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【摘 要】 三角形的中位线是初中几何非常重要的定理教学内容.文章以三角形中位线的几种常见引入为例，分析对比其各自的优劣，引发对教学问题的思考.通过再思考后的再设计，达到搭建知识框架，寻找结构路径，利于学生理解的目的.
【关键词】 课堂引入;三角形中位线;基于学生
三角形中位线是三角线中继垂线、角平分线、中线之后又一条重要的线段，在三角形体系和四边形体系中都有着至关重要的作用.苏科版中，本节课是在平行四边形体系之后学习，既是平行四边形性质判定深化应用的延续，又是全面研究几何元素位置关系和数量关系的开端.学生经历发现问题→提出问题→分析问题→解决问题的过程，体会了定理的一般探究过程，感悟到数学的严谨，发展了数学的思维.笔者认为本节课是定理探究课的经典代表，其应用在生活中得到体现，证明过程渗透着重要的思想方法，它的引入也成为了教学者精雕细琢、反复推敲的环节.本文仅以三角形中位线的常见引入为例，谈谈笔者的实践与感悟.
1 基于浅层经验下的几种引入
根据自己的教学经历，结合每一届重新教学时对知识的再认知过程，笔者在本節课的引入环节，先后大致设计过以下四种方式.
1.从生活情境出发——测量有障碍的两点间距离
引入 如图1，我区的花神湖两岸上的两棵树，被湖水隔开，想想办法如何测量它们之间的距离？
分析 将教材中的定理应用——解决实际问题，改编成引入问题情境，通过创设问题→提出猜想→定理证明→运用定理再解决引入中的问题.这样的做法，中位线定理的发现就变得很简单，课堂的引入也会很流畅.
教后反思 好比事先知道结果来铺设道路.看似学生是从生活情境发现问题，其实这条路是老师给学生铺设好的，不是真实的发现.若把情境中的三角形隐藏（图2），试问学生还会想到中位线吗？因此这种发现没有实质的意义.
2.从动手操作开始——三角形纸片剪拼成平行四边形
引入 怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使这两部分能拼成一个平行四边形？
分析 在本章平行四边形的体系下，这样的引入能进一步搭建三角形中位线和平行四边形的关系;此外本节课的难点之一在于中位线的证明，经历这种操作过程对后面定理证明有一定的联想和提醒作用.
教后反思 尝试之后出现问题：①剪一刀拼成一个平行四边形，普通班只有少部分学生想到沿着中点剪（图3），课堂显得很拖沓.②中位线的定理证明虽难，但证明思路却涵盖着很好数学思想方法.为了避开难点，采用向难点妥协的操作提醒，一定程度上也剥夺了学生发展思维的机会，作为定理的一般探究课有些显得不够自然.
3.淡化概念，注重定理——直接给出中位线的概念
引入 请同学们画△ABC，取AB、AC的中点D、E，连接DE.
问：分别测量DE和BC的长度，你发现了什么？提出你的猜想.
分析 既然引入无法突破发现的真实性，那就把重点落在定理的探究上，淡化概念，注重定理的猜想和证明.先后经历画图→猜想→验证→证明的流程，笔者从自己的课堂效果看还是挺好的.延续了平行四边形、矩形、菱形的学习套路，学生课堂的学习方向很具体清晰.
教后反思 直接按要求画图，缺失了发现的意味.虽然整体教学环节自然完整，但直接给出画图总感觉有些突兀.
4.注重类似概念之间的联系——设计三角形的中线到中位线的路径
引入 如何将三角形分成面积相等的两部分？（图4）
追问1：强化→若要求分成面积相等的四部分，该如何操作？（图5、图6、图7）
追问2：继续强化→若要求这四部分的三角形必须全等，又该如何操作？（图8）
分析 一方面深化三角形中线等分面积的性质;另一方面中线和中位线都是三角形内部重要的线段，由于名称相近，初学者容易混淆两者.这样的从中线到中位线的引入，能起到一定的辨析作用.
教后反思 着眼于三角形知识的内部结构.通过“中点”的搭配，围绕面积相等，逐步发现更加特殊的中位线.但教后总觉得这种发现给学生的第一印象是全等，从而会淡化中位线和底边的关系.
2 基于引入意蕴不足下的再追问
笔者新一轮教学中又一次开设了中位线的公开课，通过对知识的重新认识和对教材的仔细研读，追问自己以下三个问题：
1.为什么？
既然是三角形中重要的线段，为什么在三角形体系中没有再接再厉去研究它，而选择放在了四边形体系结尾去研究？
2.要什么？
本节课到底要什么？教学意图何在？是传授知识让学生仅仅会运用一个定理，还是发展数学思维让学生系统地全面地经历一个定理的发现和探究过程？是“解决问题”还是“问题解决”？
3.是什么？
本节课的定位是什么？概念课还是定理课？是因为中位线的概念才去研究它的特殊性，还是因为这条线段有着和第三边的特殊关系才去命名和研究？
3 基于问题追问下的再思考
只有明确且清晰的目标意图，才能有针对性的教学设计.对于以上三个追问笔者是这么理解的.
1.三角形体系中两点构成的线段大致可以分为三类.①由顶点和顶点连接而成的线，如三角形的三边.②由顶点和边上的点连接而成的线，如三角形的中线、角平分线、垂线.③由边上的点和边上的点连接而成的线，如中位线、垂足的连线段、角平分线交点的连线段、垂足和中点的连线段等等[1].
前两类的思维方法背景较单一，而第三类边上特殊点之间的连线种类很多，更多地侧重所构成的整体图形里面综合特性（如两垂足连线的三角形相似问题），也更加依赖一些基本图形性质的完善.所以不难理解第三类线段的探究不能急于求成，而是待基本图形完善后综合研究. 2.本节课的价值绝非是收获一个定理这么简单，通过对三角形中相关线段的筛选发现特殊线段，到提出猜想、验证猜想，再到证明，最后应用.让学生完整地经历探究知识的过程，体验发现之乐，感悟数学高度的严谨性和严密的逻辑性，真正的理解数学的“魅力”.
3.“连接三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半”，因此这条特殊的线段有必要给它起个名称（中位线）.笔者认为应先定理后概念，注重在同类线段中发现此条线段的特殊性从而研究，而不是因为它叫中位线就要研究.
4 基于分析思考下的再设计
笔者上述的那些引入设计都是在课的开端规定一个具体方向，让学生在这个方向上轻易找到需要的那条路，然后美其名曰学生自己发现的路，其实学生仍然处于“被发现”的角色.有价值的发现应是在框架体系内，按照某个路径像一张网一样铺开找到同类目标，再通过对比、甄别、排序最终确定本节课的研究对象.所以笔者这次课引入环节的课堂实录如下：
师：回顾三角形的知识，你能说出三角形中哪些重要的线段？试着画出来.（提出问题）
生：三角形的三条边，三角形的高、中线和角平分线.（画图说明）
师：这些线段有顶点与顶点的连线，也有顶点与边上的点的连线，请将其分类.（理出路径）
生：三边属于顶点与顶点的连线，三线属于顶点与边上点的连线.（简单分类）
师：顶点与顶点、顶点与边上的点都是产生三角形重要线段的路径，还有其他的路径吗？在这条路径下，你能找到哪些重要线段，画画看.（规划路径，寻找目标）
生：边上的点与边上的点的连线.（确定路径，画图操作）
（此处给了学生5分钟时间画图，构造的线段大致有以上几种（图9）.其实这几种都是初中常見的经典图形，二图构成直角三角形斜边中线，三图是经典相似问题，四图是角平分线夹角问题.）
师：观察这些线段，对比、交流后选择你要研究的对象？说出理由（对比甄别，筛选对象）
生：研究连接两边中点的线段，这条线段好像都和第三边平行.（根据直观，确定对象）
引入结束…
后续 画出图形提出猜想→一般测量验证猜想→已知求证规范证明→结合实际运用定理.5 基于重新设计下的再反思
有意蕴的引入不仅是要引出本节课要研究的知识内容，还要让学生体会一种搭建知识框架的方式和寻找结构路径的方法[2].教学者应注重把握知识生长的根系，指导学生架构这种研究知识的路径，触发出更多的枝干，让学生在这样的体系下不但明白学什么？而且理解为什么是这么学？也许这样的引入设计会延误一些时间，也许这时学生走向发现的困难会更大一些，也许引出的对象有些并不是本节课的内容，但在这样的背景下，哪怕有一点发现，也是货真价实的发现，这种借助数学内部力量的发现才能伴学生走得更远，才能使学生站得更高，也才能让学生学得更通透，从而真正领悟数学思维的奥秘.
参考文献
[1]尤善培.领悟知识意蕴设计教学路径[J].中学数学教学参考（中），2015（12）.
[2]卜以楼.生长构架：复习课的理念创新[J].中学数学月刊，2016（10）
【关键词】 课堂引入;三角形中位线;基于学生
三角形中位线是三角线中继垂线、角平分线、中线之后又一条重要的线段，在三角形体系和四边形体系中都有着至关重要的作用.苏科版中，本节课是在平行四边形体系之后学习，既是平行四边形性质判定深化应用的延续，又是全面研究几何元素位置关系和数量关系的开端.学生经历发现问题→提出问题→分析问题→解决问题的过程，体会了定理的一般探究过程，感悟到数学的严谨，发展了数学的思维.笔者认为本节课是定理探究课的经典代表，其应用在生活中得到体现，证明过程渗透着重要的思想方法，它的引入也成为了教学者精雕细琢、反复推敲的环节.本文仅以三角形中位线的常见引入为例，谈谈笔者的实践与感悟.
1 基于浅层经验下的几种引入
根据自己的教学经历，结合每一届重新教学时对知识的再认知过程，笔者在本節课的引入环节，先后大致设计过以下四种方式.
1.从生活情境出发——测量有障碍的两点间距离
引入 如图1，我区的花神湖两岸上的两棵树，被湖水隔开，想想办法如何测量它们之间的距离？
分析 将教材中的定理应用——解决实际问题，改编成引入问题情境，通过创设问题→提出猜想→定理证明→运用定理再解决引入中的问题.这样的做法，中位线定理的发现就变得很简单，课堂的引入也会很流畅.
教后反思 好比事先知道结果来铺设道路.看似学生是从生活情境发现问题，其实这条路是老师给学生铺设好的，不是真实的发现.若把情境中的三角形隐藏（图2），试问学生还会想到中位线吗？因此这种发现没有实质的意义.
2.从动手操作开始——三角形纸片剪拼成平行四边形
引入 怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使这两部分能拼成一个平行四边形？
分析 在本章平行四边形的体系下，这样的引入能进一步搭建三角形中位线和平行四边形的关系;此外本节课的难点之一在于中位线的证明，经历这种操作过程对后面定理证明有一定的联想和提醒作用.
教后反思 尝试之后出现问题：①剪一刀拼成一个平行四边形，普通班只有少部分学生想到沿着中点剪（图3），课堂显得很拖沓.②中位线的定理证明虽难，但证明思路却涵盖着很好数学思想方法.为了避开难点，采用向难点妥协的操作提醒，一定程度上也剥夺了学生发展思维的机会，作为定理的一般探究课有些显得不够自然.
3.淡化概念，注重定理——直接给出中位线的概念
引入 请同学们画△ABC，取AB、AC的中点D、E，连接DE.
问：分别测量DE和BC的长度，你发现了什么？提出你的猜想.
分析 既然引入无法突破发现的真实性，那就把重点落在定理的探究上，淡化概念，注重定理的猜想和证明.先后经历画图→猜想→验证→证明的流程，笔者从自己的课堂效果看还是挺好的.延续了平行四边形、矩形、菱形的学习套路，学生课堂的学习方向很具体清晰.
教后反思 直接按要求画图，缺失了发现的意味.虽然整体教学环节自然完整，但直接给出画图总感觉有些突兀.
4.注重类似概念之间的联系——设计三角形的中线到中位线的路径
引入 如何将三角形分成面积相等的两部分？（图4）
追问1：强化→若要求分成面积相等的四部分，该如何操作？（图5、图6、图7）
追问2：继续强化→若要求这四部分的三角形必须全等，又该如何操作？（图8）
分析 一方面深化三角形中线等分面积的性质;另一方面中线和中位线都是三角形内部重要的线段，由于名称相近，初学者容易混淆两者.这样的从中线到中位线的引入，能起到一定的辨析作用.
教后反思 着眼于三角形知识的内部结构.通过“中点”的搭配，围绕面积相等，逐步发现更加特殊的中位线.但教后总觉得这种发现给学生的第一印象是全等，从而会淡化中位线和底边的关系.
2 基于引入意蕴不足下的再追问
笔者新一轮教学中又一次开设了中位线的公开课，通过对知识的重新认识和对教材的仔细研读，追问自己以下三个问题：
1.为什么？
既然是三角形中重要的线段，为什么在三角形体系中没有再接再厉去研究它，而选择放在了四边形体系结尾去研究？
2.要什么？
本节课到底要什么？教学意图何在？是传授知识让学生仅仅会运用一个定理，还是发展数学思维让学生系统地全面地经历一个定理的发现和探究过程？是“解决问题”还是“问题解决”？
3.是什么？
本节课的定位是什么？概念课还是定理课？是因为中位线的概念才去研究它的特殊性，还是因为这条线段有着和第三边的特殊关系才去命名和研究？
3 基于问题追问下的再思考
只有明确且清晰的目标意图，才能有针对性的教学设计.对于以上三个追问笔者是这么理解的.
1.三角形体系中两点构成的线段大致可以分为三类.①由顶点和顶点连接而成的线，如三角形的三边.②由顶点和边上的点连接而成的线，如三角形的中线、角平分线、垂线.③由边上的点和边上的点连接而成的线，如中位线、垂足的连线段、角平分线交点的连线段、垂足和中点的连线段等等[1].
前两类的思维方法背景较单一，而第三类边上特殊点之间的连线种类很多，更多地侧重所构成的整体图形里面综合特性（如两垂足连线的三角形相似问题），也更加依赖一些基本图形性质的完善.所以不难理解第三类线段的探究不能急于求成，而是待基本图形完善后综合研究. 2.本节课的价值绝非是收获一个定理这么简单，通过对三角形中相关线段的筛选发现特殊线段，到提出猜想、验证猜想，再到证明，最后应用.让学生完整地经历探究知识的过程，体验发现之乐，感悟数学高度的严谨性和严密的逻辑性，真正的理解数学的“魅力”.
3.“连接三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半”，因此这条特殊的线段有必要给它起个名称（中位线）.笔者认为应先定理后概念，注重在同类线段中发现此条线段的特殊性从而研究，而不是因为它叫中位线就要研究.
4 基于分析思考下的再设计
笔者上述的那些引入设计都是在课的开端规定一个具体方向，让学生在这个方向上轻易找到需要的那条路，然后美其名曰学生自己发现的路，其实学生仍然处于“被发现”的角色.有价值的发现应是在框架体系内，按照某个路径像一张网一样铺开找到同类目标，再通过对比、甄别、排序最终确定本节课的研究对象.所以笔者这次课引入环节的课堂实录如下：
师：回顾三角形的知识，你能说出三角形中哪些重要的线段？试着画出来.（提出问题）
生：三角形的三条边，三角形的高、中线和角平分线.（画图说明）
师：这些线段有顶点与顶点的连线，也有顶点与边上的点的连线，请将其分类.（理出路径）
生：三边属于顶点与顶点的连线，三线属于顶点与边上点的连线.（简单分类）
师：顶点与顶点、顶点与边上的点都是产生三角形重要线段的路径，还有其他的路径吗？在这条路径下，你能找到哪些重要线段，画画看.（规划路径，寻找目标）
生：边上的点与边上的点的连线.（确定路径，画图操作）
（此处给了学生5分钟时间画图，构造的线段大致有以上几种（图9）.其实这几种都是初中常見的经典图形，二图构成直角三角形斜边中线，三图是经典相似问题，四图是角平分线夹角问题.）
师：观察这些线段，对比、交流后选择你要研究的对象？说出理由（对比甄别，筛选对象）
生：研究连接两边中点的线段，这条线段好像都和第三边平行.（根据直观，确定对象）
引入结束…
后续 画出图形提出猜想→一般测量验证猜想→已知求证规范证明→结合实际运用定理.5 基于重新设计下的再反思
有意蕴的引入不仅是要引出本节课要研究的知识内容，还要让学生体会一种搭建知识框架的方式和寻找结构路径的方法[2].教学者应注重把握知识生长的根系，指导学生架构这种研究知识的路径，触发出更多的枝干，让学生在这样的体系下不但明白学什么？而且理解为什么是这么学？也许这样的引入设计会延误一些时间，也许这时学生走向发现的困难会更大一些，也许引出的对象有些并不是本节课的内容，但在这样的背景下，哪怕有一点发现，也是货真价实的发现，这种借助数学内部力量的发现才能伴学生走得更远，才能使学生站得更高，也才能让学生学得更通透，从而真正领悟数学思维的奥秘.
参考文献
[1]尤善培.领悟知识意蕴设计教学路径[J].中学数学教学参考（中），2015（12）.
[2]卜以楼.生长构架：复习课的理念创新[J].中学数学月刊，2016（10）