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代数不等式证明题，表面上看似简单，但不易找到证明途径.原因是：按惯用方法“出招”，往往不能奏效. 证明这种类型的不等式，需要的不仅是有全面的基础知识和娴熟的基本方法，更要有智慧，有创造性思维. 下面介绍4种破解这类不等式证明题的方法.
一、缩元法
例1 已知a、b、c、d都是小于1的正数，试比较abcd与a b c d 3的大小.
思路 先就问题的简单情形进行尝试、探索，首先比较ab与a b-1的大小.
∵a、b∈（0，1），∴ ab-（a b-1）=ab-a-b 1=（a-1）（b-1）＞0，
∴ab＞a b-1.
又∵a、b、c∈（0，1），∴ abc=（ab）c＞ab c-1＞（a b-1） c-1，
∴abc＞a b c-2.
又∵a、b、c、d∈（0，1），∴ abcd=（abc）d＞abc d-1＞（a b c-2） d-1，
∴abcd＞a b c d-3.
点评 “缩元”尝试，对问题展开探索，为解决问题铺路，能达到以简驭繁的效果.
二、换元法
例2 a、b、c分别是一个三角形的三条边之长，求证：
a/b c-a b/c a-b c/a b-c≥3.
思路 麻烦的是不等式左边的三个分母，但细看可知，三个分母是与三角形中三条边长有关的式子，再细看，发现这三个分母的值均为正数（想一想，为什么）. 题目要证三个分式的和大于或等于3，思路自然会向均值不等式靠.如何达到？用“换元”转化法.
例6 若正数a、b、c满足a b＞c，求证：a/(1 a) b/(1 b)＞c/(1 c).
思路 不等式两边三个分式具有相同的结构，这使我们有了构造目标函数的机会，再探索通过函数的单调性来完成不等式的证明.
证明 设函数f（x）=x/1 x（x＞0），则
∵ f（x）=x/(1 x)=1-1/(1 x)，又x＞0，根据函数单调性定义，易于判断f（x）是增函数.
∵ a b＞c， ∴ f（a b）＞f（c）.
而f（a b）=(a b)/(1 a b)=a/(1 a b) b/(1 a b)＜a/(1 a) b/(1 b)=f（a） f（b），
∴ f（a） f（b）＞f（c）.
∴ a/(1 a) b/(1 b)＞c/(1 c).
（编辑 孙世奇）
一、缩元法
例1 已知a、b、c、d都是小于1的正数，试比较abcd与a b c d 3的大小.
思路 先就问题的简单情形进行尝试、探索，首先比较ab与a b-1的大小.
∵a、b∈（0，1），∴ ab-（a b-1）=ab-a-b 1=（a-1）（b-1）＞0，
∴ab＞a b-1.
又∵a、b、c∈（0，1），∴ abc=（ab）c＞ab c-1＞（a b-1） c-1，
∴abc＞a b c-2.
又∵a、b、c、d∈（0，1），∴ abcd=（abc）d＞abc d-1＞（a b c-2） d-1，
∴abcd＞a b c d-3.
点评 “缩元”尝试，对问题展开探索，为解决问题铺路，能达到以简驭繁的效果.
二、换元法
例2 a、b、c分别是一个三角形的三条边之长，求证：
a/b c-a b/c a-b c/a b-c≥3.
思路 麻烦的是不等式左边的三个分母，但细看可知，三个分母是与三角形中三条边长有关的式子，再细看，发现这三个分母的值均为正数（想一想，为什么）. 题目要证三个分式的和大于或等于3，思路自然会向均值不等式靠.如何达到？用“换元”转化法.
例6 若正数a、b、c满足a b＞c，求证：a/(1 a) b/(1 b)＞c/(1 c).
思路 不等式两边三个分式具有相同的结构，这使我们有了构造目标函数的机会，再探索通过函数的单调性来完成不等式的证明.
证明 设函数f（x）=x/1 x（x＞0），则
∵ f（x）=x/(1 x)=1-1/(1 x)，又x＞0，根据函数单调性定义，易于判断f（x）是增函数.
∵ a b＞c， ∴ f（a b）＞f（c）.
而f（a b）=(a b)/(1 a b)=a/(1 a b) b/(1 a b)＜a/(1 a) b/(1 b)=f（a） f（b），
∴ f（a） f（b）＞f（c）.
∴ a/(1 a) b/(1 b)＞c/(1 c).
（编辑 孙世奇）