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【摘要】排列组合是高中数学的重点和难点，为后面的概率统计打基础。这类试题虽然在高考中所占比重不大，但试题都具有一定的灵活性和综合性，本文就排列组合问题常见题型的求解方法进行探讨。
【关键词】高考 排列组合 解题技巧
排列组合问题是高中数学的重要内容，又是衔接初等数学与高等数学的纽带，也是高考的必考内容。明确高考中排列组合与概率统计问题的命题特点，掌握其解题策略，对于在高考数学中取得优异成绩尤为重要。数学教学中，提高学生解排列组合题的有效途径是将一些常见题型进行方法归类，构建模型解题，这样有利于学生认识解题模式，进而熟练应用。
一、相邻问题捆绑法
所谓捆绑法，指在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先整体考虑，将相邻元素视作一个整体参与排序，然后再单独考虑这个整体内部各元素间的顺序。捆绑法一般都应用在不同物体的排序问题中。
例1 5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？ A.240 B.320 C.450 D.480 正确答是B。
解析：采用捆绑法把3个女生视为一个元素，与5个男生进行排列，共有 A（6，6）=6x5x4x3x2种，然后3个女生内部再进行排列，有A（3，3）=6种，两次是分步完成的，应采用乘法，所以排法共有：A（6，6） ×A（3，3） =320（种）。
二、不相邻问题插空法
对于要求某些元素不能相邻，其他元素将其隔开的问题，可以先把其他元素排好，再将要求不相邻的元素插入它们的间隙或两端的位置。
例2 七个人并排站成一行，如果要求甲、乙两个人必须不相邻，那么不同排法的种数是（ ）
A.1440种 B.3600种 C.4820种 D.4800种
分析：除甲、乙外，其余5个人的排列数为种，再用甲、乙去插6个空位有种，不同排法种数是3600种，故选B。
三、无差别问题隔板法
把无差别的元素分配到有差别的位置，常用隔板模型法。
例3 將12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有（ ）种。
分析：将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11个间隔中选出3个，放上“隔板”，若记“|”看作隔板，则如图00 | 0000 | 0000 | 00隔板将一排球分成四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即上图中1，2，3，4四个盒子相应放入2个，4个，4个，2个小球，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11个间隔中选出3个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有165种。
四、定位问题优先法
对于有限制条件的排列问题，首先考虑受限制的元素（或位置），再考虑其余元素（或位置）。
例4 从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（ ） A.280种B .96种 C.180种 D.240种 正确答案是D。
分析：由于甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，所以翻译工作就是“特殊”位置，因此翻译工作从剩下的四名志愿者中任选一人有C（4，1）=4种不同的选法，再从其余的5人中任选3人从事导游、导购、保洁三项不同的工作有A（5，3）=10种不同的选法，所以不同的选派方案共有C（4，1）×A（5，3）=240种，所以选D。
五、定序问题缩倍法
在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序称为定序问题，这类问题可用缩小倍数的方法求解较为方便。
例5 A、B、C、D、E五个人并排站成一排，如果B必须站A的右边（A、B可不相邻），那么不同的排法种数有（ ） A.24种 B.60种 C.90种 D.120种
分析：若不考虑限制条件，则有Ai种排法，而A、B之间排法有种，故B站A右边的排法只有一种符合条件，故符合条件的排法有60种，故选B。
六、交叉问题集合法
某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式n（AUB）=n（A）+n（B）-n（AnB）来求解。
例6 从6名运动员中选出4个参加4×100m接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同参赛方法？
分析：设全集I={6人中任取4人参赛的排列}，A={甲跑第一棒的排列}，B={乙跑第四棒的排列}，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有： n（I）-n（A）-n（B）+n（AnB）（种）。
七、“至多”“至少”问题分类、排杂法
关于“至多”“至少”类型的组合问题，可用分类的方法或排杂的方法。
例7 从5个学生中选三人参加代表会，其中甲、乙两人中至少一人在内，共有多少种不同选法？ 分析：（分类法）若甲、乙中只选一人有种；若甲、乙都选有种。应用分类计数原理有9（种）；（排杂法）从5人中任选3人，再减去甲、乙都不在内的选法即可。故所求为9（种）。
总之，在解决排列、组合综合性问题时，必须深刻理解排列与组合的概念，能够熟练确定一个问题是排列问题还是组合问题，避免重复和遗漏，总结规律、掌握技巧，这样可以提高分析问题和解决问题的能力。
【关键词】高考 排列组合 解题技巧
排列组合问题是高中数学的重要内容，又是衔接初等数学与高等数学的纽带，也是高考的必考内容。明确高考中排列组合与概率统计问题的命题特点，掌握其解题策略，对于在高考数学中取得优异成绩尤为重要。数学教学中，提高学生解排列组合题的有效途径是将一些常见题型进行方法归类，构建模型解题，这样有利于学生认识解题模式，进而熟练应用。
一、相邻问题捆绑法
所谓捆绑法，指在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先整体考虑，将相邻元素视作一个整体参与排序，然后再单独考虑这个整体内部各元素间的顺序。捆绑法一般都应用在不同物体的排序问题中。
例1 5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？ A.240 B.320 C.450 D.480 正确答是B。
解析：采用捆绑法把3个女生视为一个元素，与5个男生进行排列，共有 A（6，6）=6x5x4x3x2种，然后3个女生内部再进行排列，有A（3，3）=6种，两次是分步完成的，应采用乘法，所以排法共有：A（6，6） ×A（3，3） =320（种）。
二、不相邻问题插空法
对于要求某些元素不能相邻，其他元素将其隔开的问题，可以先把其他元素排好，再将要求不相邻的元素插入它们的间隙或两端的位置。
例2 七个人并排站成一行，如果要求甲、乙两个人必须不相邻，那么不同排法的种数是（ ）
A.1440种 B.3600种 C.4820种 D.4800种
分析：除甲、乙外，其余5个人的排列数为种，再用甲、乙去插6个空位有种，不同排法种数是3600种，故选B。
三、无差别问题隔板法
把无差别的元素分配到有差别的位置，常用隔板模型法。
例3 將12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有（ ）种。
分析：将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11个间隔中选出3个，放上“隔板”，若记“|”看作隔板，则如图00 | 0000 | 0000 | 00隔板将一排球分成四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即上图中1，2，3，4四个盒子相应放入2个，4个，4个，2个小球，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11个间隔中选出3个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有165种。
四、定位问题优先法
对于有限制条件的排列问题，首先考虑受限制的元素（或位置），再考虑其余元素（或位置）。
例4 从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（ ） A.280种B .96种 C.180种 D.240种 正确答案是D。
分析：由于甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，所以翻译工作就是“特殊”位置，因此翻译工作从剩下的四名志愿者中任选一人有C（4，1）=4种不同的选法，再从其余的5人中任选3人从事导游、导购、保洁三项不同的工作有A（5，3）=10种不同的选法，所以不同的选派方案共有C（4，1）×A（5，3）=240种，所以选D。
五、定序问题缩倍法
在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序称为定序问题，这类问题可用缩小倍数的方法求解较为方便。
例5 A、B、C、D、E五个人并排站成一排，如果B必须站A的右边（A、B可不相邻），那么不同的排法种数有（ ） A.24种 B.60种 C.90种 D.120种
分析：若不考虑限制条件，则有Ai种排法，而A、B之间排法有种，故B站A右边的排法只有一种符合条件，故符合条件的排法有60种，故选B。
六、交叉问题集合法
某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式n（AUB）=n（A）+n（B）-n（AnB）来求解。
例6 从6名运动员中选出4个参加4×100m接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同参赛方法？
分析：设全集I={6人中任取4人参赛的排列}，A={甲跑第一棒的排列}，B={乙跑第四棒的排列}，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有： n（I）-n（A）-n（B）+n（AnB）（种）。
七、“至多”“至少”问题分类、排杂法
关于“至多”“至少”类型的组合问题，可用分类的方法或排杂的方法。
例7 从5个学生中选三人参加代表会，其中甲、乙两人中至少一人在内，共有多少种不同选法？ 分析：（分类法）若甲、乙中只选一人有种；若甲、乙都选有种。应用分类计数原理有9（种）；（排杂法）从5人中任选3人，再减去甲、乙都不在内的选法即可。故所求为9（种）。
总之，在解决排列、组合综合性问题时，必须深刻理解排列与组合的概念，能够熟练确定一个问题是排列问题还是组合问题，避免重复和遗漏，总结规律、掌握技巧，这样可以提高分析问题和解决问题的能力。