论文部分内容阅读
摘 要：苏霍姆林斯基指出：“使你的学生看出和感到有不理解的东西，使他们面临着问题. 如果你能做到这一点就是成功的一半.” 一节高质量的数学课常常是由好的数学问题启发并激励学生学习的思维过程. 学生的智慧在预设问题中生成，在提出问题中生成，在探究问题中生成，在解决问题中生成，在拓展问题中生成.
关键词：数学教学；课堂“问题”；智慧生成；案例分析
现代教学论研究指出，产生学习的根本原因是问题. 没有问题就难以诱发学生的求知欲；没有问题，学生就不会思考，学习就可能表面化和形式化. 一节高质量的数学课常常是由好的数学问题启发并激励学生学习的思维过程. 正如苏霍姆林斯基指出的：“使你的学生看出和感到有不理解的东西，使他们面临着问题. 如果你能做到这一点就是成功的一半.” 笔者结合教学实践及研究经历，就“学生的智慧在‘问题’中生成”举例说明，以期抛砖引玉.
[?] 智慧在预设问题中生成
问题引领教学是探究性学习的核心所在.在课堂教学中，教师不应急于把方法和原理告诉学生，而应精心预设问题，激发学生去思考，多给他们机会和时间暴露内心的想法. 使学生在思维探索中获得知识，提高综合分析能力和解决实际问题的能力.
案例1 “余弦定理”的教学片断
为了调动学生的学习积极性，预设了下列问题让学生自主讨论解决：
问题1 正弦定理给出了三角形边角的数量关系，正弦定理是怎样证明的？正弦定理可以解决哪些类型的解三角形问题？
问题2 在三角形中已知两边及夹角，怎样求第三边？
问题3 在△ABC中，角A，B，C的对边分别记为a，b，c.
（1）若A=90°，b=3，c=4，则a=______.
（2）若A=60°，b=3，c=4，则a=______.
（3）若A=150°，b=3，c=4，则a=______.
问题4 一般地，在△ABC中，已知b，c和A，怎样求a？
问题5 你发现了什么结论？你能用文字语言与符号语言表述你的发现吗？能给出证明吗？
问题6 若已知三角形的三边，如何求它的三个角？
问题7 在上述结论的证明方法中，何种证法更简洁？
案例中，问题1提供了“先行组织者”，为学生发现并证明余弦定理提供了研究方法的指导. 问题2体现了目的性，问题3体现了直观性，问题4、问题5及问题6体现了开放性，问题7体现了体验性. 问题2和问题3从学生现有发展水平提出问题，通过这些问题达到一种新的发展水平，即潜在发展水平，再在此水平上提出问题4和问题5，引导学生达到另一个潜在发展水平，如此形成余弦定理的发现和证明的问题链，引领学生自主探究，获得新知，加深了对数学的理解，使“数学思考”、“问题解决”目标与“知识技能”目标有机融合，发展了学生的智慧.
[?] 智慧在提出问题中生成
学生有了问题才会去探索，只有主动探索才会有创造. 通过提出有思维价值、能引发学生深入思考的问题，把凝结在知识背后的思维方法及思维发生发展的过程展现出来，同时提供与之相匹配的学习材料，着力引导学生参与到这些思维活动之中，让学生自学、自探，得出结论，升华思维，生成智慧.
案例2 “函数概念”的教学片断
南京师范大学附属中学陶维林老师在教学“函数概念”一课时，先让学生举几个函数的例子（因初中已学过“函数”），学生每举出一个例子，他就追问举例的学生：“你凭什么说自己举的例子表示一个函数？其他同学也思考一下，他所举的是函数的例子吗？为什么？”然后根据学生所举例子，引导他们明确分别用解析式、图象、表格表示对应关系的函数. 由于学生所举例子都是用解析式表示的，于是他接着问：“函数关系都是可以用解析式表示的吗？”引导学生开阔思路，再举一些用图象、表格表示对应关系的函数. 陶老师自己也参与举例，并让学生来判断他举出的例子是否能够表示一个函数，说明理由. 这样，学生思维参与度高，始终保持一种持久、亢奋的学习状态，取得了很好的教学效果.
[?] 智慧在探究问题中生成
教育家陶行知说：“创造力最能发挥的条件是民主.” 民主宽松、平等和谐的课堂氛围，会让学生在心理上感到安全，从而保持心理自由，以非常规的思维方式分析理解问题，充分地表现和发展自己的发散思维，而无须压抑，不必担心别人的笑话和讽刺，进而迸发出创新的潜能. 在教学中，教师应围绕教学目标，创设民主宽松、平等和谐的课堂氛围，提出问题，给学生参与操作、观察、猜想、验证等活动的机会，留下探究的空间，提供探究的“路标”，使学生在探究中学习，在探究中创新.
案例3 “数列”的教学片断
教师：大家看教材（人教A版《数学》（必修5））第2章第34页B组第1题：下图中的3个正方形块中，着色正方形的个数依次构成一个数列的前3项，请写出这个数列的前5项和数列的通项公式. （通过实例引入数列概念时，举例较多，学生对此题的认识和解答很好）
学生甲：（学生积极举手）老师，观察前3个图形，容易得到它们的正方形数目分别是1、9、73.
教师：你是如何快速算出第3个图形中正方形的总数的？
学生甲：我是将第3个图形提出分层，提升位置成立体图，变成金字塔状进行计算的：将其中最大的一个正方形拔到高处属于第1层（塔顶）；再将周围较大的8个正方形拔到较高位置属于第2层；再将周围较大的每个正方形周围的最小的8个正方形拔到更高位置属于第3层（塔底）. 这样就可以得到a3=1 8 82=73.
教师：学生甲的思路和方法太精妙了！那么第4个、第5个图形中的正方形数是多少？
学生甲：a4=1 8 82 83；a5=1 8 82 83 84. 教室里顿时响起掌声！接着学生甲高兴地总结出数列的通项公式是an=1 8 82 83 … 8n-1.
教师：学生甲的想法很好，能将二维平面图形“升维”至三维空间图形观察，思维敏捷，奇思异想，以后大家要向学生甲学习.
（教师点评刚结束，学生乙举手）
学生乙：我观察学生甲归纳出的通项公式，有新的发现，第3个图形中的正方形总数可以改写为a3=82 8 1=111（8）=73，从而依次就有a4=83 82 8 1（个）=1111（8）；a5=84 83 82 8 1（个）=11111（8），这样做就能依据学生甲归纳出的通项公式的结构特征，借助进位制的思想将通项公式具体地表示出来，即an=111…11（8），其中有n个“1”.
教师：学生乙很细心，将前面学过的算法记得很清楚，又能灵活应用，可喜可贺！本节课，大家对数列概念的形成和通项公式的归纳学得很好，尤其是学生甲、学生乙，他们对习题第34页B组第1题的通项公式有独到见解，非常精彩. 以后大家多探究、多交流、多合作，一定会有新的发现、新的收获！
教材第34页B组第1题，教学参考书中介绍用递推公式得通项公式，而学生甲提出分层立体观图法，学生乙根据通项公式的结构特征，借助进位制的思想将通项公式具体地表示出来. 多么简洁、简单的表示，这正是数学要追求的形式美.如果没有教师创设民主宽松、平等和谐的课堂氛围，没有教师的激励、引导，其效果可想而知.
[?] 智慧在解决问题中生成
解决问题的价值不只是获得问题的结论，更重要的是让学生在解决问题的过程中获得发展，形成自己解决问题的某些策略，同时在解决问题的过程中通过与他人的合作及交流，学生将获得更多的解决问题的帮助和启示.
案例4 一位教师的一个探究教学片断：
探究问题1：过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和该抛物线相交，设两交点的纵坐标为y1，y2，问y1·y2是否为定值？
探究问题2：一条直线与抛物线y2=2px相交，两交点的纵坐标为y1，y2，若y1·y2=-p2，问该直线是否经过抛物线的焦点？
学生分组探究，留给学生一定的探究时间，然后再讨论交流，由一位中心发言人上讲台交流（问题1用直线与抛物线的联立方程组来解决，y1·y2为定值-p2，问题2可利用斜率相等来证明三点共线），另一位同学还补充了其他方法，教师做小结.
接着教师说：“同学们想一想还有类似结论吗？同学们以小组为单位，试着编一个问题，然后解决它.”
学生讨论气氛热烈，互相合作，探究时间虽然有点长，但成果丰硕. 有一位小组代表上去汇报：
“我们组研究了问题3和问题4，如下：
问题3：过抛物线y2=2px对称轴上一点A（a，0）的直线和抛物线相交，两交点的纵坐标为y1，y2，问y1·y2是否为定值？
问题4：一条直线与抛物线y2=2px相交，两交点的纵坐标为y1，y2，若y1y2=k（k为常数），问该直线是否恒过某一定点？
问题3和问题4解决的办法是……”
另一个小组也不甘示弱，上去汇报：“我们小组探究过抛物线y2=2p（x-m）焦点的一条直线和该抛物线相交，两交点的纵坐标为y1，y2，则y1·y2也是定值-p2；反之，若y1·y2=-p2，这条直线一定过抛物线y2=2p（x-m）的焦点，证明的方法是……”
同学们很有想法，教师便鼓励他们继续交流和深入探究.
案例中教师首先提出探究性问题，抛砖引玉，相当于搭了一个戏台，然后由学生自导自演，其乐融融，收效颇丰，取得了意想不到的教学效果.
[?] 智慧在拓展问题中生成
在教学中，教师应让学生参与实践，通过学生的思维在实践中自由发挥、大胆延伸、纵横驰骋，让学生根据自己的经验去经历一个尝试探究的过程，这样有利于每个学生能力的发展. 为此，教师应把课堂教学延伸到课外，通过研究性学习和选修课方式，给学生提供足够的时间和空间，提供素材和设计解决问题的方案，让学生有所思有所想，想而有感，思而有得.
案例5 “等比数列前n项求和公式”的教学片断
在“等比数列前n项求和公式”的教学中，在充分了解学情的情况下，可视情选用以下思路对教材内容进行拓展：教材给出了“错项相消法”，这个方法的第一步是在等式Sn=a aq aq2 … aqn-1两边同乘上公比q，那么，是否可以在两边同除以公比q呢？是否可以在两边同乘上其他的式子，譬如1-q？或在右边乘上1-q，再除以1-q？是否可用“裂项相消法”进行求和？如果太难想象了，集中注意力观察式子qk=（qk-qk 1），能获得什么启发？是否可以将求Sn问题化归为方程求解问题？看成是方程组Sn=a1 qSn-1，
Sn=Sn-1 a1qn-1的求解问题？因为Sn=a1 qSn-1，若设Sn-k=q（Sn-1-k），可解得k=，那么Sn-
就构成一个等比数列，求和问题转化为求通项问题，能否求得Sn？如果将式子经过变形改写为Sn=a q（a aq aq2 … aqn-1）-aqn=a qSn-aqn，问题是否变得更简单？如果采用qSn=（aq aq2 … aqn-1） aqn=Sn-a aqn这样的方式是否同样可行？因为{an}成等比数列，易知===…==q，是否可用等比定理求出Sn？选用这里的某些思路进行教学拓展，是以探究发现为主要的线索，它不仅可以让学生对公式的结构有更清楚的认识和更牢固的记忆，还可以让学生深入理解求和的方法技巧并从中获取乐趣，可以让学生的发散思维能力和不懈进取顽强探索的精神得到更好的培养. 若以大量例题、习题的讲解为拓展，将这个公式的教学异化为解题教学，虽然也能增进理解，但培养的基本上是应试能力，而无益于创新能力的培养，也无益于学习兴趣的培养和思想智慧的感悟.
课堂教学问题设计是一门学问，也是一门艺术，在教学中起着极其重要的作用. 笔者认为，在完成教学任务并实现教学目的的“作用点”上，在知识形成过程的“关键点”上，在运用数学思想方法产生解决问题策略的“关节点”上，在数学知识之间联系的“联结点”上，在数学问题变式的“发散点”上，在学生思维的“最近发展区”内，提出恰当的、对学生数学思维有适度启发的问题就是好问题，这也是教学问题设计的基本原则. 通过有效教学问题的设计，既能开阔学生的视野，训练学生的思维，又增强学习的实效性，对拉近师生关系，形成良好的教与学的氛围，培养学生良好的学习习惯和积极的思维方式是大有裨益的.
关键词：数学教学；课堂“问题”；智慧生成；案例分析
现代教学论研究指出，产生学习的根本原因是问题. 没有问题就难以诱发学生的求知欲；没有问题，学生就不会思考，学习就可能表面化和形式化. 一节高质量的数学课常常是由好的数学问题启发并激励学生学习的思维过程. 正如苏霍姆林斯基指出的：“使你的学生看出和感到有不理解的东西，使他们面临着问题. 如果你能做到这一点就是成功的一半.” 笔者结合教学实践及研究经历，就“学生的智慧在‘问题’中生成”举例说明，以期抛砖引玉.
[?] 智慧在预设问题中生成
问题引领教学是探究性学习的核心所在.在课堂教学中，教师不应急于把方法和原理告诉学生，而应精心预设问题，激发学生去思考，多给他们机会和时间暴露内心的想法. 使学生在思维探索中获得知识，提高综合分析能力和解决实际问题的能力.
案例1 “余弦定理”的教学片断
为了调动学生的学习积极性，预设了下列问题让学生自主讨论解决：
问题1 正弦定理给出了三角形边角的数量关系，正弦定理是怎样证明的？正弦定理可以解决哪些类型的解三角形问题？
问题2 在三角形中已知两边及夹角，怎样求第三边？
问题3 在△ABC中，角A，B，C的对边分别记为a，b，c.
（1）若A=90°，b=3，c=4，则a=______.
（2）若A=60°，b=3，c=4，则a=______.
（3）若A=150°，b=3，c=4，则a=______.
问题4 一般地，在△ABC中，已知b，c和A，怎样求a？
问题5 你发现了什么结论？你能用文字语言与符号语言表述你的发现吗？能给出证明吗？
问题6 若已知三角形的三边，如何求它的三个角？
问题7 在上述结论的证明方法中，何种证法更简洁？
案例中，问题1提供了“先行组织者”，为学生发现并证明余弦定理提供了研究方法的指导. 问题2体现了目的性，问题3体现了直观性，问题4、问题5及问题6体现了开放性，问题7体现了体验性. 问题2和问题3从学生现有发展水平提出问题，通过这些问题达到一种新的发展水平，即潜在发展水平，再在此水平上提出问题4和问题5，引导学生达到另一个潜在发展水平，如此形成余弦定理的发现和证明的问题链，引领学生自主探究，获得新知，加深了对数学的理解，使“数学思考”、“问题解决”目标与“知识技能”目标有机融合，发展了学生的智慧.
[?] 智慧在提出问题中生成
学生有了问题才会去探索，只有主动探索才会有创造. 通过提出有思维价值、能引发学生深入思考的问题，把凝结在知识背后的思维方法及思维发生发展的过程展现出来，同时提供与之相匹配的学习材料，着力引导学生参与到这些思维活动之中，让学生自学、自探，得出结论，升华思维，生成智慧.
案例2 “函数概念”的教学片断
南京师范大学附属中学陶维林老师在教学“函数概念”一课时，先让学生举几个函数的例子（因初中已学过“函数”），学生每举出一个例子，他就追问举例的学生：“你凭什么说自己举的例子表示一个函数？其他同学也思考一下，他所举的是函数的例子吗？为什么？”然后根据学生所举例子，引导他们明确分别用解析式、图象、表格表示对应关系的函数. 由于学生所举例子都是用解析式表示的，于是他接着问：“函数关系都是可以用解析式表示的吗？”引导学生开阔思路，再举一些用图象、表格表示对应关系的函数. 陶老师自己也参与举例，并让学生来判断他举出的例子是否能够表示一个函数，说明理由. 这样，学生思维参与度高，始终保持一种持久、亢奋的学习状态，取得了很好的教学效果.
[?] 智慧在探究问题中生成
教育家陶行知说：“创造力最能发挥的条件是民主.” 民主宽松、平等和谐的课堂氛围，会让学生在心理上感到安全，从而保持心理自由，以非常规的思维方式分析理解问题，充分地表现和发展自己的发散思维，而无须压抑，不必担心别人的笑话和讽刺，进而迸发出创新的潜能. 在教学中，教师应围绕教学目标，创设民主宽松、平等和谐的课堂氛围，提出问题，给学生参与操作、观察、猜想、验证等活动的机会，留下探究的空间，提供探究的“路标”，使学生在探究中学习，在探究中创新.
案例3 “数列”的教学片断
教师：大家看教材（人教A版《数学》（必修5））第2章第34页B组第1题：下图中的3个正方形块中，着色正方形的个数依次构成一个数列的前3项，请写出这个数列的前5项和数列的通项公式. （通过实例引入数列概念时，举例较多，学生对此题的认识和解答很好）
学生甲：（学生积极举手）老师，观察前3个图形，容易得到它们的正方形数目分别是1、9、73.
教师：你是如何快速算出第3个图形中正方形的总数的？
学生甲：我是将第3个图形提出分层，提升位置成立体图，变成金字塔状进行计算的：将其中最大的一个正方形拔到高处属于第1层（塔顶）；再将周围较大的8个正方形拔到较高位置属于第2层；再将周围较大的每个正方形周围的最小的8个正方形拔到更高位置属于第3层（塔底）. 这样就可以得到a3=1 8 82=73.
教师：学生甲的思路和方法太精妙了！那么第4个、第5个图形中的正方形数是多少？
学生甲：a4=1 8 82 83；a5=1 8 82 83 84. 教室里顿时响起掌声！接着学生甲高兴地总结出数列的通项公式是an=1 8 82 83 … 8n-1.
教师：学生甲的想法很好，能将二维平面图形“升维”至三维空间图形观察，思维敏捷，奇思异想，以后大家要向学生甲学习.
（教师点评刚结束，学生乙举手）
学生乙：我观察学生甲归纳出的通项公式，有新的发现，第3个图形中的正方形总数可以改写为a3=82 8 1=111（8）=73，从而依次就有a4=83 82 8 1（个）=1111（8）；a5=84 83 82 8 1（个）=11111（8），这样做就能依据学生甲归纳出的通项公式的结构特征，借助进位制的思想将通项公式具体地表示出来，即an=111…11（8），其中有n个“1”.
教师：学生乙很细心，将前面学过的算法记得很清楚，又能灵活应用，可喜可贺！本节课，大家对数列概念的形成和通项公式的归纳学得很好，尤其是学生甲、学生乙，他们对习题第34页B组第1题的通项公式有独到见解，非常精彩. 以后大家多探究、多交流、多合作，一定会有新的发现、新的收获！
教材第34页B组第1题，教学参考书中介绍用递推公式得通项公式，而学生甲提出分层立体观图法，学生乙根据通项公式的结构特征，借助进位制的思想将通项公式具体地表示出来. 多么简洁、简单的表示，这正是数学要追求的形式美.如果没有教师创设民主宽松、平等和谐的课堂氛围，没有教师的激励、引导，其效果可想而知.
[?] 智慧在解决问题中生成
解决问题的价值不只是获得问题的结论，更重要的是让学生在解决问题的过程中获得发展，形成自己解决问题的某些策略，同时在解决问题的过程中通过与他人的合作及交流，学生将获得更多的解决问题的帮助和启示.
案例4 一位教师的一个探究教学片断：
探究问题1：过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和该抛物线相交，设两交点的纵坐标为y1，y2，问y1·y2是否为定值？
探究问题2：一条直线与抛物线y2=2px相交，两交点的纵坐标为y1，y2，若y1·y2=-p2，问该直线是否经过抛物线的焦点？
学生分组探究，留给学生一定的探究时间，然后再讨论交流，由一位中心发言人上讲台交流（问题1用直线与抛物线的联立方程组来解决，y1·y2为定值-p2，问题2可利用斜率相等来证明三点共线），另一位同学还补充了其他方法，教师做小结.
接着教师说：“同学们想一想还有类似结论吗？同学们以小组为单位，试着编一个问题，然后解决它.”
学生讨论气氛热烈，互相合作，探究时间虽然有点长，但成果丰硕. 有一位小组代表上去汇报：
“我们组研究了问题3和问题4，如下：
问题3：过抛物线y2=2px对称轴上一点A（a，0）的直线和抛物线相交，两交点的纵坐标为y1，y2，问y1·y2是否为定值？
问题4：一条直线与抛物线y2=2px相交，两交点的纵坐标为y1，y2，若y1y2=k（k为常数），问该直线是否恒过某一定点？
问题3和问题4解决的办法是……”
另一个小组也不甘示弱，上去汇报：“我们小组探究过抛物线y2=2p（x-m）焦点的一条直线和该抛物线相交，两交点的纵坐标为y1，y2，则y1·y2也是定值-p2；反之，若y1·y2=-p2，这条直线一定过抛物线y2=2p（x-m）的焦点，证明的方法是……”
同学们很有想法，教师便鼓励他们继续交流和深入探究.
案例中教师首先提出探究性问题，抛砖引玉，相当于搭了一个戏台，然后由学生自导自演，其乐融融，收效颇丰，取得了意想不到的教学效果.
[?] 智慧在拓展问题中生成
在教学中，教师应让学生参与实践，通过学生的思维在实践中自由发挥、大胆延伸、纵横驰骋，让学生根据自己的经验去经历一个尝试探究的过程，这样有利于每个学生能力的发展. 为此，教师应把课堂教学延伸到课外，通过研究性学习和选修课方式，给学生提供足够的时间和空间，提供素材和设计解决问题的方案，让学生有所思有所想，想而有感，思而有得.
案例5 “等比数列前n项求和公式”的教学片断
在“等比数列前n项求和公式”的教学中，在充分了解学情的情况下，可视情选用以下思路对教材内容进行拓展：教材给出了“错项相消法”，这个方法的第一步是在等式Sn=a aq aq2 … aqn-1两边同乘上公比q，那么，是否可以在两边同除以公比q呢？是否可以在两边同乘上其他的式子，譬如1-q？或在右边乘上1-q，再除以1-q？是否可用“裂项相消法”进行求和？如果太难想象了，集中注意力观察式子qk=（qk-qk 1），能获得什么启发？是否可以将求Sn问题化归为方程求解问题？看成是方程组Sn=a1 qSn-1，
Sn=Sn-1 a1qn-1的求解问题？因为Sn=a1 qSn-1，若设Sn-k=q（Sn-1-k），可解得k=，那么Sn-
就构成一个等比数列，求和问题转化为求通项问题，能否求得Sn？如果将式子经过变形改写为Sn=a q（a aq aq2 … aqn-1）-aqn=a qSn-aqn，问题是否变得更简单？如果采用qSn=（aq aq2 … aqn-1） aqn=Sn-a aqn这样的方式是否同样可行？因为{an}成等比数列，易知===…==q，是否可用等比定理求出Sn？选用这里的某些思路进行教学拓展，是以探究发现为主要的线索，它不仅可以让学生对公式的结构有更清楚的认识和更牢固的记忆，还可以让学生深入理解求和的方法技巧并从中获取乐趣，可以让学生的发散思维能力和不懈进取顽强探索的精神得到更好的培养. 若以大量例题、习题的讲解为拓展，将这个公式的教学异化为解题教学，虽然也能增进理解，但培养的基本上是应试能力，而无益于创新能力的培养，也无益于学习兴趣的培养和思想智慧的感悟.
课堂教学问题设计是一门学问，也是一门艺术，在教学中起着极其重要的作用. 笔者认为，在完成教学任务并实现教学目的的“作用点”上，在知识形成过程的“关键点”上，在运用数学思想方法产生解决问题策略的“关节点”上，在数学知识之间联系的“联结点”上，在数学问题变式的“发散点”上，在学生思维的“最近发展区”内，提出恰当的、对学生数学思维有适度启发的问题就是好问题，这也是教学问题设计的基本原则. 通过有效教学问题的设计，既能开阔学生的视野，训练学生的思维，又增强学习的实效性，对拉近师生关系，形成良好的教与学的氛围，培养学生良好的学习习惯和积极的思维方式是大有裨益的.