三角形中一个有趣的面积问题

• 作 者: 唐文清
• 出 处: 考试周刊
• 发表日期: 2011年56期
• 关键词: 三角形面积 题设 已知点 三等分 共线 三边

　　本文介绍一个关于三角形面积问题的结论，供读者参考.
　　结论：若P是△ABC内的一点，且x+y+z=.（x，y，z∈R）则S∶S∶S=x∶y∶z，且S+S+S=.
　　证明：如图，分别在直线PA，PB，PC上取A′，B′，C′，使得=x，=y，PC′=z，则++=.
　　故P是△A′B′C′的重心，则S=S=S=S，而===，即S=yzS.
　　同理，S=xzS，S=xyS，∴S∶S∶S=∶∶=x∶y∶z，而x+y+z=，
　　∴xS+yS+zS=S=
　　∴xyzS+yxzS+zxyS=.
　　∴S+S+S=.
　　不难得到下述结论：
　　（1）若P是△ABC的重心，则S∶S∶S=1∶1∶1，且S+S+S=.
　　（2）若P是△ABC的内心，S∶S∶S=a∶b∶c（其中a，b，c为△ABC的三边），且a+b+c=.
　　（3）若P是△ABC的外心，则S∶S∶S=sin2A∶sin2B∶sin2C或S∶S∶S=acosA∶bcosB∶csocC（其中a、b、c为△ABC的三边，A、B、C为△ABC的三内角），且sin2A+sin2B+sin2C=，或acosA+bcosB+ccosC=0.
　　（4）若P是△ABC的垂心，则S∶S∶S=tanA∶tanB∶tanC（其中A、B、C为△ABC的三内角），且tanA+tanB+tanC=.
　　下面举例说明此结论的应用.
　　例1.（2004年全国数学联赛试题）设点O在△ABC内部，且有+2+3=.则△ABC的面积与△AOC的面积的比为（）
　　A.2. B.C.3 D.
　　解析：由上述结论可知S∶S∶S=1∶2∶3，故==3.故选C.
　　例2.（2008年全国数学联赛江苏预赛试题）已知点O在△ABC内部，+2+2=.△ABC与△OCB的面积之比为.
　　解析：由上述结论可知S∶S=5∶1.
　　例3.（2006年全国数学联赛吉林预赛试题）已知P是△ABC内的一点，且3+4+5=，那么，△APB，△BPC，△APC的面积之比为.
　　解析：由上述结论可知S∶S∶S=5∶3∶4.
　　例4.（2008年全国数学联赛吉林预赛试题）已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足=•++2，则P点一定为三角形的（）
　　A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点（非重心）
　　C.重心 D.AB边的中点
　　解析：由题设O是三角形ABC的重心，所以由上述结论可知++=，因此=•++2=（++4）=•（-+4）=，故P在AB边中线的三等分点处（非重心），故选B.
　　例5.设P是△ABC内的一点，且满足=+，则=，S+S+SPC=.
　　解析：由题设得=（-）+（-），整理得：9+4+3=，由上述结论可S∶S∶S=9∶4∶3，∴=，S+S+S=.
　　例6.（2009年全国数学联赛吉林预赛试题）已知I是△ABC内的内心，AC=2，BC=3，AB=4，若=x+y，则x+y的值为（）
　　A. B. C. D.
　　解析：由已知得=x（-）+y（-），整理得（1-x-y）+x+y=，由上述结论可知（1-x-y）∶x∶y=a∶b∶c=3∶2∶4，故x+y=+=，选B.
　　
　　参考文献：
　　［1］中国数学会普及工作委员会.2010高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）.华东师范大学出版社.