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1性质
图1如图1，3个正方形在⊙O直径的同侧，顶点B、C、G、F都在⊙O的直径上，正方形ABCD的顶点A在⊙O上，顶点D在MC上，正方形MCGN的顶点M在⊙O上，正方形EFGH的顶点E也在⊙O上，顶点H在NG上，若正方形ABCD、正方形MCGN、正方形EFGH的边长分别为a、b、c，则b=2a（a c）.
证法1如图1，连接OA、OM、OE，设OC=m，OG=n，则b=m n.设⊙O的半径为r，在Rt△AOB、Rt△MOC、Rt△EOF中，由勾股定理，得
a2 （a m）2=r2，（1）
m2 （m n）2=r2，（2）
c2 （c n）2=r2.（3）
比较（2）、（3）得m=c，所以c n=m n=b，所以由（3）得m2 （m n）2=c2 （c n）2，化简、整理，得m2-c2 mn-cn=0，即（m-c）（m c n）=0，因为m c n≠0，所以m=c.把m=c代入（1），得a2 （a c）2=r2；把m=c代入（2），得c2 b2=r2，所以a2 （a c）2=c2 b2，化简，得b2=2a2 2ac，即b2=2a（a c），因为b>0，所以b=2a（a c），证毕.
图2证法2如图2，延长MC交⊙O于点P，连接OP、OE、PG、EG、OA.因为四边形MCGN是正方形，所以MC=CG，∠MCG=90°，所以CG⊥MP，所以PC=MC，所以PC=GC.又∠PCG=90°，所以∠CPG=∠PGC=45°，所以∠PGF=135°.因为四边形EFGH是正方形，所以∠GFE=90°，∠EGF=45°，所以∠PGE=135° 45°=180°，所以P、G、E三点共线，因为OP=OE，所以∠OPE=∠OEP，所以45°-∠OPE=45°-∠OEP，即∠OPC=∠EOF.在△OPC与△EOF中，∠OPC=∠EOF，
∠PCO=∠OFE=90°，
OP=EO，所以△OPC≌△EOF（AAS），所以OF=PC=MC=b，OC=EF=c.在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2=（a c）2 a2，在Rt△EOF中，由勾股定理，得OE2=b2 c2，因为OA=OE，所以（a c）2 a2=b2 c2，所以b2=2a（a c），因为b>0，所以b=2a（a c），证毕.
2运用
2.1求正方形的面积
图3例1如图3，3个正方形在⊙O直径的同侧，顶点B、C、G、H都在⊙O的直径上，正方形ABCD的顶点A在⊙O上，顶点D在PC上，正方形EFGH的顶点E在⊙O上、顶点F在QG上，正方形PCGQ的顶点P也在⊙O上.若BC=32，GH=3，则正方形PCGQ的面积为.
解析如图3，设正方形PCGQ的边长为b，则由上性质，知b=2×32×（32 3）=362，所以正方形PCGQ的面积为（362）2=272.
2.2求正方形边长之比
图4例2如图4，3个正方形在半⊙O直径AB的同侧，顶点D、E、M、H都在AB上，正方形CDEF的顶点C在⊙O上，顶点F在PE上，正方形GHMN的顶点G在⊙O上、顶点N在QM上，正方形PEMQ的顶点P也在⊙O上.若CD GHPE=54，则CD∶PE=.
解析如图4，由上性质，知PE=2CD（CD GH），所以PE2=2CD（CD GH），所以CD GHPE=PE2CD.因为CD GHPE=54，所以PE2CD=54，所以PECD=52，所以CD∶PE=2∶5.
2.3求弦长
图5例3如图5，3个正方形在⊙O直径的同侧，顶点B、C、G、F都在⊙O的直径上，正方形ABCD的顶点A在⊙O上，顶点D在MC上，正方形MCGN的顶点M在⊙O上，正方形EFGH的顶点E也在⊙O上，顶点H在NG上，连接ME，若AB=1，MC=6，则弦ME的长为.解析如图5，连接OM、OE，则由正方形的性质，知∠OCM=∠EFO=90°.由上性质的证法2，知MC=OF，又OM=OE，所以Rt△OCM≌Rt△EFO（HL），所以∠MOC=∠OEF.
因为∠OEF ∠EOF=90°，所以∠MOC ∠EOF=90°，所以∠MOE=90°，所以ME=2OE.由上性质，知MC=2AB（AB EF），因为AB=1，MC=6，所以6=2×1×（1 EF），解得EF=2.在Rt△OEF中，OF=MC=6，EF=2，由勾股定理，得OE=（6）2 22=10，所以ME=2×10=25，从而弦ME的长为25.
作者简介马先龙（1966—），男，江蘇淮阴人，中学数学高级教师，江苏省淮安市骨干教师.一直从事中学数学教学和解题教学研究工作，在省级以上数学刊物上发表文章70余篇
图1如图1，3个正方形在⊙O直径的同侧，顶点B、C、G、F都在⊙O的直径上，正方形ABCD的顶点A在⊙O上，顶点D在MC上，正方形MCGN的顶点M在⊙O上，正方形EFGH的顶点E也在⊙O上，顶点H在NG上，若正方形ABCD、正方形MCGN、正方形EFGH的边长分别为a、b、c，则b=2a（a c）.
证法1如图1，连接OA、OM、OE，设OC=m，OG=n，则b=m n.设⊙O的半径为r，在Rt△AOB、Rt△MOC、Rt△EOF中，由勾股定理，得
a2 （a m）2=r2，（1）
m2 （m n）2=r2，（2）
c2 （c n）2=r2.（3）
比较（2）、（3）得m=c，所以c n=m n=b，所以由（3）得m2 （m n）2=c2 （c n）2，化简、整理，得m2-c2 mn-cn=0，即（m-c）（m c n）=0，因为m c n≠0，所以m=c.把m=c代入（1），得a2 （a c）2=r2；把m=c代入（2），得c2 b2=r2，所以a2 （a c）2=c2 b2，化简，得b2=2a2 2ac，即b2=2a（a c），因为b>0，所以b=2a（a c），证毕.
图2证法2如图2，延长MC交⊙O于点P，连接OP、OE、PG、EG、OA.因为四边形MCGN是正方形，所以MC=CG，∠MCG=90°，所以CG⊥MP，所以PC=MC，所以PC=GC.又∠PCG=90°，所以∠CPG=∠PGC=45°，所以∠PGF=135°.因为四边形EFGH是正方形，所以∠GFE=90°，∠EGF=45°，所以∠PGE=135° 45°=180°，所以P、G、E三点共线，因为OP=OE，所以∠OPE=∠OEP，所以45°-∠OPE=45°-∠OEP，即∠OPC=∠EOF.在△OPC与△EOF中，∠OPC=∠EOF，
∠PCO=∠OFE=90°，
OP=EO，所以△OPC≌△EOF（AAS），所以OF=PC=MC=b，OC=EF=c.在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2=（a c）2 a2，在Rt△EOF中，由勾股定理，得OE2=b2 c2，因为OA=OE，所以（a c）2 a2=b2 c2，所以b2=2a（a c），因为b>0，所以b=2a（a c），证毕.
2运用
2.1求正方形的面积
图3例1如图3，3个正方形在⊙O直径的同侧，顶点B、C、G、H都在⊙O的直径上，正方形ABCD的顶点A在⊙O上，顶点D在PC上，正方形EFGH的顶点E在⊙O上、顶点F在QG上，正方形PCGQ的顶点P也在⊙O上.若BC=32，GH=3，则正方形PCGQ的面积为.
解析如图3，设正方形PCGQ的边长为b，则由上性质，知b=2×32×（32 3）=362，所以正方形PCGQ的面积为（362）2=272.
2.2求正方形边长之比
图4例2如图4，3个正方形在半⊙O直径AB的同侧，顶点D、E、M、H都在AB上，正方形CDEF的顶点C在⊙O上，顶点F在PE上，正方形GHMN的顶点G在⊙O上、顶点N在QM上，正方形PEMQ的顶点P也在⊙O上.若CD GHPE=54，则CD∶PE=.
解析如图4，由上性质，知PE=2CD（CD GH），所以PE2=2CD（CD GH），所以CD GHPE=PE2CD.因为CD GHPE=54，所以PE2CD=54，所以PECD=52，所以CD∶PE=2∶5.
2.3求弦长
图5例3如图5，3个正方形在⊙O直径的同侧，顶点B、C、G、F都在⊙O的直径上，正方形ABCD的顶点A在⊙O上，顶点D在MC上，正方形MCGN的顶点M在⊙O上，正方形EFGH的顶点E也在⊙O上，顶点H在NG上，连接ME，若AB=1，MC=6，则弦ME的长为.解析如图5，连接OM、OE，则由正方形的性质，知∠OCM=∠EFO=90°.由上性质的证法2，知MC=OF，又OM=OE，所以Rt△OCM≌Rt△EFO（HL），所以∠MOC=∠OEF.
因为∠OEF ∠EOF=90°，所以∠MOC ∠EOF=90°，所以∠MOE=90°，所以ME=2OE.由上性质，知MC=2AB（AB EF），因为AB=1，MC=6，所以6=2×1×（1 EF），解得EF=2.在Rt△OEF中，OF=MC=6，EF=2，由勾股定理，得OE=（6）2 22=10，所以ME=2×10=25，从而弦ME的长为25.
作者简介马先龙（1966—），男，江蘇淮阴人，中学数学高级教师，江苏省淮安市骨干教师.一直从事中学数学教学和解题教学研究工作，在省级以上数学刊物上发表文章70余篇