：
题目：在数列{an}中，a1=1,an+1=(1+■)an+■
（I）设bn=■，求数列{bn}的通项公式
（II）求数列{an}的前n项和Sn
分析：（I）由已知有■=■+■，所以bn+1-bn=■
利用累差迭加即可求出数列{bn}的通项公式:
（II）由（I）知
所以，
而 是一个典型的错位相减法模型，
易得 ，所以，
从解析中我们可看出本题主要考察利用累加法、构造新数列和利用错位相减法求前n项和，此解题思想直接来源于教材。出题人的目的显然是让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法、基本技能，重视两纲的导向作用。再如2010年四川理数19有关三角函数的试题第（I）问：
①证明两角和的余弦公式 ；
② 由 推导两角和的正弦公式 。 如果学生理解课本中的两角差的余弦公式的推导过程的思想，则此题就不难处理了，否则处理起来就比较困难。
下面谈谈我的几点感想：
（1）以教材组织教学，使教学回归本质。现在教育正从精英教育向大众教育转变，教育形式的改变必须要求教师改变其教学方式。不可否认，由于现在许多教师没能跟上这一变化，依旧采用原有的教学模式，许多地方的数学教育不能令人满意，甚至出现倒退的现象，特别是一些农村地方的教育。主要原因是教师的教学方式没有较快地组织好教材进行教学，而是仍旧通过大量训练的教学方法组织教学活动，结果是课本学完了，许多学生就连最基本的定义、公理、定理、公式等内容都没掌握好，那又如何通过这些基本内容解决问题呢？因此，教师让学生一定理解、掌握教材中的定义、公理、定理、公式等，另外要让学生学好例题。书中的例题很重要， 书中的例题一定要搞得很透彻、明白。书上的例题都是很典型的，都是有启示作用的，学生掌握好教材中的知识是数学教学成功的重要前提。
（2）以教材为中介，让学生经历知识的形成过程。教学的根本目的是教师如何利用已有的知识处理新的问题能力，这种能力的体现关键在于学生在学习中如何形成数学思想，而经历数学知识的生成过程是学生形成数学思想的基础。教师要以教材为“中介”，通过设置恰当的问题情境，引导学生参与到对问题的讨论中。通过学生的合作、交流等，引导学生归纳出隐含在问题中的一般结论。因此，教学中，教师要重视知识和方法的形成,强调过程性知识,重视知识系统、思想方法策略的讲授，要避免以解题训练代替知识的形成过程。李建华在《北京四中数学教育传统的形成与发展》中提出，有些老师来四中听课,感觉课堂效率不是很高时指出:知识和方法很重要,但知识和方法形成的过程更重要,而过程性的东西一展开,就不一定能够按照常规的意义来理解,所以经常会出现一些新状况。
（3）注重学生的个性发展，培养学生继续学习的习惯。叶澜教授指出：“课堂是向未知方向挺进的旅程，随时都有可能发生意外的通道和美丽的因素，而不是一切都必须遵循固定线路而没有激情的行程”。由于有些教师受到教材的束缚，他们在教学过程中，当学生回答的解题思路与教材中的不一样时，不加任何评论的让别的学生继续回答，直到回答的结果与教材一致时才结束或干脆自己说出解题思路。一般说来，教材的解题思路是清晰的、解题过程是严密的，但并不是说我们就没有疑问，在解法上就不能提出自己的见解。否则，我们培养的学生就只会模仿而没有创新，这是对学生富有个性色彩的经验没有给予足够的重视。教师的教学过程是用教材教而不是教教材，教师应以教材为媒介培养学生自主、合作、质疑的学习精神。
【参考文献】
[1]章建跃.数学课改的十个问题[J].数学教学参考，2010.3
[2]李道华.北京四中数学教育传统的形成与发展[J],数学通报,2008.3
[3]徐利治.谈谈我青少年时代学习数学的一些经历和感想[J].数学通报，2007.12
（作者单位：江苏省丰县民族中学）