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数学思想是数学知识、数学技能、数学方法的本质体现，是形成数学能力、数学意识的桥梁。在数学解题过程中，从分析探求思路到优化解题过程，乃至反思验证结论都是以数学思想作指导。在解题过程中，灵活运用数学思想，可使问题化难为易，化繁为简。
一、数形结合思想
数形结合思想是运用数和形的相互关系解决数学问题的基本思想之一，在解题中运用数形结合思想可使求解问题简化。
1.借助形的直观性来解决数与数之间的关系
（l）借助于数轴的直观性。
例1：已知a<0，b>0，c<0，且∣a∣<|b|，|b|<|c|，求|a-b| 2|a-c| -|b-c|-|a b|-|b c|的值。
分析：要求上式的值，关键在于化去各项绝对值，但a、b、c的取值较复杂，根据条件可利用数轴的直观性确定a、b、c的大致位置，找出 a、b、c三数的大小关系，从而可判断各项绝对值的正负，最后求出结果。
解：由已知条件可得 a、b、c在数轴上的大致位置（如图）：
则有a-0<0，a-c>0，b-c>0，a b>0，b c<0.
∴原式=-（a-b） 2 （a-c） -（b-c）- （a b） （b c）=0
（2）借助于函数图象的直观性。
例2：已知函数y=kx b的图象不经过第一象限，则k、b应满足的条件是 （ A.k>0、b>0；B.k>0、b<0；C.k<0、b>0；D.k<0、b<0）。
分析：此题属于“四选一”的选择题，由于有三个迷惑答案，加上k与b的值不具体，判断难度较大，如果根据图像不经过第一象限的条件画出这个函数的大致图象，就可直观地观察，再判断k与b的正负就容易了。
解：函数y=kx b不经过第一象限的大致图像如图所示，则k<0、b<0，故选D。
2.借助于数的精确性来体现形的某些属性
例3：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，AB为⊙O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以lcm/秒的速度，同时动点Q从点C开始沿CB边向点B以3cm/s的速度运动，当其中一点到达端点时，另一点同时停止运动，设运动时间为t秒，求：⑴t为何值时，四边形CDPQ为平行四边形？⑵t为何值时，直线PQ与⊙O相切？
分析：此题很难从图形的运动中直接确定t，只有根据图形具有的性质转化为数与数之间的关系来准确求t的值。对于（l），欲使四边形 PQCD为平行四边形，只需PD=QC，即AD-AP=QC，由已知点的运动速度，可转化为数来研究；对于（2）可以用同法来分析转化。
解：（1）因AD∥BC，故只要PD=QC，四边形CDPQ是平行四边形，此时有24-t=3t，∴t=6，即当t=6秒时，四边形CDPQ是平行四边形。
（2）设运动t秒时，直线PQ与⊙O相切于点M。过P作PN丄BC于N，则PN=AB=8cm，BN=AP=t，NQ=26-3t-t=26-4t，由切线长定理得PQ=PM QM=PA QB=26-2t。由勾股定理得PQ2=PN2 NQ2，即（26-2t）2=82 （26-4t）2，解得t1=2/3，t2=8。即当t=2/3秒或t=8秒时，直线 PQ与⊙O相切。
二、函数与方程思想
函数与方程思想是通过建立相等关系把所研究的数学问题，转化为函数或方程等数学模型，从而解决问题的思想。
例4：如图是某同学推鉛球时的示意图。铅球飞行时呈抛物线形，最高点C距地面4米，铅球脱手时离地面高度AB=1.6米，与最高点C的连线与水平线成45°角，求铅球的落地点D到A点的距离。
分析：这是一个联系实际的应用题，首先要把它转化为数学问题，将B点、C点的位置用坐标表示，求出抛物线的函数解析式，令y=O，再转化求一元二次方程的根，从而解决AD长的问题。
解：过点C作CF丄AD于F，作BE丄CF于E，则EF=AB=1.6。连结BC，在Rt△BCE中，∠CBE=45°，CE=CF-EF=2.4，AF=BE=CE=2.4，故B（0，1.6），C（2.4，4）。设抛物线的解析式为y=a（x-2.4）2 l.4，当X=0时，a（0-2.4）2 4=1.6，解得a=- ，故抛物线的解析式为y=- （x-2.4）2 4，令- （x-2.4）2 4=0，解得x1=2.4 ，x2=2 .4- 。其中x2=2.4-小于0，不合题意舍去。
三、等价变换（转化）思想
等价变换是一种重要的数学思想方法，它是把数学问题的一种形式转化为另一种形式或是把实际问题转化为数学问题进行思考的方法。应用等价变换（转化）思想方法，能变抽象为具体，变复杂为简单，化难为易，使问题迎刃而解。
1.解题形式转化
例5：解方程
解：
可转化为
再转化为
从而得x=-2
本题解法是将分式方程转化为方程组形式求解。
2.利用图形变换转化
例6：如图，已知边长为a的正方形ABCD内接于⊙O，分别以正方形各边为直径向外作半圆，求四个半圆与⊙O的四条弧围成的四个新月形（阴影部分）的面积。
分析：阴影部分面积如果就其形状而直接计算则十分困难，但是如果将阴影转化为四个小半圆与正方形面积之和再减去大圆面积，问题就很容易解决了。
解：依题意分析可得
3.将实际问题转化为数学问题
例7：一个养鸡专业户计划用60米长的筛网建一个靠墙（墙长32米）的长方形养鸡场，怎样建法，使用价值最高？
分析：这是一个实际问题，我们必须将“怎样建法”的问题转化为求“长方形的长、宽各多少”的问题，将“使用价值最高的问题”转化为“面积最大长方形的问题”。
解：如图，设鸡场宽为x米，面积为y米2，依题意得：y=x（60-2x），当x=15时，y取最大值为y=450。此时长60-2x=30，然而30<32，符合条件。
答：当长方形养鸡场为长是30米，宽是l5米时，使用价值最高。
四、分类讨论思想
分类讨论思想是数学解题中的一种重要思想方法，有些数学概念本身或性质的运用过程需要按其各种可能或不同情况加以运用，这个过程就是分类讨论。在分类讨论过程中必须遵循一条原则， 就是对讨论的对象不能重复也不能遗漏。
在解题过程中，有些概念本身如绝对值、二次根式、两圆位置关系等需要进行讨论。
例如8：已知两圆⊙O1，和⊙O2的半径分别为3cm和5cm，两圆的圆心距为d，试确定两圆的位置关系。
分析：根据两圆位置关系的概念，对圆心距d进行讨论。
解：（1）当d>8时，两圆外离；（2）当d=8时，两圆外切；（3）当2 此外，含有字母的式子、方程、不等式也需要进行分类讨论。
例9：试确定一元二次方程 x2 2mx m2-m=0的根的情况。
解：∵Δ=4m2-4（m2-m）=4m，∴当m>0时，原方程有两个不相等的实数根；当m=0时，原方程有两个相等的实数根；当m<0时，原方程没有实数根。
初中数学解题思想远不止以上这些，但从这些数学思想在解题中的应用可以看到，数学思想在解题中起到十分重要的作用，它是探求解题思路、缩短思维过程的重要武器。因此，我们要发挥数学思想的作用。
一、数形结合思想
数形结合思想是运用数和形的相互关系解决数学问题的基本思想之一，在解题中运用数形结合思想可使求解问题简化。
1.借助形的直观性来解决数与数之间的关系
（l）借助于数轴的直观性。
例1：已知a<0，b>0，c<0，且∣a∣<|b|，|b|<|c|，求|a-b| 2|a-c| -|b-c|-|a b|-|b c|的值。
分析：要求上式的值，关键在于化去各项绝对值，但a、b、c的取值较复杂，根据条件可利用数轴的直观性确定a、b、c的大致位置，找出 a、b、c三数的大小关系，从而可判断各项绝对值的正负，最后求出结果。
解：由已知条件可得 a、b、c在数轴上的大致位置（如图）：
则有a-0<0，a-c>0，b-c>0，a b>0，b c<0.
∴原式=-（a-b） 2 （a-c） -（b-c）- （a b） （b c）=0
（2）借助于函数图象的直观性。
例2：已知函数y=kx b的图象不经过第一象限，则k、b应满足的条件是 （ A.k>0、b>0；B.k>0、b<0；C.k<0、b>0；D.k<0、b<0）。
分析：此题属于“四选一”的选择题，由于有三个迷惑答案，加上k与b的值不具体，判断难度较大，如果根据图像不经过第一象限的条件画出这个函数的大致图象，就可直观地观察，再判断k与b的正负就容易了。
解：函数y=kx b不经过第一象限的大致图像如图所示，则k<0、b<0，故选D。
2.借助于数的精确性来体现形的某些属性
例3：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，AB为⊙O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以lcm/秒的速度，同时动点Q从点C开始沿CB边向点B以3cm/s的速度运动，当其中一点到达端点时，另一点同时停止运动，设运动时间为t秒，求：⑴t为何值时，四边形CDPQ为平行四边形？⑵t为何值时，直线PQ与⊙O相切？
分析：此题很难从图形的运动中直接确定t，只有根据图形具有的性质转化为数与数之间的关系来准确求t的值。对于（l），欲使四边形 PQCD为平行四边形，只需PD=QC，即AD-AP=QC，由已知点的运动速度，可转化为数来研究；对于（2）可以用同法来分析转化。
解：（1）因AD∥BC，故只要PD=QC，四边形CDPQ是平行四边形，此时有24-t=3t，∴t=6，即当t=6秒时，四边形CDPQ是平行四边形。
（2）设运动t秒时，直线PQ与⊙O相切于点M。过P作PN丄BC于N，则PN=AB=8cm，BN=AP=t，NQ=26-3t-t=26-4t，由切线长定理得PQ=PM QM=PA QB=26-2t。由勾股定理得PQ2=PN2 NQ2，即（26-2t）2=82 （26-4t）2，解得t1=2/3，t2=8。即当t=2/3秒或t=8秒时，直线 PQ与⊙O相切。
二、函数与方程思想
函数与方程思想是通过建立相等关系把所研究的数学问题，转化为函数或方程等数学模型，从而解决问题的思想。
例4：如图是某同学推鉛球时的示意图。铅球飞行时呈抛物线形，最高点C距地面4米，铅球脱手时离地面高度AB=1.6米，与最高点C的连线与水平线成45°角，求铅球的落地点D到A点的距离。
分析：这是一个联系实际的应用题，首先要把它转化为数学问题，将B点、C点的位置用坐标表示，求出抛物线的函数解析式，令y=O，再转化求一元二次方程的根，从而解决AD长的问题。
解：过点C作CF丄AD于F，作BE丄CF于E，则EF=AB=1.6。连结BC，在Rt△BCE中，∠CBE=45°，CE=CF-EF=2.4，AF=BE=CE=2.4，故B（0，1.6），C（2.4，4）。设抛物线的解析式为y=a（x-2.4）2 l.4，当X=0时，a（0-2.4）2 4=1.6，解得a=- ，故抛物线的解析式为y=- （x-2.4）2 4，令- （x-2.4）2 4=0，解得x1=2.4 ，x2=2 .4- 。其中x2=2.4-小于0，不合题意舍去。
三、等价变换（转化）思想
等价变换是一种重要的数学思想方法，它是把数学问题的一种形式转化为另一种形式或是把实际问题转化为数学问题进行思考的方法。应用等价变换（转化）思想方法，能变抽象为具体，变复杂为简单，化难为易，使问题迎刃而解。
1.解题形式转化
例5：解方程
解：
可转化为
再转化为
从而得x=-2
本题解法是将分式方程转化为方程组形式求解。
2.利用图形变换转化
例6：如图，已知边长为a的正方形ABCD内接于⊙O，分别以正方形各边为直径向外作半圆，求四个半圆与⊙O的四条弧围成的四个新月形（阴影部分）的面积。
分析：阴影部分面积如果就其形状而直接计算则十分困难，但是如果将阴影转化为四个小半圆与正方形面积之和再减去大圆面积，问题就很容易解决了。
解：依题意分析可得
3.将实际问题转化为数学问题
例7：一个养鸡专业户计划用60米长的筛网建一个靠墙（墙长32米）的长方形养鸡场，怎样建法，使用价值最高？
分析：这是一个实际问题，我们必须将“怎样建法”的问题转化为求“长方形的长、宽各多少”的问题，将“使用价值最高的问题”转化为“面积最大长方形的问题”。
解：如图，设鸡场宽为x米，面积为y米2，依题意得：y=x（60-2x），当x=15时，y取最大值为y=450。此时长60-2x=30，然而30<32，符合条件。
答：当长方形养鸡场为长是30米，宽是l5米时，使用价值最高。
四、分类讨论思想
分类讨论思想是数学解题中的一种重要思想方法，有些数学概念本身或性质的运用过程需要按其各种可能或不同情况加以运用，这个过程就是分类讨论。在分类讨论过程中必须遵循一条原则， 就是对讨论的对象不能重复也不能遗漏。
在解题过程中，有些概念本身如绝对值、二次根式、两圆位置关系等需要进行讨论。
例如8：已知两圆⊙O1，和⊙O2的半径分别为3cm和5cm，两圆的圆心距为d，试确定两圆的位置关系。
分析：根据两圆位置关系的概念，对圆心距d进行讨论。
解：（1）当d>8时，两圆外离；（2）当d=8时，两圆外切；（3）当2
例9：试确定一元二次方程 x2 2mx m2-m=0的根的情况。
解：∵Δ=4m2-4（m2-m）=4m，∴当m>0时，原方程有两个不相等的实数根；当m=0时，原方程有两个相等的实数根；当m<0时，原方程没有实数根。
初中数学解题思想远不止以上这些，但从这些数学思想在解题中的应用可以看到，数学思想在解题中起到十分重要的作用，它是探求解题思路、缩短思维过程的重要武器。因此，我们要发挥数学思想的作用。