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新课标强调要在数学学习中渗透数学思想和方法，函数与方程思想对学生来说十分重要，构造恰当函数或方程来解决问题，在历年来的高考中均是重点和热点。
函数与方程思想除了在函数或方程问题中有应用外，还在不等式、数列、解析几何以及立体几何中有所应用。
首先，函数与不等式可以相互转化，函数y=f（x），若y≠0，那么就可以转化成不等式f（x）≠0，然后利用函数的知识解决问题，当然学习函数的性质也无法离开不等式。
其次，数列通项与前n项和。要求是自变量为正整数的函数，就可以用函数思想解决问题。
第三，解析几何中很多问题涉及到解二元方程组，此时就需要二次方程与二次函数的知识，运用函数与方程思想十分有效。
第四，立体几何当中的一些关于角、面积、线段、体积的计算，通常需要用方程或是函数表达式来解决问题，如果建立空间直角坐标系，立体几何同函数将更加密切。
例1已知a，b，c∈R，a+b+c=0，a+bc-1=0，求a的取值范围。
解析：用方程思想来进行解题最为简单。根据题意，将题目中的兩个等式进行恰当转化，得到b+c=-a，bc=1-a，由此就可以判断出b和c实质上就是一元二次方程x2+ax+1-a=0的两个根。由一元二次方程根的判别式，方程要有两个根，那么Δ≥0，而Δ=a2-4（1-a），即a2+4a-4≥0，继续解不等式，可得a≥-2+22或a≤-2-22。
例2已知函数f（x）=x-1x，且x∈[1，+∞），若f（mx）+mf（x）<0恒成立，求实数m取值范围。
解析：根据题意，f（x）=x-1x，x∈[1，+∞）且f（mx）+mf（x）<0，则mx-1mx+mx-1x<0，2mx-1mx-mx<0，也就是mx[2（mx）2-（1+m2）]<0。f（mx）+mf（x）<0恒成立且x∈[1，+∞）。此时可得到m≠0，所以还需进行分类讨论。
当m>0，2（mx）2-（1+m2）<0恒成立，转换后可得x2<1+m22m2，而题中x∈[1，+∞），可判断上述不等式不能恒成立。
当m<0，只需要2（mx）2-（1+m2）>0恒成立，也就是x2>1+m22m2恒成立，而x∈[1，+∞），可推出1+m22m2<1，可得m2>1，所以m<-1。
例3若方程cos2x-sinx+a=0，在0，π2上有解，求a的取值范围。
解析：根据题意可以将变量进行分离，得a=-cos2x+sinx，这就把问题转化成确定的相关函数的值域问题。
设f（x）=-cos2x+sinx且x∈0，π2，当a属于f（x）的值域时，a=f（x）才有解，现将f（x）=-cos2x+sinx转化成f（x）=-（1-sin2x）+sinx=sinx+122-54，此时根据x∈0，π2，可得到sinx∈（0，1]，就能非常简便地求得函数f（x）的值域为（-1，1]，这就是a的取值范围。
作者单位：甘肃省庄浪县第四中学
函数与方程思想除了在函数或方程问题中有应用外，还在不等式、数列、解析几何以及立体几何中有所应用。
首先，函数与不等式可以相互转化，函数y=f（x），若y≠0，那么就可以转化成不等式f（x）≠0，然后利用函数的知识解决问题，当然学习函数的性质也无法离开不等式。
其次，数列通项与前n项和。要求是自变量为正整数的函数，就可以用函数思想解决问题。
第三，解析几何中很多问题涉及到解二元方程组，此时就需要二次方程与二次函数的知识，运用函数与方程思想十分有效。
第四，立体几何当中的一些关于角、面积、线段、体积的计算，通常需要用方程或是函数表达式来解决问题，如果建立空间直角坐标系，立体几何同函数将更加密切。
例1已知a，b，c∈R，a+b+c=0，a+bc-1=0，求a的取值范围。
解析：用方程思想来进行解题最为简单。根据题意，将题目中的兩个等式进行恰当转化，得到b+c=-a，bc=1-a，由此就可以判断出b和c实质上就是一元二次方程x2+ax+1-a=0的两个根。由一元二次方程根的判别式，方程要有两个根，那么Δ≥0，而Δ=a2-4（1-a），即a2+4a-4≥0，继续解不等式，可得a≥-2+22或a≤-2-22。
例2已知函数f（x）=x-1x，且x∈[1，+∞），若f（mx）+mf（x）<0恒成立，求实数m取值范围。
解析：根据题意，f（x）=x-1x，x∈[1，+∞）且f（mx）+mf（x）<0，则mx-1mx+mx-1x<0，2mx-1mx-mx<0，也就是mx[2（mx）2-（1+m2）]<0。f（mx）+mf（x）<0恒成立且x∈[1，+∞）。此时可得到m≠0，所以还需进行分类讨论。
当m>0，2（mx）2-（1+m2）<0恒成立，转换后可得x2<1+m22m2，而题中x∈[1，+∞），可判断上述不等式不能恒成立。
当m<0，只需要2（mx）2-（1+m2）>0恒成立，也就是x2>1+m22m2恒成立，而x∈[1，+∞），可推出1+m22m2<1，可得m2>1，所以m<-1。
例3若方程cos2x-sinx+a=0，在0，π2上有解，求a的取值范围。
解析：根据题意可以将变量进行分离，得a=-cos2x+sinx，这就把问题转化成确定的相关函数的值域问题。
设f（x）=-cos2x+sinx且x∈0，π2，当a属于f（x）的值域时，a=f（x）才有解，现将f（x）=-cos2x+sinx转化成f（x）=-（1-sin2x）+sinx=sinx+122-54，此时根据x∈0，π2，可得到sinx∈（0，1]，就能非常简便地求得函数f（x）的值域为（-1，1]，这就是a的取值范围。
作者单位：甘肃省庄浪县第四中学