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【关键词】 数学课堂实录评析
【文献编码】 doi:10.3969/j.issn.0450-
9889（B）.2011.04.003
【设计理念】 学习是一个探究与发现的过程，是一个认识、实践、提高的过程。在教学中通过组织引导学生探索三角形全等的条件，让学生们在交往中学，在观察中学，在比较中学，努力实行知与行、学与用、识与能的高度统一，培养学生善于“做数学”的能力。
教学目标
1. 知识目标：（1）掌握“边边边”公理；（2）能应用“边边边”公理判定两个三角形全等。
2. 能力目标：（1）培养学生动手操作、观察、分析、归纳获得数学结论的能力；（2）培养学生推理论证能力。
3. 情感态度价值观目标：通过多种手段的活动过程，让学生动手操作，激发学生学习的兴趣，并能通过合作交流解决问题，体会数学在现实生活中的应用，增强学生的自信心。
教学重点：寻找判定三角形全等的条件。
教学难点：三角形全等条件的探索和推理论证方法。
教学方法：“悟学式”教学法。
教学准备：多媒体课件、三角板、圆规、木棒、硬纸、剪刀等。
教学过程
一、 课堂启发（感动。感动是学习的动力）
师：大家知道数学来源于生活，用数学知识又可以解决许多生活中的问题，下面让我们先来看一个与生活有关的数学问题。
（幻灯片演示）皮皮公司接到一批三角形支架的加工任务，客户的要求是所有的三角形支架必须与样本完全一样。质检部门为了使产品顺利过关，提出了明确的要求：要逐一比对所有的三角形支架与样本是否完全一样。技术科的毛毛提出了质疑：为了提高效率，是不是可以找到一个更优化的方法呢？
师：问题中的“完全一样”在数学中是指什么？
生：全等。
师：“逐一比对”是怎样比呢？
生：用重合法，分别比较三角形的三条边和三个角是否重合。
师：也就是验证几个条件?
生：6个。
师：是不是一定要满足这6个条件才能判定两个三角形全等呢？在这里毛毛提出的更优化的方法，实质上是给我们提出了一个什么样的数学问题呢？
生：也就是说，如何判定两个三角形全等需要的条件最少。
师：很好！这节课就让我们一起来研究三角形全等的判定方法。
【点评】 新课伊始，覃老师用简洁的语言提出数学来源于生活又服务于生活，进而引出生活中应用全等三角形的例子，通过引例既复习了全等三角形的定义，又自然地过渡到确定两个三角形全等至少需要哪些条件的问题上来，学得自然新鲜，学生由此“感动”而产生了学习新知的欲望。
二、 预习思考（感觉。感觉是学习的入门）
1. 展示课题。
2. 分组探索三角形全等的条件（一个条件、两个条件、三个条件逐一探讨）。
3. 分组交流“前置作业中的预习问题”。
【点评】本节课善于利用“一张纸”，将要探究的问题设计在前置作业中让学生课前去思考。通过设计预习思考题，让学生对本节课的知识及探究思路有了一个初步的“感觉”。通过预习，学生带着问题和疑惑进入 课堂，确保课堂教学达到高质有效的效果。
三、 问题讨论（感知。感知是学习的基础）
师：当两个三角形满足一个条件，这个条件可能是什么？
生：可能是一条边对应相等，或是一个角对应相等。
师：每种情况下的三角形一定全等吗？
生：不一定，大家看，我用木棒拼成的这两个三角形，它们有一条边对应相等，但这两个三角形却不全等。
生：这副三角板，它们都有一个角等于90度，但这两个三角形不全等。
师：通过这些反例，我们很容易得到一个什么样的结论呢？
生：有一个角或一条边对应相等的两个三角形不一定全等。
师：还可以怎么说？
生：只满足一个条件的两个三角形不一定全等。
师：很好！（课件展示小结）那么当两个三角形满足两个条件时，这两个条件又有可能是什么呢？
生：共三种情形：（1）两边对应相等；（2）两角对应相等；（3）一边一角对应相等。
师：概括得很完整！那么哪个小组的同学来说说对于每种情况下的三角形又是否一定全等呢？
小组（1）：我们组发现每种情况下的三角形都不一定全等。如：……（学生举例）
师：说得真棒！其他小组还有不同看法吗？
小组（2）：举例……这些例子同样说明两个三角形满足两个条件时也不一定全等。
师：还有谁有不同想法呢？
师：通过以上各种不同的例子，我们又得到一个什么样的结论呢？
生：满足两个条件的两个三角形不一定全等。
师：（课件展示）两个条件也不行，那我们只能再增加一个条件了。接下来让我们来研究满足三个条件的情形。那么两个三角形满足三个条件又有哪些情形呢？
生：三边对应相等或三个角对应相等。
师：还有谁有不同补充吗？
生：两角及其一边对应相等或两边及其一角对应相等。
师：说得不错！也就是说两个三角形满足三个条件共有几种情况呢？
生（齐）：4种。
师：（课件展示）下面让我们先来研究第一种：三边对应相等的情形。我们已经学过，给出三边，看是否能组成三角形必须满足什么关系呢？
生：两边之和必须大于第三边。
师：好！下面请同学们用准备好的木棒拼一拼,看是否能组成三角形？如果能，把你拼出的三角形与其他同学的比一比，看谁拼的三角形与你的三角形的三边对应相等？
（随意请出一名学生）
生1：大家看，谁拼的三角形三边与我的三边一样呢？
（生2展示自己所拼的三角形）
师：大家比比看，你们发现了什么？
生（齐）：这两个三角形全等。
师：（再随意找一名学生）将你拼的三角形举起来让大家看一看，谁拼的三角形的三边又和这位同学的一样呢？请拿上来比比看。
（生3到讲台展示成果）
师：通过观察，比较，所得结论与刚才是否一样呢？
生（齐）：一样。
师：也就是说，三边对应相等的两个三角形全等（课件展示）。这个结论对于任意的三角形是否仍然成立呢？如任意△ABC（课件展示），又怎样作另一个三角形，使它的三边与△ABC的三边对应相等？请同学们参考课本讨论交流，说说自己的想法。
点评:覃老师通过直观的教具——长度不一的木棒，引导学生动手操作、交流讨论，展示成果，既培养了学生的说理论证能力，又培养了学生的动手操作、探索、观察、分析、归纳获得数学结论的能力。在课堂中，覃老师只作适当的引导与点评，将问题都交给学生讨论与交流，做到了真正把课堂还给学生，体现了“教以生为本”“学以悟为根”的“悟学”理念。
四、 教材分析（感悟。感悟是学习的升华）
（学生按课本画图，讨论交流画法）
师：哪个同学来说说怎样作呢？
生1：边说作图步骤边画图。画好后提出：大家听明白了吗？
生（多数）：明白了。
生2：我有个疑问：为什么要先作射线呢？直接画线段不行吗？
生1：我觉得先作射线再截取线段相等会比直接作线段误差更小。当然直接画线段也行，但不是很好。
生2：我还有个疑问：第三个顶点为什么这样确定吗？
生1：（有点茫然了）我也没想过，谁能解决这个问题呢？
（生大多数摇头）
生1：让老师来帮我们解决这个问题吧。
（教师分析讲解作图步骤和根据）
师：明白了吗？下面请同学们按照这三个步骤画一个三角形，使它的三边等于小组中的三角形的三边，画好后将其剪下，再与原三角形比一比。（课前每个小组都准备有一个三角形）
（学生画图并将画好的三角形剪下，比较，观察）
师：（请一名学生展示结果）经过观察比较，你发现了什么？
生：发现所画的三角形与原三角形是全等的。
师：其他同学的结论是否一样呢？
生（齐）：一样。
师：因此，我们知道：“三边对应相等的两个三角形全等”这个结论对于任意的三角形也是成立的。我们把这个结论叫做三角形的判定定理1。根据这个定理我们可以知道，只要一个三角形的三边确定了，这个三角形的形状和大小也随之确定了，我们把这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的稳定性在生活中有许多应用，谁能来举个例子呢？
生1：在木门上加一根木条构成三角形可以将木门确定下来。
生2：自行车的三角形支架。
生3：许多庄稼棚里的蔬菜大棚用的三角形支架。
……
师：说得很好！大家都很善于观察生活！三角形的稳定性在生活中还有很多应用，请同学们一起来欣赏（课件演示）。
（学生欣赏）
师：这么好的一个定理怎样用它来证明两个三角形全等呢？下面让我们先来看一个例题，至于三个条件中的其他情况我们下节课再研究。
师：展示例题（略），要证两个三角形全等，需要几个条件呢？这几个条件是什么呢？
（个别学生回答）
师：你怎样得到这三个条件呢？
生：题目已经直接给出一对边，而有一对边又刚好是公共边，由中点的条件又可以得到一对边对应相等，这样具有三对边对应相等，就可以证明这两个三角形全等了。
师：说得很好！下面我们一起来看一看证明过程（课件演示证明过程）。
……
点评：对于定理的得来，覃老师并不是强塞给学生，而是让学生经历了从“特殊”到“一般”的一个探讨过程。先是用手中现有的木棒拼图，再拓展到任意三角形，通过学生自学课本画图，剪图，比较，最后让学生感悟出定理，归纳定理。由于教师能大胆放手，所以在学生自学领悟的过程中，学生敢于提出“质疑”，这也是本节课的一个亮点。学生的质疑为解决本节课的难点作了一个很好的铺垫。数学课就应这样，敢于放手，相信学生，才能让学生真正地去“感悟”数学知识，体会学数学的乐趣。
五、 课堂练习：（略）
总评：本节课教学设计的最大亮点是符合数学学科的特点，体现数学的精神实质，符合学生的认知规律和心理特征，有利于激发学生的学习兴趣；在呈现数学知识的同时，重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。在进行课堂教学设计时，面向全体学生，因材施教，针对不同知识基础和能力的学生，设计出符合不同层次学生在同一课堂上都能得到提高的教学方案，以千差万别的方式练就千差万别的学生。使得“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”。
整个教学过程，较好地体现了“教以生为本，学以悟为根”“教为了不教，学为了活学”等“悟学”理念。
“悟学”理念中的“学习方略”在本节课中也有明显的体现。如从一个条件，到两个条件、三个条件的探究，教师都是通过引导学生举例，小组合作动手拼图，剪图，然后进行比较说理，最后归纳结论，真正做到了培养学生“善于观察”、“善于思考”、“善于决策”、“善于实践”、“善于总结”的能力。（梁泽友吴世昌整理）（责编黄珍平）
【文献编码】 doi:10.3969/j.issn.0450-
9889（B）.2011.04.003
【设计理念】 学习是一个探究与发现的过程，是一个认识、实践、提高的过程。在教学中通过组织引导学生探索三角形全等的条件，让学生们在交往中学，在观察中学，在比较中学，努力实行知与行、学与用、识与能的高度统一，培养学生善于“做数学”的能力。
教学目标
1. 知识目标：（1）掌握“边边边”公理；（2）能应用“边边边”公理判定两个三角形全等。
2. 能力目标：（1）培养学生动手操作、观察、分析、归纳获得数学结论的能力；（2）培养学生推理论证能力。
3. 情感态度价值观目标：通过多种手段的活动过程，让学生动手操作，激发学生学习的兴趣，并能通过合作交流解决问题，体会数学在现实生活中的应用，增强学生的自信心。
教学重点：寻找判定三角形全等的条件。
教学难点：三角形全等条件的探索和推理论证方法。
教学方法：“悟学式”教学法。
教学准备：多媒体课件、三角板、圆规、木棒、硬纸、剪刀等。
教学过程
一、 课堂启发（感动。感动是学习的动力）
师：大家知道数学来源于生活，用数学知识又可以解决许多生活中的问题，下面让我们先来看一个与生活有关的数学问题。
（幻灯片演示）皮皮公司接到一批三角形支架的加工任务，客户的要求是所有的三角形支架必须与样本完全一样。质检部门为了使产品顺利过关，提出了明确的要求：要逐一比对所有的三角形支架与样本是否完全一样。技术科的毛毛提出了质疑：为了提高效率，是不是可以找到一个更优化的方法呢？
师：问题中的“完全一样”在数学中是指什么？
生：全等。
师：“逐一比对”是怎样比呢？
生：用重合法，分别比较三角形的三条边和三个角是否重合。
师：也就是验证几个条件?
生：6个。
师：是不是一定要满足这6个条件才能判定两个三角形全等呢？在这里毛毛提出的更优化的方法，实质上是给我们提出了一个什么样的数学问题呢？
生：也就是说，如何判定两个三角形全等需要的条件最少。
师：很好！这节课就让我们一起来研究三角形全等的判定方法。
【点评】 新课伊始，覃老师用简洁的语言提出数学来源于生活又服务于生活，进而引出生活中应用全等三角形的例子，通过引例既复习了全等三角形的定义，又自然地过渡到确定两个三角形全等至少需要哪些条件的问题上来，学得自然新鲜，学生由此“感动”而产生了学习新知的欲望。
二、 预习思考（感觉。感觉是学习的入门）
1. 展示课题。
2. 分组探索三角形全等的条件（一个条件、两个条件、三个条件逐一探讨）。
3. 分组交流“前置作业中的预习问题”。
【点评】本节课善于利用“一张纸”，将要探究的问题设计在前置作业中让学生课前去思考。通过设计预习思考题，让学生对本节课的知识及探究思路有了一个初步的“感觉”。通过预习，学生带着问题和疑惑进入 课堂，确保课堂教学达到高质有效的效果。
三、 问题讨论（感知。感知是学习的基础）
师：当两个三角形满足一个条件，这个条件可能是什么？
生：可能是一条边对应相等，或是一个角对应相等。
师：每种情况下的三角形一定全等吗？
生：不一定，大家看，我用木棒拼成的这两个三角形，它们有一条边对应相等，但这两个三角形却不全等。
生：这副三角板，它们都有一个角等于90度，但这两个三角形不全等。
师：通过这些反例，我们很容易得到一个什么样的结论呢？
生：有一个角或一条边对应相等的两个三角形不一定全等。
师：还可以怎么说？
生：只满足一个条件的两个三角形不一定全等。
师：很好！（课件展示小结）那么当两个三角形满足两个条件时，这两个条件又有可能是什么呢？
生：共三种情形：（1）两边对应相等；（2）两角对应相等；（3）一边一角对应相等。
师：概括得很完整！那么哪个小组的同学来说说对于每种情况下的三角形又是否一定全等呢？
小组（1）：我们组发现每种情况下的三角形都不一定全等。如：……（学生举例）
师：说得真棒！其他小组还有不同看法吗？
小组（2）：举例……这些例子同样说明两个三角形满足两个条件时也不一定全等。
师：还有谁有不同想法呢？
师：通过以上各种不同的例子，我们又得到一个什么样的结论呢？
生：满足两个条件的两个三角形不一定全等。
师：（课件展示）两个条件也不行，那我们只能再增加一个条件了。接下来让我们来研究满足三个条件的情形。那么两个三角形满足三个条件又有哪些情形呢？
生：三边对应相等或三个角对应相等。
师：还有谁有不同补充吗？
生：两角及其一边对应相等或两边及其一角对应相等。
师：说得不错！也就是说两个三角形满足三个条件共有几种情况呢？
生（齐）：4种。
师：（课件展示）下面让我们先来研究第一种：三边对应相等的情形。我们已经学过，给出三边，看是否能组成三角形必须满足什么关系呢？
生：两边之和必须大于第三边。
师：好！下面请同学们用准备好的木棒拼一拼,看是否能组成三角形？如果能，把你拼出的三角形与其他同学的比一比，看谁拼的三角形与你的三角形的三边对应相等？
（随意请出一名学生）
生1：大家看，谁拼的三角形三边与我的三边一样呢？
（生2展示自己所拼的三角形）
师：大家比比看，你们发现了什么？
生（齐）：这两个三角形全等。
师：（再随意找一名学生）将你拼的三角形举起来让大家看一看，谁拼的三角形的三边又和这位同学的一样呢？请拿上来比比看。
（生3到讲台展示成果）
师：通过观察，比较，所得结论与刚才是否一样呢？
生（齐）：一样。
师：也就是说，三边对应相等的两个三角形全等（课件展示）。这个结论对于任意的三角形是否仍然成立呢？如任意△ABC（课件展示），又怎样作另一个三角形，使它的三边与△ABC的三边对应相等？请同学们参考课本讨论交流，说说自己的想法。
点评:覃老师通过直观的教具——长度不一的木棒，引导学生动手操作、交流讨论，展示成果，既培养了学生的说理论证能力，又培养了学生的动手操作、探索、观察、分析、归纳获得数学结论的能力。在课堂中，覃老师只作适当的引导与点评，将问题都交给学生讨论与交流，做到了真正把课堂还给学生，体现了“教以生为本”“学以悟为根”的“悟学”理念。
四、 教材分析（感悟。感悟是学习的升华）
（学生按课本画图，讨论交流画法）
师：哪个同学来说说怎样作呢？
生1：边说作图步骤边画图。画好后提出：大家听明白了吗？
生（多数）：明白了。
生2：我有个疑问：为什么要先作射线呢？直接画线段不行吗？
生1：我觉得先作射线再截取线段相等会比直接作线段误差更小。当然直接画线段也行，但不是很好。
生2：我还有个疑问：第三个顶点为什么这样确定吗？
生1：（有点茫然了）我也没想过，谁能解决这个问题呢？
（生大多数摇头）
生1：让老师来帮我们解决这个问题吧。
（教师分析讲解作图步骤和根据）
师：明白了吗？下面请同学们按照这三个步骤画一个三角形，使它的三边等于小组中的三角形的三边，画好后将其剪下，再与原三角形比一比。（课前每个小组都准备有一个三角形）
（学生画图并将画好的三角形剪下，比较，观察）
师：（请一名学生展示结果）经过观察比较，你发现了什么？
生：发现所画的三角形与原三角形是全等的。
师：其他同学的结论是否一样呢？
生（齐）：一样。
师：因此，我们知道：“三边对应相等的两个三角形全等”这个结论对于任意的三角形也是成立的。我们把这个结论叫做三角形的判定定理1。根据这个定理我们可以知道，只要一个三角形的三边确定了，这个三角形的形状和大小也随之确定了，我们把这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的稳定性在生活中有许多应用，谁能来举个例子呢？
生1：在木门上加一根木条构成三角形可以将木门确定下来。
生2：自行车的三角形支架。
生3：许多庄稼棚里的蔬菜大棚用的三角形支架。
……
师：说得很好！大家都很善于观察生活！三角形的稳定性在生活中还有很多应用，请同学们一起来欣赏（课件演示）。
（学生欣赏）
师：这么好的一个定理怎样用它来证明两个三角形全等呢？下面让我们先来看一个例题，至于三个条件中的其他情况我们下节课再研究。
师：展示例题（略），要证两个三角形全等，需要几个条件呢？这几个条件是什么呢？
（个别学生回答）
师：你怎样得到这三个条件呢？
生：题目已经直接给出一对边，而有一对边又刚好是公共边，由中点的条件又可以得到一对边对应相等，这样具有三对边对应相等，就可以证明这两个三角形全等了。
师：说得很好！下面我们一起来看一看证明过程（课件演示证明过程）。
……
点评：对于定理的得来，覃老师并不是强塞给学生，而是让学生经历了从“特殊”到“一般”的一个探讨过程。先是用手中现有的木棒拼图，再拓展到任意三角形，通过学生自学课本画图，剪图，比较，最后让学生感悟出定理，归纳定理。由于教师能大胆放手，所以在学生自学领悟的过程中，学生敢于提出“质疑”，这也是本节课的一个亮点。学生的质疑为解决本节课的难点作了一个很好的铺垫。数学课就应这样，敢于放手，相信学生，才能让学生真正地去“感悟”数学知识，体会学数学的乐趣。
五、 课堂练习：（略）
总评：本节课教学设计的最大亮点是符合数学学科的特点，体现数学的精神实质，符合学生的认知规律和心理特征，有利于激发学生的学习兴趣；在呈现数学知识的同时，重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。在进行课堂教学设计时，面向全体学生，因材施教，针对不同知识基础和能力的学生，设计出符合不同层次学生在同一课堂上都能得到提高的教学方案，以千差万别的方式练就千差万别的学生。使得“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”。
整个教学过程，较好地体现了“教以生为本，学以悟为根”“教为了不教，学为了活学”等“悟学”理念。
“悟学”理念中的“学习方略”在本节课中也有明显的体现。如从一个条件，到两个条件、三个条件的探究，教师都是通过引导学生举例，小组合作动手拼图，剪图，然后进行比较说理，最后归纳结论，真正做到了培养学生“善于观察”、“善于思考”、“善于决策”、“善于实践”、“善于总结”的能力。（梁泽友吴世昌整理）（责编黄珍平）