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“这有什么难的？”“怎么你就是记不住？”家长在给孩子辅导数学作业时，可能都冒出过这两句话。对于成年人来说，小学数学的题目如此简单，为什么孩子就是不明白？不少人为此急火攻心生病住院，还上了新闻。
在理论上，这是一种知识的诅咒。意思是，掌握了某种技能或知识的人，无法体会未知者的痛苦。
早在1990年，斯坦福的研究生Elizabeth Newton就通过实验验证了这一点。Newton把实验者分为两组，让第1组的人用手敲击出一个人们非常熟悉的旋律节拍，比如《祝你生日快乐》，让第二组人猜这个旋律是什么，之后，再让第1组预估第2组的猜中率。敲节拍的人认为正确率应该在80%左右——这么熟悉的旋律，这么简单的节拍，有什么难的？但第二组人猜对的真实比例仅为20%。
对于成年人而言，1 1=2无须解释，但对于孩子却是个复杂的认知过程。比如，孩子们理解数字“1”，是从生活中的“量”开始的。我们先拿一个苹果放在小朋友面前，告诉他：这是1;之后，这个苹果被一个画着苹果的卡片取代;接着，苹果和苹果的替代品突然都不见了，只有一个和苹果没有任何关系的数字1。只有通过这些演变，一个真实的苹果才能成为孩子头脑中的抽象数学概念1。
这个认知关联成年人可以一步到位，但对小朋友来说，每一步都需要完成巨大的思维飞跃，从具体上升到抽象。
在我的教学经验中，还遇到过这样一件案例。Amber是美国公立学校一年级的小姑娘，她遇到一道竖式题：16 9=？Amber很努力地计算，最后写上了答案：15。我问她：你确定吗？ 她确信地点点头。 然后，我用几个塑料数字排成一横排：16 9=？ Amber掰起了手指头，片刻之后回答：25。我问她，这两个答案都对吗？Amber认真思考后说：两个答案都对。我又问，是在所有情况下都对吗？她想了想说：都对。
这个案例涉及到两种数学知识：程序知识和概念知识。Amber做竖式时，想到的是竖式规则：个位如何相加，加完之后如何进位。这种对于数学（运算）规则的理解，我们称为程序知识。显然，Amber在运用这些规则时发生了错误，但她没意识到，因为她的注意力都在那些稀奇古怪的规则上。而当她看到用塑料数字排出的算式，联想到的是其中“量”的变化，于是开始用手指帮忙计算，一点一点加上去，得到了另一个答案。这种量的变化的知识，称为“概念知识”。
概念知识是数学的基础。缺乏概念知识，就算把公式和规则背得再熟，也會忘记或失误;但如果充分掌握概念，知道这些运算规则是怎么推导出来的，就算一时忘了公式，也可以自己重新推导出来。而Amber的问题在于，她的程序知识和概念知识脱节了。竖式，看起来多权威，在她心中，这才是正牌的数学;可在现实生活中，她的经验告诉她16个苹果再增加9个，明明就是25！于是，她得出了两个自认“都对”的答案。
回顾人类的认知历史，考古中发现的人类计数的最早证据大约来自5万年前，但仅仅在500年前，我们使用的这套10进制阿拉伯数字体系才成熟完善。换句话说，从一个实实在在的红苹果，到一个长得像豆芽菜的阿拉伯数字1，整个人类用去了49500年，如今我们却要求小朋友在短时间内产生如此巨大的认知飞跃，这是不公平的。这其中产生的许多问题，不是“不认真”“记不住”，而是真的不简单 ，有许多关键性的概念知识，需要我们帮助孩子去弄明白。而一味用“这有什么难的”“为什么就是不会”来指责孩子，只会让他们产生对数学知识的抗拒，反而更不利于知识的转化和理解。
学习数学，和数学建立某种关系，是孩子成长过程的一部分。虽然并不是每个孩子长大后都能成为数学家，但至少，每个孩子都应有机会用数学思维去认识我们身处的这个奇妙的自然和人文世界。
在理论上，这是一种知识的诅咒。意思是，掌握了某种技能或知识的人，无法体会未知者的痛苦。
早在1990年，斯坦福的研究生Elizabeth Newton就通过实验验证了这一点。Newton把实验者分为两组，让第1组的人用手敲击出一个人们非常熟悉的旋律节拍，比如《祝你生日快乐》，让第二组人猜这个旋律是什么，之后，再让第1组预估第2组的猜中率。敲节拍的人认为正确率应该在80%左右——这么熟悉的旋律，这么简单的节拍，有什么难的？但第二组人猜对的真实比例仅为20%。
对于成年人而言，1 1=2无须解释，但对于孩子却是个复杂的认知过程。比如，孩子们理解数字“1”，是从生活中的“量”开始的。我们先拿一个苹果放在小朋友面前，告诉他：这是1;之后，这个苹果被一个画着苹果的卡片取代;接着，苹果和苹果的替代品突然都不见了，只有一个和苹果没有任何关系的数字1。只有通过这些演变，一个真实的苹果才能成为孩子头脑中的抽象数学概念1。
这个认知关联成年人可以一步到位，但对小朋友来说，每一步都需要完成巨大的思维飞跃，从具体上升到抽象。
在我的教学经验中，还遇到过这样一件案例。Amber是美国公立学校一年级的小姑娘，她遇到一道竖式题：16 9=？Amber很努力地计算，最后写上了答案：15。我问她：你确定吗？ 她确信地点点头。 然后，我用几个塑料数字排成一横排：16 9=？ Amber掰起了手指头，片刻之后回答：25。我问她，这两个答案都对吗？Amber认真思考后说：两个答案都对。我又问，是在所有情况下都对吗？她想了想说：都对。
这个案例涉及到两种数学知识：程序知识和概念知识。Amber做竖式时，想到的是竖式规则：个位如何相加，加完之后如何进位。这种对于数学（运算）规则的理解，我们称为程序知识。显然，Amber在运用这些规则时发生了错误，但她没意识到，因为她的注意力都在那些稀奇古怪的规则上。而当她看到用塑料数字排出的算式，联想到的是其中“量”的变化，于是开始用手指帮忙计算，一点一点加上去，得到了另一个答案。这种量的变化的知识，称为“概念知识”。
概念知识是数学的基础。缺乏概念知识，就算把公式和规则背得再熟，也會忘记或失误;但如果充分掌握概念，知道这些运算规则是怎么推导出来的，就算一时忘了公式，也可以自己重新推导出来。而Amber的问题在于，她的程序知识和概念知识脱节了。竖式，看起来多权威，在她心中，这才是正牌的数学;可在现实生活中，她的经验告诉她16个苹果再增加9个，明明就是25！于是，她得出了两个自认“都对”的答案。
回顾人类的认知历史，考古中发现的人类计数的最早证据大约来自5万年前，但仅仅在500年前，我们使用的这套10进制阿拉伯数字体系才成熟完善。换句话说，从一个实实在在的红苹果，到一个长得像豆芽菜的阿拉伯数字1，整个人类用去了49500年，如今我们却要求小朋友在短时间内产生如此巨大的认知飞跃，这是不公平的。这其中产生的许多问题，不是“不认真”“记不住”，而是真的不简单 ，有许多关键性的概念知识，需要我们帮助孩子去弄明白。而一味用“这有什么难的”“为什么就是不会”来指责孩子，只会让他们产生对数学知识的抗拒，反而更不利于知识的转化和理解。
学习数学，和数学建立某种关系，是孩子成长过程的一部分。虽然并不是每个孩子长大后都能成为数学家，但至少，每个孩子都应有机会用数学思维去认识我们身处的这个奇妙的自然和人文世界。