论文部分内容阅读
【摘要】追求有深度的数学课堂不是追求教学的“繁难偏”，而是通过教师的深度钻研，紧扣课程标准，力求呈现知识的本质，让教学因为师生的深度思考而变得简单、清晰与生动。文章从深究教材以引领学生触及数学知识本质、注重对学生数学思维的培养和让学生进行深度学习等几个方面展开说明，达到提升学生数学核心素养的目的。
【关键词】深究教材;指向本质;深度学习;有深度的课堂
中学数学教育的根本目的是教会学生思考。初中数学“四度六步”教学法提出的追求有深度的数学课堂不是追求教学的“繁难偏”，而是通过教师的深度钻研，紧扣课程标准，力求呈现知识的本质，让教学因为师生的深度思考而变得简单、清晰与生动。换言之，有深度的数学课堂是一种变复杂为简单、深入浅出的教学，让学生的数学核心素养得到充分的滋养。
一、深究教材，指向本质
章建跃博士说，教好数学的前提是自己先把数学理解好，数学理解不到位，不可能产生好课。那么如何提高数学理解水平呢？笔者认为可以从以下几个方面人手：一是了解概念的背景，知道概念的逻辑意义;二是理解内容所反映的思想方法，懂得知识所蕴含的科学方法、理性思维过程和价值观资源;三是懂得区分核心知识和非核心知识;等等。有深度的数学课堂教学就是要引领学生触及数学知识的本质，感受数学知识内蕴的思想和方法，提升学生的数学核心素养。笔者以“运用平方差公式因式分解”教学为例，谈谈如何引导学生走向数学知识的本质。以下通过例题进行说明。
引例1根据因式分解的概念，判断下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？
观察这些多项式因式分解的过程，你有什么-发现？
教师通过引例1帮助学生复习并强化因式分解的概念，即把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，夯实了本节课的教学基础，找到学习新知识的“生长点”;引例2复习并强化了运用提公因式法因式分解，帮助学生自然生发探求因式分解的新方法;引例3引导学生观察、分析和对比等式，启发学生领悟新旧知识的内在联系，帮助学生认识学习新知的逻辑意义。
以上教学设计因为有引例1和引例2的铺垫，引例3的设计相比教材直接提出“多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？”的思考问题，从而给出因式分解的平方差公式更符合学生的认知规律。因为这既照顾了学生的学习基础，又能引导学生经历发现因式分解平方差公式的过程，感悟运用平方差公式因式分解的本质特征。《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，教师应注重数学知识与学生生活经验和学生学科知识的联系，组织学生开展实验、操作、尝试等活动，引导学生进行观察、分析，抽象概括，运用知识进行判断。教师还应揭示知识的数学本质及其数学思想，帮助学生厘清相关知识之间的区别和联系等。在数学教学中，教师应注重引导学生对所学知识的理解，让他们体会数学知识之间的关联，引领学生触及数学知识的本质。
对于深究教材，笔者认为除了要在概念、公式、法则、定理及性质等数学知识的理解上下功夫，还要对教材中的例题和习题进行细致地琢磨，用心领悟编者的意图。教材中的例题和习题不仅具有解题的示范功能，更具有问题的拓展功能。笔者通过对中考命题的研究，发现以教材中的例题和习题为题根（母题）命制中考试题可谓俯拾皆是。这也是中考试题凸显源于教材又高于教材的命题理念，突出中考试题考查数学通性通法的命题要求。为此，教师应对本地区乃至国内各地区历年中考试题进行深入的研究与思考，找到其与教材中的例题和习题的本质联系，引导学生发现规律，从而在提高学生解题能力的同时提升其数学核心素养。
二、注重思维，深度学习
在数学教学中，发展思维能力是培养数学能力的核心。浙江师范大学任樟辉教授曾说：“学习数学应该看成是学习数学思维过程以及数学思维结果这二者的结合，因而可以说数学思维是动的数学，而数学知识本身是静的数学，这二者是辩证的统一。数学思维与数学知识的关系就犹如人体的血肉关系，血液之荣枯外现于形体之盛衰。就是说数学思维能力的强弱直接影响着人们掌握和发现数学知识的广狭和深浅。”
我们知道，学生的发展主要依赖于间接经验，掌握数学知识主要依靠理性思维。因为数学的研究对象是抽象的，它决定了数学与现实之间存在着内在的差距。一般来说，数学本质难以通过生活体验而获得理解，因此，直接经验一般不能成为数学学习的主要基础。2019年笔者曾应邀参加一次省级主题教研活动，听评了一节关于“运用平方差公式因式分解”的课。授课教师首先以这样的一个问题进行课堂导人。
如图1.公园有一块正方形草地需要重新做景观规划，从中挖掉一块小正方形做花圃。测得大正方形的边长为66.6米，小正方形的边长为33.4米，那么剩下的草地面积是多少平方米？
通过分析，教师引导学生思考以下问题。
问题1：请你说说，你是如何计算的？
问题2：爱思考的小明在直接计算时，遇到了困难，于是他转念一想，是否可以从图形入手，将不规则的图形分割、拼接成规则图形呢？你是否也能受小明的启发，找到解决问题的方法？
很显然这是教师为了让学生在“经验”的基础上学习而绞尽脑汁创设的“生活”情境。然而通过分析不难发现，这是一种片面强调学生“直接经验”“生活体验”的低效的教学设计。教育教学既要适应学生的现有发展水平，又要超越学生的现有发展水平，并积极地促进其发展。从学生的认知发展规律看，小学低年级学生所掌握的概念大部分是具体的，可以直接感知的，要求他们说出概念主要的、本质的内容比较困难，但他们的思维中也有抽象概括的成分;小学高年级学生逐渐学会运用抽象概念进行思维，辨别概念中的本质与非本质特征，掌握初步的科学定义，独立进行逻辑论证，思维水平逐步从以具体形象思维为主过渡到以抽象逻辑思维为主;中学生的思维能力获得迅速发展，抽象逻辑思维处于优势地位，从初中二年级开始，学生的抽象逻辑思维开始由经验型水平向理论型水平转化，到高中二年级初步完成。根据学生智能发展的特点，初中学生是可以离开直接经验而有效地接受抽象的数学知识的，这时教师应及时提高数学教学的抽象水平，發挥间接经验的作用，发展学生的抽象逻辑思维。在教学中，既要有最基本、最重要的数学知识做基础，又要有科学获取知识的方法做保障，这样学生才能有创造性的、持续发展的源泉和动力。 数学思维是对人类思维实践的理性总结，也是对思维过程的形式概括，包括概念与判断、辨别与比较、分析与综合、归纳与演绎等，它们既是数学思维活动的一般规律，又是获得数学知识的有效手段。为此，追求有深度的数学课堂，教师应引导学生开展有针对性的数学思维活动，使学生在思维训练过程中掌握知识、形成技能、培养能力、发展智力，形成正确的世界观。
三、深度学习，提升素养
深度学习是在教师的引领下，学生围绕具有挑战性的学习主题，全身心积极参与、体验成功、获得发展的有意义的学习过程。面向未来世界的学习，学习者必须获得对概念更深层次的理解。有研究表明，与以识记、复述知识等为特征的浅层学习不同，深度学习是学生想要去理解以及从学习内容中提取意义的结合。理解，不仅仅是单纯字面上的知道、了解、明白，它更强调深层次的思考，即解释、思辨、推理、验证、应用等更有难度、更加复杂和更具综合性的学习结果。但仅仅有这样的理解也不够，还需要学生能够将这些已经理解的知识应用于生活，即理解是学生灵活地运用所知进行思考和行动的能力。
例如上述所列举的“运用平方差公式因式分解”的教学，我们知道平方差公式是乘法公式的一种，而乘法公式是在进行整式乘法运算时，对一些特殊情况归纳出的简化运算的特殊形式。整式乘法法则是一般性的法则，乘法公式是整式乘法法则的特殊情形，是一般法则形式下特殊形式的特征表达。因为学生有了整式乘法公式学习经验的初步积累，所以在教学运用平方差公式因式分解时，更应在深度理解公式上下功夫。也就是要设法让学生经历归纳公式的全过程，而不能仅用一个枯燥的问题思考就引出公式。因此，在该内容的教学中，教师不仅要引导学生理解引例3第（1）至第（3）问的算理是整式乘法平方差公式，第（4）至第（6）问是整式变形，属于逆向使用整式乘法平方差公式对一个多项式进行因式分解，还要特别强调让学生经历归纳公式的过程，要在教学中潜移默化地教给学生一些基本解题规律。这个基本解题规律其实和概念教学是类似的，也要经过归纳公式（举三反一，概括其本质属性）一表示公式（用文字、符号语言表示）一辨析公式（找出相似的概念、式子、定理、图形等的区别和联系，把众多单一知识构建成知识网络，做到解一道题，能联想一类题，会解一串题）的过程。心理学家克鲁切茨基认为，解答数学题时的心理活动有三个基本阶段：一是收集解题所需要的信息;二是对信息进行加工，获得一个答案;三是把有关这个答案的信息保持下來。它的每一个阶段都和一种或多种能力相适应。数学能力较强的学生比能力稍弱的学生能更好地抓住问题的实质，迅速而容易地概括数学材料：在逻辑论证上则倾向于越过中间步骤，灵活变换其他的解题方法;必要时，他们能容易地逆转思维的进程。一般地，数学能力强的学生往往偏于记忆题目中的关系和解题的原理，而能力弱的学生则偏于记忆题目的具体细节。教师在教学中应引导学生关注题目中的关系和解题的原理，重视揭示问题的知识本质。
为此，教师应力求创设前人发现数学概念、公式、定理和性质的过程，让学生深层次理解数学概念、公式、定理和性质等数学知识，这就意味着学生拥有的知识是围绕着数学学科的核心概念、主题及问题组织起来的，是从多角度对其加以表征的，并能在真实、复杂情境中应用的知识。只有学生知道在什么样的情境中应用这些知识，知道在面对新的、真实的情境时如何调适、修正这些知识，在他们能够解释信息、创建模型、解决问题、建立与其他概念和学科及真实情境的关联从而形成理解世界的新方式时，我们才认为发生了真实的、有深度的学习，这样的课堂才算得上是有深度的数学课堂。
【关键词】深究教材;指向本质;深度学习;有深度的课堂
中学数学教育的根本目的是教会学生思考。初中数学“四度六步”教学法提出的追求有深度的数学课堂不是追求教学的“繁难偏”，而是通过教师的深度钻研，紧扣课程标准，力求呈现知识的本质，让教学因为师生的深度思考而变得简单、清晰与生动。换言之，有深度的数学课堂是一种变复杂为简单、深入浅出的教学，让学生的数学核心素养得到充分的滋养。
一、深究教材，指向本质
章建跃博士说，教好数学的前提是自己先把数学理解好，数学理解不到位，不可能产生好课。那么如何提高数学理解水平呢？笔者认为可以从以下几个方面人手：一是了解概念的背景，知道概念的逻辑意义;二是理解内容所反映的思想方法，懂得知识所蕴含的科学方法、理性思维过程和价值观资源;三是懂得区分核心知识和非核心知识;等等。有深度的数学课堂教学就是要引领学生触及数学知识的本质，感受数学知识内蕴的思想和方法，提升学生的数学核心素养。笔者以“运用平方差公式因式分解”教学为例，谈谈如何引导学生走向数学知识的本质。以下通过例题进行说明。
引例1根据因式分解的概念，判断下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？
观察这些多项式因式分解的过程，你有什么-发现？
教师通过引例1帮助学生复习并强化因式分解的概念，即把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，夯实了本节课的教学基础，找到学习新知识的“生长点”;引例2复习并强化了运用提公因式法因式分解，帮助学生自然生发探求因式分解的新方法;引例3引导学生观察、分析和对比等式，启发学生领悟新旧知识的内在联系，帮助学生认识学习新知的逻辑意义。
以上教学设计因为有引例1和引例2的铺垫，引例3的设计相比教材直接提出“多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？”的思考问题，从而给出因式分解的平方差公式更符合学生的认知规律。因为这既照顾了学生的学习基础，又能引导学生经历发现因式分解平方差公式的过程，感悟运用平方差公式因式分解的本质特征。《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，教师应注重数学知识与学生生活经验和学生学科知识的联系，组织学生开展实验、操作、尝试等活动，引导学生进行观察、分析，抽象概括，运用知识进行判断。教师还应揭示知识的数学本质及其数学思想，帮助学生厘清相关知识之间的区别和联系等。在数学教学中，教师应注重引导学生对所学知识的理解，让他们体会数学知识之间的关联，引领学生触及数学知识的本质。
对于深究教材，笔者认为除了要在概念、公式、法则、定理及性质等数学知识的理解上下功夫，还要对教材中的例题和习题进行细致地琢磨，用心领悟编者的意图。教材中的例题和习题不仅具有解题的示范功能，更具有问题的拓展功能。笔者通过对中考命题的研究，发现以教材中的例题和习题为题根（母题）命制中考试题可谓俯拾皆是。这也是中考试题凸显源于教材又高于教材的命题理念，突出中考试题考查数学通性通法的命题要求。为此，教师应对本地区乃至国内各地区历年中考试题进行深入的研究与思考，找到其与教材中的例题和习题的本质联系，引导学生发现规律，从而在提高学生解题能力的同时提升其数学核心素养。
二、注重思维，深度学习
在数学教学中，发展思维能力是培养数学能力的核心。浙江师范大学任樟辉教授曾说：“学习数学应该看成是学习数学思维过程以及数学思维结果这二者的结合，因而可以说数学思维是动的数学，而数学知识本身是静的数学，这二者是辩证的统一。数学思维与数学知识的关系就犹如人体的血肉关系，血液之荣枯外现于形体之盛衰。就是说数学思维能力的强弱直接影响着人们掌握和发现数学知识的广狭和深浅。”
我们知道，学生的发展主要依赖于间接经验，掌握数学知识主要依靠理性思维。因为数学的研究对象是抽象的，它决定了数学与现实之间存在着内在的差距。一般来说，数学本质难以通过生活体验而获得理解，因此，直接经验一般不能成为数学学习的主要基础。2019年笔者曾应邀参加一次省级主题教研活动，听评了一节关于“运用平方差公式因式分解”的课。授课教师首先以这样的一个问题进行课堂导人。
如图1.公园有一块正方形草地需要重新做景观规划，从中挖掉一块小正方形做花圃。测得大正方形的边长为66.6米，小正方形的边长为33.4米，那么剩下的草地面积是多少平方米？
通过分析，教师引导学生思考以下问题。
问题1：请你说说，你是如何计算的？
问题2：爱思考的小明在直接计算时，遇到了困难，于是他转念一想，是否可以从图形入手，将不规则的图形分割、拼接成规则图形呢？你是否也能受小明的启发，找到解决问题的方法？
很显然这是教师为了让学生在“经验”的基础上学习而绞尽脑汁创设的“生活”情境。然而通过分析不难发现，这是一种片面强调学生“直接经验”“生活体验”的低效的教学设计。教育教学既要适应学生的现有发展水平，又要超越学生的现有发展水平，并积极地促进其发展。从学生的认知发展规律看，小学低年级学生所掌握的概念大部分是具体的，可以直接感知的，要求他们说出概念主要的、本质的内容比较困难，但他们的思维中也有抽象概括的成分;小学高年级学生逐渐学会运用抽象概念进行思维，辨别概念中的本质与非本质特征，掌握初步的科学定义，独立进行逻辑论证，思维水平逐步从以具体形象思维为主过渡到以抽象逻辑思维为主;中学生的思维能力获得迅速发展，抽象逻辑思维处于优势地位，从初中二年级开始，学生的抽象逻辑思维开始由经验型水平向理论型水平转化，到高中二年级初步完成。根据学生智能发展的特点，初中学生是可以离开直接经验而有效地接受抽象的数学知识的，这时教师应及时提高数学教学的抽象水平，發挥间接经验的作用，发展学生的抽象逻辑思维。在教学中，既要有最基本、最重要的数学知识做基础，又要有科学获取知识的方法做保障，这样学生才能有创造性的、持续发展的源泉和动力。 数学思维是对人类思维实践的理性总结，也是对思维过程的形式概括，包括概念与判断、辨别与比较、分析与综合、归纳与演绎等，它们既是数学思维活动的一般规律，又是获得数学知识的有效手段。为此，追求有深度的数学课堂，教师应引导学生开展有针对性的数学思维活动，使学生在思维训练过程中掌握知识、形成技能、培养能力、发展智力，形成正确的世界观。
三、深度学习，提升素养
深度学习是在教师的引领下，学生围绕具有挑战性的学习主题，全身心积极参与、体验成功、获得发展的有意义的学习过程。面向未来世界的学习，学习者必须获得对概念更深层次的理解。有研究表明，与以识记、复述知识等为特征的浅层学习不同，深度学习是学生想要去理解以及从学习内容中提取意义的结合。理解，不仅仅是单纯字面上的知道、了解、明白，它更强调深层次的思考，即解释、思辨、推理、验证、应用等更有难度、更加复杂和更具综合性的学习结果。但仅仅有这样的理解也不够，还需要学生能够将这些已经理解的知识应用于生活，即理解是学生灵活地运用所知进行思考和行动的能力。
例如上述所列举的“运用平方差公式因式分解”的教学，我们知道平方差公式是乘法公式的一种，而乘法公式是在进行整式乘法运算时，对一些特殊情况归纳出的简化运算的特殊形式。整式乘法法则是一般性的法则，乘法公式是整式乘法法则的特殊情形，是一般法则形式下特殊形式的特征表达。因为学生有了整式乘法公式学习经验的初步积累，所以在教学运用平方差公式因式分解时，更应在深度理解公式上下功夫。也就是要设法让学生经历归纳公式的全过程，而不能仅用一个枯燥的问题思考就引出公式。因此，在该内容的教学中，教师不仅要引导学生理解引例3第（1）至第（3）问的算理是整式乘法平方差公式，第（4）至第（6）问是整式变形，属于逆向使用整式乘法平方差公式对一个多项式进行因式分解，还要特别强调让学生经历归纳公式的过程，要在教学中潜移默化地教给学生一些基本解题规律。这个基本解题规律其实和概念教学是类似的，也要经过归纳公式（举三反一，概括其本质属性）一表示公式（用文字、符号语言表示）一辨析公式（找出相似的概念、式子、定理、图形等的区别和联系，把众多单一知识构建成知识网络，做到解一道题，能联想一类题，会解一串题）的过程。心理学家克鲁切茨基认为，解答数学题时的心理活动有三个基本阶段：一是收集解题所需要的信息;二是对信息进行加工，获得一个答案;三是把有关这个答案的信息保持下來。它的每一个阶段都和一种或多种能力相适应。数学能力较强的学生比能力稍弱的学生能更好地抓住问题的实质，迅速而容易地概括数学材料：在逻辑论证上则倾向于越过中间步骤，灵活变换其他的解题方法;必要时，他们能容易地逆转思维的进程。一般地，数学能力强的学生往往偏于记忆题目中的关系和解题的原理，而能力弱的学生则偏于记忆题目的具体细节。教师在教学中应引导学生关注题目中的关系和解题的原理，重视揭示问题的知识本质。
为此，教师应力求创设前人发现数学概念、公式、定理和性质的过程，让学生深层次理解数学概念、公式、定理和性质等数学知识，这就意味着学生拥有的知识是围绕着数学学科的核心概念、主题及问题组织起来的，是从多角度对其加以表征的，并能在真实、复杂情境中应用的知识。只有学生知道在什么样的情境中应用这些知识，知道在面对新的、真实的情境时如何调适、修正这些知识，在他们能够解释信息、创建模型、解决问题、建立与其他概念和学科及真实情境的关联从而形成理解世界的新方式时，我们才认为发生了真实的、有深度的学习，这样的课堂才算得上是有深度的数学课堂。