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一元二次方程是初中数学的基础知识，既是重点又是难点，更是中考的热点.同学们在解题时稍有疏忽就会出现错误，下面精选与一元二次方程有关的错例加以剖析，帮助同学们找出产生错误的原因和纠正错误的方法.
易错点1：对方程的概念理解得不透彻而出错
例1 关于x的一元二次方程（m－1）x2+x+m2－1= 0有一个根为0，则m的值为（ ）.
错解：选C．
错因分析：错在没有考虑一元二次方程的二次项的系数不为0.一个方程是一元二次方程需具备三个条件，①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③二次项的系数不为0．因为关于x的一元二次方程（m－1）x2+x+m2－1= 0有一个根为0，所以，m2－1 =0，解得m=1或m= －1．又因为m－1≠0，即m≠1，故m的值为－1．
正解：选B．
同学们在求解有关一元二次方程的问题时，总是容易出现一些常见的错误.如：
1．在用求根公式解一元二次方程时，忙于求解，而忽视化方程为一般形式.如，解方程x2+5x＝2，应先将其化为一般形式x2+5x－2＝0，确定各自的系数，再代入公式求解.
2．在利用求根公式确定a、b、c的值时，忽视负号.如，方程2x2－5x－3＝0中的系数分别是a＝2，b＝－5，c＝－3，而不是a＝2，b＝5，c＝3.
3．忽视等根的书写形式.如，解方程x2+6x＝－9，得到的根应该是x1＝x2＝－3，而不能写成x＝－3.
易错点2：对方程的同解变形理解得不清楚而出错
例2 解方程 2（x－1）－（1－x2）=0.
错解：2（x－1）－（1－x2）=2x－2－1+x2=0=（x－1）（x+3）=0，得x= 1或 x=－3.
错因分析：因为方程本身就是等式，对方程进行同解变形时方程的解虽然不变，但新的方程的两边与原方程两边的值都不同了，所以同学们要注意，解方程的过程中不能用连等号．
正解：去括号，得2x－2－1+x2=0．
所以（x－1）（x+3）=0，得x=1或 x=－3.
例3 解方程2（x+2）2＝3x（x+2）.
错解：原方程化为2（x+2）＝3x，所以x＝4.
错因分析：导致出现这种错误的原因是在方程的两边同除以（x+2），随便约去含有未知数的代数式，而丢失了一个根.
正解：移项，得2（x+2）2-3x（x+2）=0．
提公因式，得（x+2）（-x+4)=0，
解得x1＝－2，x2＝4.
易错点3：未考虑未知数及其系数的取值范围而出错
例4 关于x的方程mx2－2x+3=0有实根，求m的取值范围.
即m2+8m－20=0.
解得m1=2，m2=－10.
正解：可这样考虑：Δ=m2+40>0，即m为任意实数.
因为x1+x2=8－m>6 ，
所以m<2.
（x1－3）（x2－3）=x1x2－3（x1+x2）+9=6－4m－
3（8－m）+9=－m－9>0，即m<－9.
∴ m的取值范围为m<－9.
点评：以上现象说明，我们在求解有关二次方程的问题时，往往急于寻求结论而忽视了实数根的存在与“Δ”之间的关系.
1.运用根的判别式时，若二次项系数含有字母，要注意系数不为零的情况.
2.运用根与系数的关系时，Δ≥0是前提条件.
3.条件多时，要考虑周全.
易错点5：不能正确地找出等量关系式造成错解
例7 恩施生态农业村去年种植了10亩地的冬瓜，亩产量为1000kg.根据市场需求今年扩大了种植面积，并且全部种植了高产新品种冬瓜，种植面积的增长率是亩产量的增长率的2倍，今年冬瓜的总产量为30000kg，求冬瓜亩产量的增长率．
错解：设冬瓜亩产量的增长率为x，则种植面积的增长率是2x．
根据题意，得10·2x·1000·x=30000．
解得x1≈1.22 ，x2≈－1.22（不合题意，舍去），即冬瓜亩产量的增长率为1.22%．
错因分析：错在不能正确地找出等量关系式.在本题中冬瓜亩产量和种植面积是两个变化的量，分析题目条件，可找出等量关系：今年冬瓜的亩产量×今年种植的面积=今年冬瓜的总产量，因此，可以列方程解决问题．
正解：设冬瓜亩产量的增长率为x，则种植面积的增长率是2x．
根据题意，得10·（1+2x）·1000（1+x）= 30000，解得x1= 0.5，x2= －2（不合题意，舍去）．
所以冬瓜亩产量的增长率为50%．
易错点1：对方程的概念理解得不透彻而出错
例1 关于x的一元二次方程（m－1）x2+x+m2－1= 0有一个根为0，则m的值为（ ）.
错解：选C．
错因分析：错在没有考虑一元二次方程的二次项的系数不为0.一个方程是一元二次方程需具备三个条件，①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③二次项的系数不为0．因为关于x的一元二次方程（m－1）x2+x+m2－1= 0有一个根为0，所以，m2－1 =0，解得m=1或m= －1．又因为m－1≠0，即m≠1，故m的值为－1．
正解：选B．
同学们在求解有关一元二次方程的问题时，总是容易出现一些常见的错误.如：
1．在用求根公式解一元二次方程时，忙于求解，而忽视化方程为一般形式.如，解方程x2+5x＝2，应先将其化为一般形式x2+5x－2＝0，确定各自的系数，再代入公式求解.
2．在利用求根公式确定a、b、c的值时，忽视负号.如，方程2x2－5x－3＝0中的系数分别是a＝2，b＝－5，c＝－3，而不是a＝2，b＝5，c＝3.
3．忽视等根的书写形式.如，解方程x2+6x＝－9，得到的根应该是x1＝x2＝－3，而不能写成x＝－3.
易错点2：对方程的同解变形理解得不清楚而出错
例2 解方程 2（x－1）－（1－x2）=0.
错解：2（x－1）－（1－x2）=2x－2－1+x2=0=（x－1）（x+3）=0，得x= 1或 x=－3.
错因分析：因为方程本身就是等式，对方程进行同解变形时方程的解虽然不变，但新的方程的两边与原方程两边的值都不同了，所以同学们要注意，解方程的过程中不能用连等号．
正解：去括号，得2x－2－1+x2=0．
所以（x－1）（x+3）=0，得x=1或 x=－3.
例3 解方程2（x+2）2＝3x（x+2）.
错解：原方程化为2（x+2）＝3x，所以x＝4.
错因分析：导致出现这种错误的原因是在方程的两边同除以（x+2），随便约去含有未知数的代数式，而丢失了一个根.
正解：移项，得2（x+2）2-3x（x+2）=0．
提公因式，得（x+2）（-x+4)=0，
解得x1＝－2，x2＝4.
易错点3：未考虑未知数及其系数的取值范围而出错
例4 关于x的方程mx2－2x+3=0有实根，求m的取值范围.
即m2+8m－20=0.
解得m1=2，m2=－10.
正解：可这样考虑：Δ=m2+40>0，即m为任意实数.
因为x1+x2=8－m>6 ，
所以m<2.
（x1－3）（x2－3）=x1x2－3（x1+x2）+9=6－4m－
3（8－m）+9=－m－9>0，即m<－9.
∴ m的取值范围为m<－9.
点评：以上现象说明，我们在求解有关二次方程的问题时，往往急于寻求结论而忽视了实数根的存在与“Δ”之间的关系.
1.运用根的判别式时，若二次项系数含有字母，要注意系数不为零的情况.
2.运用根与系数的关系时，Δ≥0是前提条件.
3.条件多时，要考虑周全.
易错点5：不能正确地找出等量关系式造成错解
例7 恩施生态农业村去年种植了10亩地的冬瓜，亩产量为1000kg.根据市场需求今年扩大了种植面积，并且全部种植了高产新品种冬瓜，种植面积的增长率是亩产量的增长率的2倍，今年冬瓜的总产量为30000kg，求冬瓜亩产量的增长率．
错解：设冬瓜亩产量的增长率为x，则种植面积的增长率是2x．
根据题意，得10·2x·1000·x=30000．
解得x1≈1.22 ，x2≈－1.22（不合题意，舍去），即冬瓜亩产量的增长率为1.22%．
错因分析：错在不能正确地找出等量关系式.在本题中冬瓜亩产量和种植面积是两个变化的量，分析题目条件，可找出等量关系：今年冬瓜的亩产量×今年种植的面积=今年冬瓜的总产量，因此，可以列方程解决问题．
正解：设冬瓜亩产量的增长率为x，则种植面积的增长率是2x．
根据题意，得10·（1+2x）·1000（1+x）= 30000，解得x1= 0.5，x2= －2（不合题意，舍去）．
所以冬瓜亩产量的增长率为50%．