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反比例函数的面积问题，大家都比较熟悉，也是中考的热点之一.其实在近几年的中考试题中，双曲线与直线相交所得的线段问题也是频频出现，体现了今后几年中考命题的趋势.这类考题题型多样、富于变化、精彩纷呈，有些题目甚至还有一定的难度.由于充分研究了线段问题，才能更好地研究面积，所以线段问题值得我们研究.
一、 双曲线中的相等线段
【探究】 如图1，以k>0，k>0为例，双曲线y=与直线y=kx相交于点M、N，根据正比例函数图象与反比例函数图象都关于原点对称，我们不难发现OM=ON.如果将正比例函数y=kx改为一次函数y=kx+b（b≠0），情况又如何？如图2，以k<0，k<0，b>0为例，直线y=kx+b分别交x轴、y轴于E、F，与双曲线y=相交于点M、N，那么EN=FM吗？答案是肯定的，但是如何证明呢？过M作MP⊥x轴于P，过N作NQ⊥y轴于Q，连结PQ，下面介绍几个不同方法.
方法一： 设M（m，），N（n，）（m<0，n>0），代入y=kx+b，解方程组得k=-，b=，则点E横坐标-=m+n，由E（m+n，0），P（m，0），得EP=n，而NQ=n，故EP=NQ.显然EP∥NQ，从而四边形EPQN为平行四边形，则EN=PQ.同理MF=PQ，所以MF=EN.
证法引申： 这种方法求出了直线解析式y=kx+b中的系数k和b，其实设出了点M、N的坐标，则点P、Q的坐标就可分别表示为（m，0）、（0，），再进一步求出直线PQ的解析式y=px+q中的系数p、q，比较两个一次函数解析式中一次项系数，会发现p=k，说明PQ∥MN.从而证明四边形PQNE、四边形PQFM都是平行四边形，即证得MF=EN.
方法二： 设M（m，-），N（n，）（m<0，n>0），则==，==，故=，所以MF·FE+MF2=NE·FE+EN2，得MF2-EN2+MF·FE-NE·FE=0，从而（MF-EN） （MF+EN） +FE·（MF-EN）=0，则（MF-EN） （MF+EN+FE）=0.由于MF+EN+FE≠0，故MF-EN=0，即MF=EN.
方法三： 延长MP、NQ，交于H.由==，==，得=.又∠H=∠H，则△HPQ～△HMN，故PQ∥MN.再由MP∥FQ，得 FMPQ，得FM=PQ.同理EN=PQ，从而FM=EN.
这是直线与双曲线的2个支相交， 如果与同一支相交呢？如图3，同样有MF=NE.证法与上述情况类似.
【应用】 运用上述结论，我们能轻松地解决许多复杂的问题.如：
例1 （2012·山东东营）如图4，一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数y=的图象相交于C、D两点，分别过C、D两点作y轴、x轴的垂线，垂足为E、F，连接CF、DE.有下列四个结论：
① △CEF与△DEF的面积相等；
② △AOB～△FOE；
③ △DCE≌△CDF；
④ AC=BD.
其中正确的结论是 （ ）
A. ①② B. ①②③
C. ①②③④ D. ②③④
解析 由上面的证明过程可看出CD∥EF，则①、②成立；再根据一次函数的解析式y=x+3，可得∠DCE=∠CDF=∠DAF=45°，故DF=AF，我们还知道四边形ACEF是平行四边形，CE=AF，从而CE=DF，由SAS可判断③成立.当然，我们也可先说明四边形CDFE是等腰梯形，从而③成立；而结论④是本题的难点，许多学生都感到困难，并作出错误的判断，而这正是我们探究出的结果，作为选择题，不写过程，直接运用这个结论，就相当简单了.如果是解答题，也可用上述方法写出推理过程，其中方法三就很简单.本题选C.
延伸： 除了本题的4个结论，由CD∥EF，还可得△CDF与△DCE的面积相等，以及类似于②的三角形相似等；连结OC、OD、BF，由AC=BD，还能得到S△AOC=S△BOD，S△AFC=S△BFD等；解决这类问题时还不能忽视上述证明过程中得到的2个平行四边形.
例2 （2012·四川成都）如图5，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、B，与反比例函数y=（k为常数，且k>0）在第一象限的图象交于点E、F.过点E作EM⊥y轴于M，过点F作FN⊥x轴于N，直线EM与FN交于点C.若=（m为大于1的常数）.记△CEF的面积为S，△OEF的面积为S，则= . （用含m的代数式表示）
解析 本题让许多考生头疼，我看了一些解题过程，也相当繁琐，而且基本上都在无意中直接运用了AF=BE的结论.其实由=，可得=，再根据△BME∽△FCE，得S△BME=S△FCE=S1；由于AF=BE，故=，所以=，因而S△BOE=（m+1）S△BME=S1；最后由=，得S2=S△OEF=（m-1）S△BOE=（m-1） S=S.所以==.2012年山东省济南市中考数学第27题问题（3）也涉及这个结论.
延伸： 由AF=BE，可得△BME≌△FNA，又S△BOE=S△NOF，所以可得S△BOE=S△AOF，S△BOF=S△AOE等.过E作ED⊥x轴于D，过F作FG⊥y轴于G，则有EA=BF，△BGF≌△EDA，S梯形EFGM=S梯形EFND=S△OEF等（S△OEF=S四边形OEFN-S△OED= S四边形OEFN-S△OED=S梯形EFND，2012年湖北省十堰市第16题就考查了这样的三角形面积等于梯形面积的问题）.仔细研究，你还会发现许多结论.有了前面的基础，看看下一例题还难不难！
例3 （2012·湖北随州）如图6，直线l与反比例函数y=的图象在第一象限内交于A、B两点，交x轴的正半轴于C点，若AB：BC=（m-1）∶1（m>1），则△OAB的面积（用m表示）为 （ ）
A. B.
C. D. 解析 过B作BH⊥x轴于H.与上题过程相反，由AD=BC，AB：BC=（m-l）：1，则CO：OH= （m+l）：m，而S△OBH=1，故S△OBC=.再由AB：BC=（m-l）：1，得S△OAB=（m-1）S△OBC=（m-1）·= .本题选B.
二、 双曲线中的等分线段
【探究】 如图7，直线CD交反比例函数y=（k为常数，且k>0）在第一象限的图象于A、B，交两坐标轴于C、D，显然AD=BC.如果A、B等分线段CD，那么，分别过A、B作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，则不难说明M、N等分线段OC；同样，分别过A、B作AQ⊥y轴于Q，BP⊥y轴于P，则P、Q等分线段OD.此时，设A（m，q），B（n，p），则从等分角度可得n=2m，q=2p；从代数角度看，m·q=n·p=k，若n=2m，则必有p=q.
【应用】 把上述问题研究清楚，再来看题目就简单了.
例4 （2012·河南省）如图8，点A、B在反比例函数y=（k>0，x>0）的图象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为M、N，延长线段AB交x轴于点C，若OM=MN=NC，△AOC的面积为6，则k值为
解析 本题中M、N是OC的三等分点，故S△AOM= S△AOC=2， 则|k|=4，因为k>0，所以k=4.
拓展： 这里没有用到上面的结论，我们可进行进一步的思考.延长CA交y轴于点D，则由M、N等分OC可得A、B等分CD；A的横坐标是B的横坐标的一半，则A的纵坐标必为B的纵坐标的2倍.我们再来看看上述方法对解决下一题是否有所帮助.
例5 （2012·福建莆田）如图9，一次函数y=k1x+b的图象过点A（0，3），且与反比例函数y=（x>0）的图象相交于B、C两点.
（1） 若B（1，2），求k1·k2的值；
（2） 若AB=BC，则k1·k2的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
解析 第（1）小题用待定系数法能很快解决.第（2）小题中，显然有AB=CD，若AB=BC，则B、C三等分AD.过B作BM⊥x轴于M，BQ⊥y轴于Q，过C作CN⊥x轴于N，CP⊥y轴于P，由前面的结论可知P、Q三等分OA，M、N三等分OD.而A（0，3），故P（0，1），Q（0，2），且b=3.由于D（-，0），故M（-，0），所以B（-，2），代入y=，得-=k2，从而k1·k2=-2，为定值.
三、 双曲线中的成比例线段
【探究】 我们知道，反比例函数中，k的符号决定了双曲线所在的象限，以及在每一象限内，函数的增减性.那么，将几个不同的二次函数图象画在同一坐标系中，它们的位置关系与k的取值又有什么联系呢？让我们以一道中考试题为例来进行探究.
问题： （2012·广西桂林）双曲线y1=、y2=在第一象限的图象如图10，过y2上的任意一点A，作x轴的平行线交y1于B，交y轴于C，过A作x轴的垂线交y1于D，交x轴于E，连结BD、CE，则 = .
探索： 对于反比例函数y=，k的符号相同的几个双曲线所在象限相同，此时，|k|越大，双曲线距离两坐标轴就越远，而且这“距离”与|k|成正比.例如本题中的函数y1、y2从解析式上看，自变量x取相同的值时，函数值y2=3y1；而函数值y1=y2时，自变量x2=3x1.反映在图象上，就是AE=3DE（A、D横坐标相同），AC=3BC（A、B纵坐标相同）.这“距离”是由k决定的，由于k2=3k1，故它们的图像与两坐标轴的“距离”也就是3倍的关系.再由AB∶AC=AD∶AE=2∶3，∠BAD=∠CAE，可得△ABD～△ACE，从而BD：CE=AD∶AE=2∶3.
【应用】 经历了上面的探索过程，我们获得了一些活动经验.现在，带着这些体验与感悟，我们来解决几个类似的问题.
例6 （2012·辽宁本溪）如图11，已知点A在反比例函数y=的图象上，点B在反比例函数y=（k≠0）的图象上，AB∥x轴，分别过点A、B向x轴作垂线，垂足分别为C、D，若OC=OD，则k的值为 （ ）
A. 10 B. 12
C. 14 D. 16
解析 本题与上面探索的问题相反，延长BA交y轴于点E，由于OC∶OD=1∶3，故EA∶EB=1∶3，从而4∶k=1∶3，k=12，选B.
例7 （2012·贵州遵义）如图12， ABCD的顶点A、C在双曲线y=-上，B、D在双曲线y=上，k=2k（k>0），AB∥y轴，S OAB=24，则k= .
解析 与上题不同，本题中两个反比例函数y、y的比例系数-k<0，k>0，它们的图象在不同象限，但同样可由-k、k的绝对值k=2k，得AH=2BH.连接OA、OB，根据双曲线的中心对称性及平行四边形的性质可知，S△OAB=S ABCD=6，则S△OAH=S△OAB=4，故-k=-8，所以k=8.
总之，反比例函数中有许多问题是有很大难度的，所以许多地区已将压轴题的命题重点由二次函数转向反比例函数，因此我有必要对反比例函数作一些深入的研究.本文只在双曲线与线段相交情形的某些方面作了一些肤浅的探究，算是抛砖引玉，请同行们多多指点.
（责任编辑：陈 默）
一、 双曲线中的相等线段
【探究】 如图1，以k>0，k>0为例，双曲线y=与直线y=kx相交于点M、N，根据正比例函数图象与反比例函数图象都关于原点对称，我们不难发现OM=ON.如果将正比例函数y=kx改为一次函数y=kx+b（b≠0），情况又如何？如图2，以k<0，k<0，b>0为例，直线y=kx+b分别交x轴、y轴于E、F，与双曲线y=相交于点M、N，那么EN=FM吗？答案是肯定的，但是如何证明呢？过M作MP⊥x轴于P，过N作NQ⊥y轴于Q，连结PQ，下面介绍几个不同方法.
方法一： 设M（m，），N（n，）（m<0，n>0），代入y=kx+b，解方程组得k=-，b=，则点E横坐标-=m+n，由E（m+n，0），P（m，0），得EP=n，而NQ=n，故EP=NQ.显然EP∥NQ，从而四边形EPQN为平行四边形，则EN=PQ.同理MF=PQ，所以MF=EN.
证法引申： 这种方法求出了直线解析式y=kx+b中的系数k和b，其实设出了点M、N的坐标，则点P、Q的坐标就可分别表示为（m，0）、（0，），再进一步求出直线PQ的解析式y=px+q中的系数p、q，比较两个一次函数解析式中一次项系数，会发现p=k，说明PQ∥MN.从而证明四边形PQNE、四边形PQFM都是平行四边形，即证得MF=EN.
方法二： 设M（m，-），N（n，）（m<0，n>0），则==，==，故=，所以MF·FE+MF2=NE·FE+EN2，得MF2-EN2+MF·FE-NE·FE=0，从而（MF-EN） （MF+EN） +FE·（MF-EN）=0，则（MF-EN） （MF+EN+FE）=0.由于MF+EN+FE≠0，故MF-EN=0，即MF=EN.
方法三： 延长MP、NQ，交于H.由==，==，得=.又∠H=∠H，则△HPQ～△HMN，故PQ∥MN.再由MP∥FQ，得 FMPQ，得FM=PQ.同理EN=PQ，从而FM=EN.
这是直线与双曲线的2个支相交， 如果与同一支相交呢？如图3，同样有MF=NE.证法与上述情况类似.
【应用】 运用上述结论，我们能轻松地解决许多复杂的问题.如：
例1 （2012·山东东营）如图4，一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数y=的图象相交于C、D两点，分别过C、D两点作y轴、x轴的垂线，垂足为E、F，连接CF、DE.有下列四个结论：
① △CEF与△DEF的面积相等；
② △AOB～△FOE；
③ △DCE≌△CDF；
④ AC=BD.
其中正确的结论是 （ ）
A. ①② B. ①②③
C. ①②③④ D. ②③④
解析 由上面的证明过程可看出CD∥EF，则①、②成立；再根据一次函数的解析式y=x+3，可得∠DCE=∠CDF=∠DAF=45°，故DF=AF，我们还知道四边形ACEF是平行四边形，CE=AF，从而CE=DF，由SAS可判断③成立.当然，我们也可先说明四边形CDFE是等腰梯形，从而③成立；而结论④是本题的难点，许多学生都感到困难，并作出错误的判断，而这正是我们探究出的结果，作为选择题，不写过程，直接运用这个结论，就相当简单了.如果是解答题，也可用上述方法写出推理过程，其中方法三就很简单.本题选C.
延伸： 除了本题的4个结论，由CD∥EF，还可得△CDF与△DCE的面积相等，以及类似于②的三角形相似等；连结OC、OD、BF，由AC=BD，还能得到S△AOC=S△BOD，S△AFC=S△BFD等；解决这类问题时还不能忽视上述证明过程中得到的2个平行四边形.
例2 （2012·四川成都）如图5，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、B，与反比例函数y=（k为常数，且k>0）在第一象限的图象交于点E、F.过点E作EM⊥y轴于M，过点F作FN⊥x轴于N，直线EM与FN交于点C.若=（m为大于1的常数）.记△CEF的面积为S，△OEF的面积为S，则= . （用含m的代数式表示）
解析 本题让许多考生头疼，我看了一些解题过程，也相当繁琐，而且基本上都在无意中直接运用了AF=BE的结论.其实由=，可得=，再根据△BME∽△FCE，得S△BME=S△FCE=S1；由于AF=BE，故=，所以=，因而S△BOE=（m+1）S△BME=S1；最后由=，得S2=S△OEF=（m-1）S△BOE=（m-1） S=S.所以==.2012年山东省济南市中考数学第27题问题（3）也涉及这个结论.
延伸： 由AF=BE，可得△BME≌△FNA，又S△BOE=S△NOF，所以可得S△BOE=S△AOF，S△BOF=S△AOE等.过E作ED⊥x轴于D，过F作FG⊥y轴于G，则有EA=BF，△BGF≌△EDA，S梯形EFGM=S梯形EFND=S△OEF等（S△OEF=S四边形OEFN-S△OED= S四边形OEFN-S△OED=S梯形EFND，2012年湖北省十堰市第16题就考查了这样的三角形面积等于梯形面积的问题）.仔细研究，你还会发现许多结论.有了前面的基础，看看下一例题还难不难！
例3 （2012·湖北随州）如图6，直线l与反比例函数y=的图象在第一象限内交于A、B两点，交x轴的正半轴于C点，若AB：BC=（m-1）∶1（m>1），则△OAB的面积（用m表示）为 （ ）
A. B.
C. D. 解析 过B作BH⊥x轴于H.与上题过程相反，由AD=BC，AB：BC=（m-l）：1，则CO：OH= （m+l）：m，而S△OBH=1，故S△OBC=.再由AB：BC=（m-l）：1，得S△OAB=（m-1）S△OBC=（m-1）·= .本题选B.
二、 双曲线中的等分线段
【探究】 如图7，直线CD交反比例函数y=（k为常数，且k>0）在第一象限的图象于A、B，交两坐标轴于C、D，显然AD=BC.如果A、B等分线段CD，那么，分别过A、B作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，则不难说明M、N等分线段OC；同样，分别过A、B作AQ⊥y轴于Q，BP⊥y轴于P，则P、Q等分线段OD.此时，设A（m，q），B（n，p），则从等分角度可得n=2m，q=2p；从代数角度看，m·q=n·p=k，若n=2m，则必有p=q.
【应用】 把上述问题研究清楚，再来看题目就简单了.
例4 （2012·河南省）如图8，点A、B在反比例函数y=（k>0，x>0）的图象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为M、N，延长线段AB交x轴于点C，若OM=MN=NC，△AOC的面积为6，则k值为
解析 本题中M、N是OC的三等分点，故S△AOM= S△AOC=2， 则|k|=4，因为k>0，所以k=4.
拓展： 这里没有用到上面的结论，我们可进行进一步的思考.延长CA交y轴于点D，则由M、N等分OC可得A、B等分CD；A的横坐标是B的横坐标的一半，则A的纵坐标必为B的纵坐标的2倍.我们再来看看上述方法对解决下一题是否有所帮助.
例5 （2012·福建莆田）如图9，一次函数y=k1x+b的图象过点A（0，3），且与反比例函数y=（x>0）的图象相交于B、C两点.
（1） 若B（1，2），求k1·k2的值；
（2） 若AB=BC，则k1·k2的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
解析 第（1）小题用待定系数法能很快解决.第（2）小题中，显然有AB=CD，若AB=BC，则B、C三等分AD.过B作BM⊥x轴于M，BQ⊥y轴于Q，过C作CN⊥x轴于N，CP⊥y轴于P，由前面的结论可知P、Q三等分OA，M、N三等分OD.而A（0，3），故P（0，1），Q（0，2），且b=3.由于D（-，0），故M（-，0），所以B（-，2），代入y=，得-=k2，从而k1·k2=-2，为定值.
三、 双曲线中的成比例线段
【探究】 我们知道，反比例函数中，k的符号决定了双曲线所在的象限，以及在每一象限内，函数的增减性.那么，将几个不同的二次函数图象画在同一坐标系中，它们的位置关系与k的取值又有什么联系呢？让我们以一道中考试题为例来进行探究.
问题： （2012·广西桂林）双曲线y1=、y2=在第一象限的图象如图10，过y2上的任意一点A，作x轴的平行线交y1于B，交y轴于C，过A作x轴的垂线交y1于D，交x轴于E，连结BD、CE，则 = .
探索： 对于反比例函数y=，k的符号相同的几个双曲线所在象限相同，此时，|k|越大，双曲线距离两坐标轴就越远，而且这“距离”与|k|成正比.例如本题中的函数y1、y2从解析式上看，自变量x取相同的值时，函数值y2=3y1；而函数值y1=y2时，自变量x2=3x1.反映在图象上，就是AE=3DE（A、D横坐标相同），AC=3BC（A、B纵坐标相同）.这“距离”是由k决定的，由于k2=3k1，故它们的图像与两坐标轴的“距离”也就是3倍的关系.再由AB∶AC=AD∶AE=2∶3，∠BAD=∠CAE，可得△ABD～△ACE，从而BD：CE=AD∶AE=2∶3.
【应用】 经历了上面的探索过程，我们获得了一些活动经验.现在，带着这些体验与感悟，我们来解决几个类似的问题.
例6 （2012·辽宁本溪）如图11，已知点A在反比例函数y=的图象上，点B在反比例函数y=（k≠0）的图象上，AB∥x轴，分别过点A、B向x轴作垂线，垂足分别为C、D，若OC=OD，则k的值为 （ ）
A. 10 B. 12
C. 14 D. 16
解析 本题与上面探索的问题相反，延长BA交y轴于点E，由于OC∶OD=1∶3，故EA∶EB=1∶3，从而4∶k=1∶3，k=12，选B.
例7 （2012·贵州遵义）如图12， ABCD的顶点A、C在双曲线y=-上，B、D在双曲线y=上，k=2k（k>0），AB∥y轴，S OAB=24，则k= .
解析 与上题不同，本题中两个反比例函数y、y的比例系数-k<0，k>0，它们的图象在不同象限，但同样可由-k、k的绝对值k=2k，得AH=2BH.连接OA、OB，根据双曲线的中心对称性及平行四边形的性质可知，S△OAB=S ABCD=6，则S△OAH=S△OAB=4，故-k=-8，所以k=8.
总之，反比例函数中有许多问题是有很大难度的，所以许多地区已将压轴题的命题重点由二次函数转向反比例函数，因此我有必要对反比例函数作一些深入的研究.本文只在双曲线与线段相交情形的某些方面作了一些肤浅的探究，算是抛砖引玉，请同行们多多指点.
（责任编辑：陈 默）