巧用辅助角公式解物理题

• 作 者: 戴 静 高 凯
• 出 处: 理科爱好者·教育教学版
• 发表日期: 2010年3期
• 关键词: 数学 辅助角公式 物理

　　摘 要:应用数学知识处理物理问题的能力,是高考重点考查的五种基本能力之一。巧妙的将数学知识与物理结合起来解决极值问题,会大大简化解题过程。本文通过3个例子,说明如何利用数学中的辅助角公式解决物理中极值问题,具有一定价值。
　　关键词:数学 辅助角公式 物理
　　【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 C 【文章编号】1671-8437(2010)03-00110-01
　　
　　应用数学知识处理物理问题的能力,是高考重点考查的五种基本能力之一。在平时学习时,一些极值问题,单纯运用物理知识解起来相当繁琐,且易出错,若能巧妙的将数学知识与物理知识结合起来解,则会大大简化解题的过程,提高解题效率。下面通过实例说明如何利用数学中的辅助角公式解决物理中极值问题。
　　 辅助角公式:asinα+bcosα=sin(α+φ),其中,tanφ=。
　　 例1. 如图1所示,某人用绳拉着重为G的物体,在水平地面上匀速前进,若物体与地面间的摩擦系数为μ。试问:当绳子与水平方向角α为多大时,拉力F最小?
　　 解:根据物体平衡的条件得:
　　 Fcosα=μ(G-Fsinα),
　　 即F=,tanφ=,
　　 所以当sin(α+φ)=1即α+φ=900时,F最小。 图1
　　 故当绳子与水平方向角α=900-φ=900-arctan时,拉力F最小。
　　 点评:当式子中出现多个变量时,应将变量进行统一处理,这有利我们对极值的分析。辅助角公式先将正弦函数,余弦函数合二为一,进而再利用三角函数的有界性(|sin(α+φ)|≤1)分析问题。
　　 例2. 有一斜面,其倾角可以变化,但斜面的底边为一定值,现将一木块置于斜面上,设木块与斜面间的摩擦系数为μ 。问:斜面与水平面的倾角θ为多大时,木块滑下的时间最短。
　　 解:如图2由题知:物体沿斜面受到的合力为F=mgsinθ-μmgcosθ,又因为F=ma,
　　 所以a=g(sinθ-μgcosθ)。
　　 AC==at2,
　　 故t2==图2
　　 ==
　　 其中tanφ=-φ,当sin(2θ+φ)=1即2θ+φ=900,θ=450-arctan(-μ)=450+arctanμ时,t2最小。
　　 点评:本题需对三角函数进行恒等变形后,才能运用辅助角公式,这就需要我们具有扎实的数学功底。解题过程中所用数学公式,正弦的倍角公式:sin2α=2sinαcosα余弦倍角公式:cos2α=2cos2α-1。
　　 例3. 一辆小车在MN轨道上行驶的速度为50km/h,在轨道外的平地上行使速度40km/h,与轨道的垂直距离为30km的B处有一基地,问小车从基地B出发到离D点100km的A处最短需要多少时间?
　　 解:如图3所示,设∠BFD=α,则
　　 t=+
　　 =+
　　 =+2 图3
　　 令m=,则20msinα=15-12cosα,即
　　sin(α+φ)=15,其中tanφ=
　　 当sin(α+φ)取最大值1时,取得最小值,此时=15,所以mmin=0.45,故tmin=0.45+2=2.45小时。
　　 点评:本题巧妙的构造了辅助角公式,使复杂的极值问题得以简化。
　　 从以上三例我们可以体会到:合理的运用数学知识,强化数学的工具意识,既能开阔学生视野,活跃思维,又能提高解决问题的能力。换一种角度思考问题,常能达到事半功倍的效果。