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微积分，它是数学发展史上继欧氏几何后的又一个具有划时代意义的伟大创造，被称为数学史上的里程碑．它的创立，被誉为“人类精神的最高胜利”．
微积分的思想出现得很早，公元前300多年，古希腊数学家，欧多克索斯的穷竭法就是最早的微分思想；而古希腊另一位大名鼎鼎的数学家阿基米德求球的体积方法则是最早的积分思想．我国数学家刘徵，祖等也对微积分做出了贡献，刘徵的割圆术是他的最著名的一项工作，他从圆内接正六边形开始，依次得正十二边形，正二十四边形，……“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这就是极限思想，由此证明了圆面积公式．在推导“牟合方盖”体积过程中，祖提出了“幂势既同，则积不容异”的原理，即“祖原理”．16世纪到17世纪，微积分观念得到了一定的发展和广泛应用，在此基础上，两位科学巨匠牛顿和莱布尼茨分别独立创造了微积分学，他们不仅提出了完整的微分与积分概念，建立了比较完整的学科体系，而且把微积分运算广泛应用于物理学、力学、几何学与函数分析，获得了巨大的成功．
1 导数的背景
导数是微积分的核心概念之一，导数产生的背景主要有三类问题：
（1） 物理背景——瞬时速度，已知物体运动的路程与时间关系，求物体在任意时刻的速度和加速度等，困难在于，速度和加速度每时每刻都在变化，计算平均速度可用运动的时间去除运动的距离，但瞬时速度，运动的距离和时间都无限趋近于0，问题由此产生．
（2） 几何背景——切线的斜率，这是一个几何问题，但对于科学应用具有重大意义，例如在光学中，透镜的设计就用到曲线的切线和法线知识，在运动中也遇到曲线的切线问题，如何求轨迹上任一点处的切线，这是一个问题．
（3） 现实背景——变化率的问题，如何解决生活实际中诸如物种繁殖率、文物年代测定、人口增长率等众多问题，这是人们过去一直想解开的谜团，也是我们现在需要进一步探究的现实问题．
由此可见，导数产生于现实问题，它在生产、生活中具有重要应用价值，并在物理、化学、生物、天文、地理及经济等各种科学领域和生活实际中都有广泛的应用．
2 导数在现实问题探究中的应用
自然现象瞬息万变，但变化中很多又有规律可循，而导数的概念蕴涵了运动、变化和无限，所以，运动变化而又有一定规律的自然界，导数是非常重要的研究工具．
案例1：放射性年龄测定法
这样就估计出马王堆一号墓的大致年代是2000年前（西汉末年）．类似地，用微积分知识可以鉴定油画的真伪等．
3 导数在生活优化问题中的应用
生活中经常遇到求用料最省、利润最大、效率最高、设计最优等问题，这些通常称为最优问题．从导数产生的背景，和导数的意义知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，在高中课程标准系列1选修1-1和系列2选修2-2模块“导数及其应用”中，通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数的含义，体会导数的思想及其内涵；应用导数探索函数的单调、极值等性质及其在实际中的应用，感受导数在解决数学问题和实际中的作用，体会微积分的产生对人类文化发展的价值．
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
微积分的思想出现得很早，公元前300多年，古希腊数学家，欧多克索斯的穷竭法就是最早的微分思想；而古希腊另一位大名鼎鼎的数学家阿基米德求球的体积方法则是最早的积分思想．我国数学家刘徵，祖等也对微积分做出了贡献，刘徵的割圆术是他的最著名的一项工作，他从圆内接正六边形开始，依次得正十二边形，正二十四边形，……“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这就是极限思想，由此证明了圆面积公式．在推导“牟合方盖”体积过程中，祖提出了“幂势既同，则积不容异”的原理，即“祖原理”．16世纪到17世纪，微积分观念得到了一定的发展和广泛应用，在此基础上，两位科学巨匠牛顿和莱布尼茨分别独立创造了微积分学，他们不仅提出了完整的微分与积分概念，建立了比较完整的学科体系，而且把微积分运算广泛应用于物理学、力学、几何学与函数分析，获得了巨大的成功．
1 导数的背景
导数是微积分的核心概念之一，导数产生的背景主要有三类问题：
（1） 物理背景——瞬时速度，已知物体运动的路程与时间关系，求物体在任意时刻的速度和加速度等，困难在于，速度和加速度每时每刻都在变化，计算平均速度可用运动的时间去除运动的距离，但瞬时速度，运动的距离和时间都无限趋近于0，问题由此产生．
（2） 几何背景——切线的斜率，这是一个几何问题，但对于科学应用具有重大意义，例如在光学中，透镜的设计就用到曲线的切线和法线知识，在运动中也遇到曲线的切线问题，如何求轨迹上任一点处的切线，这是一个问题．
（3） 现实背景——变化率的问题，如何解决生活实际中诸如物种繁殖率、文物年代测定、人口增长率等众多问题，这是人们过去一直想解开的谜团，也是我们现在需要进一步探究的现实问题．
由此可见，导数产生于现实问题，它在生产、生活中具有重要应用价值，并在物理、化学、生物、天文、地理及经济等各种科学领域和生活实际中都有广泛的应用．
2 导数在现实问题探究中的应用
自然现象瞬息万变，但变化中很多又有规律可循，而导数的概念蕴涵了运动、变化和无限，所以，运动变化而又有一定规律的自然界，导数是非常重要的研究工具．
案例1：放射性年龄测定法
这样就估计出马王堆一号墓的大致年代是2000年前（西汉末年）．类似地，用微积分知识可以鉴定油画的真伪等．
3 导数在生活优化问题中的应用
生活中经常遇到求用料最省、利润最大、效率最高、设计最优等问题，这些通常称为最优问题．从导数产生的背景，和导数的意义知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，在高中课程标准系列1选修1-1和系列2选修2-2模块“导数及其应用”中，通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数的含义，体会导数的思想及其内涵；应用导数探索函数的单调、极值等性质及其在实际中的应用，感受导数在解决数学问题和实际中的作用，体会微积分的产生对人类文化发展的价值．
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