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为了清晰地说明纯度函数失效的原因，首先拓展了纯度函数的定义，得到一种能方便运用数学方法表示的新纯度函数形式，并在其基础上，分析了有些纯度函数在有些情况下会失效，而另外的一些却不会．说明了这种“预测性能”实际上与纯度函数某种特殊的“凹凸性”有关，这种凹凸性只在特定的方向才呈现出来．通过若干定理，阐明了如何通过赫斯矩阵寻找这些特定的方向，而纯度函数的“预测性能”本质上就是该方向性严格凸性质．最后通过若干实验数据，验证了结论．