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【摘要】近年来，涉及图形运动的几何问题经常出现在各类考试的压轴题中，常见的图形变化问题是通过变化图形的位置，引起图形的面积发生改变。本文结合近年广东各地中考数学卷，将此类问题分为动点型、动线型、图形平移型、图形折叠型等四种类型进行分析，总结此类问题的解题思路、解题技巧。
【关键词】图形面积 运动变量
一、动点型
这类题考查学生数形结合、化归的数学思想。解这类题在于“动静结合”“动中求静”。解答的方法是观察由于点的运动，所求的几何图形与哪些图形存在关系，从而进一步求出图形面积与运动变量的函数关系式。
例1 （2012湛江）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上。O为原点，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8）。动点M从点O出发，沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每秒5/3个单位的速度运动。当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N运动的时间为t秒（t>0），（1）当t=3秒时，直接写出点N的坐标，并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式；（2）在此运动的过程中，△MNA的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；（3）当t为何值时，△MNA是一个等腰三角形？
【分析】△MNA中，过N作MA边上的高NC，先由∠BAO的正弦值求出NC的表达式，而AM=OA-OM，由三角形的面积公式可得到关于S△MNA关于t的函数关系式，由二次函数的最值原理即可求出△MNA的最大面积。
二、动线型
此类题以平面直角坐标系为载体，要求直线平移过程中图形的面积。由于直线运动过程中所求的几何图形的形状和大小发生变化时，相应的时间分界点是确定的。于是图形由“动”变“静”，再设法分别求解。用分类的思想画图在解这类动态几何题时非常有效，它可以帮助我们理清思路，击破难点。解答此类题的方法是画出各个时刻的图形，根据图形形状确定时间分界点，从而分类讨论求解。
例2 （2012广东省）如图，抛物线
【分析】直线l∥BC，可得出△AED∽△ABC，它们的面积比等于相似比的平方，由此得到关于s、m的函数关系式；根据题目条件：点E与点A、B不重合，可确定m的取值范围。
三、图形平移型
此类题考查学生的空间想象力和动手操作能力，考查数形结合、分类讨论的数学思想。完成此类题，应先探索图形运动的特点和规律，作出几个符合条件的草图，然后根据重叠部分的不同形状来确定运动时间的变化范围，从而分类求出面积关于时间的函数关系式。
例3（2008年广东省）将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边AB重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC与BD相交于点E，连结CD.（1）填空：如图1，AC= ，BD= ；四边形ABCD是 梯形；（2）请写出图1中所有的相似三角形（不含全等三角形）；（3）如图2，若以AB所在直线为x轴，过点A垂直于AB的直线为y轴建立如图2的平面直角坐标系，保持ΔABD不动，将ΔABC向x轴的正方向平移到ΔFGH的位置，FH与BD相交于点P，设AF=t，ΔFBP面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值值范围。
【分析】过P作出△FBP的高，△FBP面积应等于FB×PK÷2，易得FB=AB-AF=8-k；则KB等于FB的一半，利用30°的正切值可求得FK的值。注意用t表示的线段应大于0。
四、图形折叠型
此类题融合轴对称、相似等知识，着重考查学生的空间想象力和动手操作能力。在此类题中，动点运动的过程中，折叠前后的图形始终保持全等。解决此类问题，应先弄清楚图形的变化过程，作出符合条件的草图，并抓住图形在变化过程中不变的量，然后根据重叠部分的不同形状来确定运动变量的变化范围，从而分类求出面积关于运动变量的函数关系式。
总而言之，解决动态几何题时，用分类的思想画图，寻求运动中的特殊位置，在“动”中求“静”，在“静”中探求“动”的一般规律。我们在求图形面积与运动变量的函数关系式时，要注意结合图形特点，在变与不变的思考中，紧紧抓住不变的因素，确定运动变量的分界点，利用数形结合的数学思想分类解决问题。
【关键词】图形面积 运动变量
一、动点型
这类题考查学生数形结合、化归的数学思想。解这类题在于“动静结合”“动中求静”。解答的方法是观察由于点的运动，所求的几何图形与哪些图形存在关系，从而进一步求出图形面积与运动变量的函数关系式。
例1 （2012湛江）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上。O为原点，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8）。动点M从点O出发，沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每秒5/3个单位的速度运动。当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N运动的时间为t秒（t>0），（1）当t=3秒时，直接写出点N的坐标，并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式；（2）在此运动的过程中，△MNA的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；（3）当t为何值时，△MNA是一个等腰三角形？
【分析】△MNA中，过N作MA边上的高NC，先由∠BAO的正弦值求出NC的表达式，而AM=OA-OM，由三角形的面积公式可得到关于S△MNA关于t的函数关系式，由二次函数的最值原理即可求出△MNA的最大面积。
二、动线型
此类题以平面直角坐标系为载体，要求直线平移过程中图形的面积。由于直线运动过程中所求的几何图形的形状和大小发生变化时，相应的时间分界点是确定的。于是图形由“动”变“静”，再设法分别求解。用分类的思想画图在解这类动态几何题时非常有效，它可以帮助我们理清思路，击破难点。解答此类题的方法是画出各个时刻的图形，根据图形形状确定时间分界点，从而分类讨论求解。
例2 （2012广东省）如图，抛物线
【分析】直线l∥BC，可得出△AED∽△ABC，它们的面积比等于相似比的平方，由此得到关于s、m的函数关系式；根据题目条件：点E与点A、B不重合，可确定m的取值范围。
三、图形平移型
此类题考查学生的空间想象力和动手操作能力，考查数形结合、分类讨论的数学思想。完成此类题，应先探索图形运动的特点和规律，作出几个符合条件的草图，然后根据重叠部分的不同形状来确定运动时间的变化范围，从而分类求出面积关于时间的函数关系式。
例3（2008年广东省）将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边AB重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC与BD相交于点E，连结CD.（1）填空：如图1，AC= ，BD= ；四边形ABCD是 梯形；（2）请写出图1中所有的相似三角形（不含全等三角形）；（3）如图2，若以AB所在直线为x轴，过点A垂直于AB的直线为y轴建立如图2的平面直角坐标系，保持ΔABD不动，将ΔABC向x轴的正方向平移到ΔFGH的位置，FH与BD相交于点P，设AF=t，ΔFBP面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值值范围。
【分析】过P作出△FBP的高，△FBP面积应等于FB×PK÷2，易得FB=AB-AF=8-k；则KB等于FB的一半，利用30°的正切值可求得FK的值。注意用t表示的线段应大于0。
四、图形折叠型
此类题融合轴对称、相似等知识，着重考查学生的空间想象力和动手操作能力。在此类题中，动点运动的过程中，折叠前后的图形始终保持全等。解决此类问题，应先弄清楚图形的变化过程，作出符合条件的草图，并抓住图形在变化过程中不变的量，然后根据重叠部分的不同形状来确定运动变量的变化范围，从而分类求出面积关于运动变量的函数关系式。
总而言之，解决动态几何题时，用分类的思想画图，寻求运动中的特殊位置，在“动”中求“静”，在“静”中探求“动”的一般规律。我们在求图形面积与运动变量的函数关系式时，要注意结合图形特点，在变与不变的思考中，紧紧抓住不变的因素，确定运动变量的分界点，利用数形结合的数学思想分类解决问题。