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希尔伯特第八问题
希尔伯特第八问题是黎曼假说和“其他质数问题”。黎曼假说（即关于ζ函数零点的分布的猜想）：ζ 函数的所有非平凡零点的实数部分都是1/2。“其他质数问题”的代表之一就是哥德巴赫猜想：任何一个大于 2的偶数，都可表示成两个质数之和（数学圈里称其为 1 1，就是说可表示成一个质数加另一个质数）。
哥德巴赫猜想看上去真是很简单，对任何一个比较小的偶数，似乎都不难把它写成两个质数之和。比如偶数 8 可表示成 3 5，3 和 5 是质数；又如偶数 12 可表示成 5 7，5 和 7 是质数等等。可要证明对任何一个大于 2 的偶数都能成立，却比登天还难。对哥德巴赫猜想以及和它连在一起的一个名字——陈景润（一九三三——一九九六），很多人可能并不陌生。在文化大革命刚刚结束的一九七八年，陈景润可以说是家喻户晓的超级明星，这在很大程度上是拜名作家徐迟的一篇报告文学《哥德巴赫猜想》（《人民文学》一九七八年一月号）所赐。文章发表后，一时间“洛阳纸贵”，各大报刊争相转载。陈景润成为科学与献身的代名词，至于他究竟在哥德巴赫猜想上证明的是什么反而成了次要问题。其实陈景润的这项工作在一九六六年五月就已经完成了，只是由于“文革”正好在那年开始，没办法拿出来发表。他所证明的是（陈氏定理）：任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者最多仅仅是两个质数的乘积（即他证明了任何大偶数都可写成一个质数加不超过两个质数的乘积，所以称为1 2）。陈氏定理看上去离证明哥德巴赫猜想只有一步之遥，可这最后一道坎时至今日也没人能跨得过去。
有人将哥德巴赫猜想比做数学皇冠上的一颗明珠，但与黎曼假说相比，它的重要性终究还是略逊一筹。这主要是因为ζ函数与质数的分布紧密相关，而质数的分布不但在数论的研究中至关重要，在实际应用上也意义重大。特别是在密码的加密与解密方面，比如公开金钥加密的RSA算法就是以大质数为基础的。
黎曼（G.F.B.Riemann，1826—1866）在数学史上占有极重要的地位，是黎曼几何学创始人及复变函数论创始人之一，对数学分析、微分几何和微分方程都有重要贡献。黎曼自上小学开始就被视为数学天才，校长专门派了一位老师教他数学。但是很快老师就发现，他从黎曼那儿学到的东西比他能教给黎曼的要多得多！在中学里，校长干脆让黎曼到他的私人图书室（那里有很多高深的数学专著）去自己找书看。有一次黎曼要求校长给他推荐一本难一点的书，为了试试黎曼的潜力，校长建议他去读勒让德（A.Legendre）的八百五十九页的巨著《数论》。一星期后，黎曼把书还了回来，校长问他书是否太难，他回答说，非常高兴校长给了一本能让他读了一星期之久的书。两年后，黎曼请求学校以勒让德的《数论》作为他毕业考试的一部分。尽管两年来他从未再摸过这本书，却对所有的问题对答如流。毫无疑问，《数论》对黎曼具有很大影响，使他对研究质数的分布产生了浓厚的兴趣。
提出黎曼假说的论文发表于一八五九年。为了阐述和解释这篇仅仅八页长的论文，爱德华兹（H.M.Edwards）写了一部三百页的专著《黎曼的ζ函数》(一九七四)。黎曼断言ζ函数的所有非平凡零点的实数部分都是1/2。到目前为止，所有已知的十五亿个非平凡零点（绝大部分是用计算机得到的）全部都与黎曼的猜想相吻合。
希尔伯特在一九二○年的一次演讲中说，他认为演讲厅里没人能活到看见希尔伯特第七问题的解决，而他自己应该能活着看到黎曼假说被证明，大厅里最年轻的人则可能看到费尔马大定理被证明。事实是，只有他对费尔马大定理的预言是大体正确的——它于一九九四年被证明。其余两个问题则和他的预言正好相反，他活着看到了第七问题的解决，而黎曼假说时至今日还是没能被证明。
希尔伯特第十三问题
一般的七次方程式 x7 ax3 bx2 cx 1 = 0 的七个解，是系数a,b,c的（三变量）函数。第十三问题是:此三变量的函数是否可用有限个双变量的函数来建构？希尔伯特真正关心的当然不是仅限于这个七次方程的解，他感兴趣的大概是一个多变量的函数是否能用有限个双变量的函数来建构。
俄国最伟大的数学奇才柯尔莫哥洛夫（A.N.Kolmogorov，1903—1987）奠定了解决这个问题的基础，他在一九五六年证明任意具有多个变量的函数均可用有限个三变量的函数来建构。第十三问题的最终证明，则是由他的学生、当时年仅十九岁的阿诺尔德（V.I.Arnold，1937—2010）于一九五七年给出的——任意具有多个变量的函数均可用有限个双变量的函数建构。柯尔莫哥洛夫和阿诺尔德所研究的是一个更广义的问题，第十三问题只是其特例。
柯尔莫哥洛夫出生在俄国最动荡的年代，一生颇富传奇色彩。他父亲是个革命者，在被流放时结识了出身于贵族家庭的柯尔莫哥洛娃（柯尔莫哥洛夫的母亲），之后上演了一出贵族小姐与流亡革命者私订终身的戏码。不幸的是柯尔莫哥洛夫的母亲在生他时死了，而父亲虽然偶尔来看看他，却从来没和他在一起生活过。柯尔莫哥洛夫是由姨妈抚养长大的，这也是他随母姓的原因。他的这位姨妈也干过革命，还曾经被软禁过。据说柯尔莫哥洛夫三个月大的时候，他家遭到搜查，违禁品就藏在他的摇篮下面。后来为了照顾柯尔莫哥洛夫，他的姨妈放弃了革命活动。
柯尔莫哥洛夫在很小的时候就显露出超常的数学天赋。他十四岁就已经自学了高等数学，不过按他自己所说，在中学时其实对生物和历史更有兴趣。他刚入莫斯科大学的时候，在学习数学的同时也学历史。而且他在大学里写的第一篇论文还是与历史有关的：运用概率论的方法分析十五和十六世纪诺夫哥罗德省的土地注册问题。尽管那时统计学还远没有成为一个成熟的学科，他仍然得到了一些很有意义的结果。他把论文拿给一位历史教授看，教授认为文章不错，但不能发表，原因是：“你只发现了一个证据，对历史学家来说这远远不够，你需要至少五个证据。” 柯尔莫哥洛夫从此彻底打消了搞历史的念头，决定去搞科学，因为“在那里，对于一项结论，一个证明就够了”（柯尔莫哥洛夫）。由此，俄罗斯可能少了一位历史学家，而世界上则多了一位伟大的数学家。
十九岁时，柯尔莫哥洛夫发现了勒贝格可积函数的傅里叶级数的发散性（傅里叶级数在物理学中有重要应用），这一结果对傅里叶级数的研究意义极大，使他一下成为国际数学界瞩目的新星。柯尔莫哥洛夫一生发表过五百多篇学术论文，涵盖了许多不同的数学和物理领域。在涉足的每个领域里，他所取得的成就都是一般的数学家或物理学家很难望其项背的。在概率论方面，他首创了一套以测度论为基础的公理系统（一九二九——一九三三），整个近代概率理论就是在它上面建立起来的。这也与希尔伯特第六问题息息相关，起码可以算是它的一个子问题。他在随机过程特别是马尔可夫链和布朗运动的研究中取得了极为重要的成果，为现代统计学奠定了基础。在湍流理论、混沌理论、相空间理论、三体问题、拓扑学等许多数学、物理领域中他都做过非常了不起的工作。柯尔莫哥洛夫在希尔伯特第十三问题上的贡献足以使他跻身于世界顶尖数学家的行列，但与他一系列“开天辟地”的成果相比，这大概也只能算是他的一项“普通”的成就。
柯尔莫哥洛夫的兴趣相当广泛，数学、物理、生物、历史之外，他还爱好古典音乐和古典文学，对俄罗斯诗歌更是情有独钟，甚至还发表过十一篇用统计学方法研究俄罗斯诗歌韵律结构的论文。他对户外活动也十分着迷，一有机会就出去远足、露营。有一年，他和另一位顶尖数学家、拓扑学大师亚历山德罗夫（P.S.Alexandrov，1896—1982）一起，既不带地图也不带旅游手册，随身只带了一本荷马史诗，划一艘小船沿伏尔加河漂流而下。“我们通常把帐篷支在沙洲的顶端，在那里对水流会有一种特殊的感觉。在旅程的开头几天，我们经常在夜里去游泳；在白色的夏夜里，河岸边飘拂着茂密的柳条，空气中充溢着鸟儿的欢叫。这些都给我们留下了不可磨灭的印象。真希望能这样永远继续下去……”（柯尔莫哥洛夫）。这次没有任何既定目的的旅行历时二十一天，漂流了一千三百公里，也使他和亚历山德罗夫成为终身的挚友。
除了在数学和物理学领域中的辉煌成就，柯尔莫哥洛夫对苏联的初等教育也有重大贡献。从一九六三年起，他的主要精力就放在了创建和指导第十八数学和物理中学之上（该校因而经常被人们称为柯尔莫哥洛夫学校）。这所精英学校从全国各地招收在数学和科学上具有超常才华的学生，为苏联/俄罗斯造就了很多数学和科学方面的优秀人才。柯尔莫哥洛夫为第十八中学无偿工作了十五年，他不但亲自给高年级学生教授数学，参与高中数学教材的编写，而且也给孩子们讲音乐和文学，还经常带他们去露营。在他的带动下，有一大批知名数学家（其中很多是他的学生）在那里授课，使学校的教学一直处于极高的水平。
从希尔伯特提出他的二十三个问题到今天，一百多年已经过去了。这些问题中有十六个得到了解决，另外四个不是精确意义下的“问题”，而是属于研究领域或研究方向的问题，它们对相关领域的发展起了很大的推动作用。而剩下的问题至今都没能解决。第十六问题在五十年代末本以为被苏联科学院院士彼得罗夫斯基（I.G.Petrovsky，1901—1973）和兰迪斯（E.M.Landis，1921—1997）解决了，但后来发现他们的证明有漏洞。一九八○年，当时还是中国科技大学研究生的史松龄更举出了一个反例，彻底推翻了彼得罗夫斯基和兰迪斯的证明。
二○○○年，仿照一百年前的国际数学家大会，美国克雷数学研究所邀请了世界上的一些顶级数学家聚集巴黎，在会议上公布了七个对新世纪的数学发展具有重大意义的难题（千禧年大奖难题），并为每个难题的解决设定了一百万美元的奖金。希尔伯特第八问题——黎曼假说又被列入其中。不知何年何月黎曼假说才能被最终证明，以慰希尔伯特在天之灵。
希尔伯特第八问题是黎曼假说和“其他质数问题”。黎曼假说（即关于ζ函数零点的分布的猜想）：ζ 函数的所有非平凡零点的实数部分都是1/2。“其他质数问题”的代表之一就是哥德巴赫猜想：任何一个大于 2的偶数，都可表示成两个质数之和（数学圈里称其为 1 1，就是说可表示成一个质数加另一个质数）。
哥德巴赫猜想看上去真是很简单，对任何一个比较小的偶数，似乎都不难把它写成两个质数之和。比如偶数 8 可表示成 3 5，3 和 5 是质数；又如偶数 12 可表示成 5 7，5 和 7 是质数等等。可要证明对任何一个大于 2 的偶数都能成立，却比登天还难。对哥德巴赫猜想以及和它连在一起的一个名字——陈景润（一九三三——一九九六），很多人可能并不陌生。在文化大革命刚刚结束的一九七八年，陈景润可以说是家喻户晓的超级明星，这在很大程度上是拜名作家徐迟的一篇报告文学《哥德巴赫猜想》（《人民文学》一九七八年一月号）所赐。文章发表后，一时间“洛阳纸贵”，各大报刊争相转载。陈景润成为科学与献身的代名词，至于他究竟在哥德巴赫猜想上证明的是什么反而成了次要问题。其实陈景润的这项工作在一九六六年五月就已经完成了，只是由于“文革”正好在那年开始，没办法拿出来发表。他所证明的是（陈氏定理）：任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者最多仅仅是两个质数的乘积（即他证明了任何大偶数都可写成一个质数加不超过两个质数的乘积，所以称为1 2）。陈氏定理看上去离证明哥德巴赫猜想只有一步之遥，可这最后一道坎时至今日也没人能跨得过去。
有人将哥德巴赫猜想比做数学皇冠上的一颗明珠，但与黎曼假说相比，它的重要性终究还是略逊一筹。这主要是因为ζ函数与质数的分布紧密相关，而质数的分布不但在数论的研究中至关重要，在实际应用上也意义重大。特别是在密码的加密与解密方面，比如公开金钥加密的RSA算法就是以大质数为基础的。
黎曼（G.F.B.Riemann，1826—1866）在数学史上占有极重要的地位，是黎曼几何学创始人及复变函数论创始人之一，对数学分析、微分几何和微分方程都有重要贡献。黎曼自上小学开始就被视为数学天才，校长专门派了一位老师教他数学。但是很快老师就发现，他从黎曼那儿学到的东西比他能教给黎曼的要多得多！在中学里，校长干脆让黎曼到他的私人图书室（那里有很多高深的数学专著）去自己找书看。有一次黎曼要求校长给他推荐一本难一点的书，为了试试黎曼的潜力，校长建议他去读勒让德（A.Legendre）的八百五十九页的巨著《数论》。一星期后，黎曼把书还了回来，校长问他书是否太难，他回答说，非常高兴校长给了一本能让他读了一星期之久的书。两年后，黎曼请求学校以勒让德的《数论》作为他毕业考试的一部分。尽管两年来他从未再摸过这本书，却对所有的问题对答如流。毫无疑问，《数论》对黎曼具有很大影响，使他对研究质数的分布产生了浓厚的兴趣。
提出黎曼假说的论文发表于一八五九年。为了阐述和解释这篇仅仅八页长的论文，爱德华兹（H.M.Edwards）写了一部三百页的专著《黎曼的ζ函数》(一九七四)。黎曼断言ζ函数的所有非平凡零点的实数部分都是1/2。到目前为止，所有已知的十五亿个非平凡零点（绝大部分是用计算机得到的）全部都与黎曼的猜想相吻合。
希尔伯特在一九二○年的一次演讲中说，他认为演讲厅里没人能活到看见希尔伯特第七问题的解决，而他自己应该能活着看到黎曼假说被证明，大厅里最年轻的人则可能看到费尔马大定理被证明。事实是，只有他对费尔马大定理的预言是大体正确的——它于一九九四年被证明。其余两个问题则和他的预言正好相反，他活着看到了第七问题的解决，而黎曼假说时至今日还是没能被证明。
希尔伯特第十三问题
一般的七次方程式 x7 ax3 bx2 cx 1 = 0 的七个解，是系数a,b,c的（三变量）函数。第十三问题是:此三变量的函数是否可用有限个双变量的函数来建构？希尔伯特真正关心的当然不是仅限于这个七次方程的解，他感兴趣的大概是一个多变量的函数是否能用有限个双变量的函数来建构。
俄国最伟大的数学奇才柯尔莫哥洛夫（A.N.Kolmogorov，1903—1987）奠定了解决这个问题的基础，他在一九五六年证明任意具有多个变量的函数均可用有限个三变量的函数来建构。第十三问题的最终证明，则是由他的学生、当时年仅十九岁的阿诺尔德（V.I.Arnold，1937—2010）于一九五七年给出的——任意具有多个变量的函数均可用有限个双变量的函数建构。柯尔莫哥洛夫和阿诺尔德所研究的是一个更广义的问题，第十三问题只是其特例。
柯尔莫哥洛夫出生在俄国最动荡的年代，一生颇富传奇色彩。他父亲是个革命者，在被流放时结识了出身于贵族家庭的柯尔莫哥洛娃（柯尔莫哥洛夫的母亲），之后上演了一出贵族小姐与流亡革命者私订终身的戏码。不幸的是柯尔莫哥洛夫的母亲在生他时死了，而父亲虽然偶尔来看看他，却从来没和他在一起生活过。柯尔莫哥洛夫是由姨妈抚养长大的，这也是他随母姓的原因。他的这位姨妈也干过革命，还曾经被软禁过。据说柯尔莫哥洛夫三个月大的时候，他家遭到搜查，违禁品就藏在他的摇篮下面。后来为了照顾柯尔莫哥洛夫，他的姨妈放弃了革命活动。
柯尔莫哥洛夫在很小的时候就显露出超常的数学天赋。他十四岁就已经自学了高等数学，不过按他自己所说，在中学时其实对生物和历史更有兴趣。他刚入莫斯科大学的时候，在学习数学的同时也学历史。而且他在大学里写的第一篇论文还是与历史有关的：运用概率论的方法分析十五和十六世纪诺夫哥罗德省的土地注册问题。尽管那时统计学还远没有成为一个成熟的学科，他仍然得到了一些很有意义的结果。他把论文拿给一位历史教授看，教授认为文章不错，但不能发表，原因是：“你只发现了一个证据，对历史学家来说这远远不够，你需要至少五个证据。” 柯尔莫哥洛夫从此彻底打消了搞历史的念头，决定去搞科学，因为“在那里，对于一项结论，一个证明就够了”（柯尔莫哥洛夫）。由此，俄罗斯可能少了一位历史学家，而世界上则多了一位伟大的数学家。
十九岁时，柯尔莫哥洛夫发现了勒贝格可积函数的傅里叶级数的发散性（傅里叶级数在物理学中有重要应用），这一结果对傅里叶级数的研究意义极大，使他一下成为国际数学界瞩目的新星。柯尔莫哥洛夫一生发表过五百多篇学术论文，涵盖了许多不同的数学和物理领域。在涉足的每个领域里，他所取得的成就都是一般的数学家或物理学家很难望其项背的。在概率论方面，他首创了一套以测度论为基础的公理系统（一九二九——一九三三），整个近代概率理论就是在它上面建立起来的。这也与希尔伯特第六问题息息相关，起码可以算是它的一个子问题。他在随机过程特别是马尔可夫链和布朗运动的研究中取得了极为重要的成果，为现代统计学奠定了基础。在湍流理论、混沌理论、相空间理论、三体问题、拓扑学等许多数学、物理领域中他都做过非常了不起的工作。柯尔莫哥洛夫在希尔伯特第十三问题上的贡献足以使他跻身于世界顶尖数学家的行列，但与他一系列“开天辟地”的成果相比，这大概也只能算是他的一项“普通”的成就。
柯尔莫哥洛夫的兴趣相当广泛，数学、物理、生物、历史之外，他还爱好古典音乐和古典文学，对俄罗斯诗歌更是情有独钟，甚至还发表过十一篇用统计学方法研究俄罗斯诗歌韵律结构的论文。他对户外活动也十分着迷，一有机会就出去远足、露营。有一年，他和另一位顶尖数学家、拓扑学大师亚历山德罗夫（P.S.Alexandrov，1896—1982）一起，既不带地图也不带旅游手册，随身只带了一本荷马史诗，划一艘小船沿伏尔加河漂流而下。“我们通常把帐篷支在沙洲的顶端，在那里对水流会有一种特殊的感觉。在旅程的开头几天，我们经常在夜里去游泳；在白色的夏夜里，河岸边飘拂着茂密的柳条，空气中充溢着鸟儿的欢叫。这些都给我们留下了不可磨灭的印象。真希望能这样永远继续下去……”（柯尔莫哥洛夫）。这次没有任何既定目的的旅行历时二十一天，漂流了一千三百公里，也使他和亚历山德罗夫成为终身的挚友。
除了在数学和物理学领域中的辉煌成就，柯尔莫哥洛夫对苏联的初等教育也有重大贡献。从一九六三年起，他的主要精力就放在了创建和指导第十八数学和物理中学之上（该校因而经常被人们称为柯尔莫哥洛夫学校）。这所精英学校从全国各地招收在数学和科学上具有超常才华的学生，为苏联/俄罗斯造就了很多数学和科学方面的优秀人才。柯尔莫哥洛夫为第十八中学无偿工作了十五年，他不但亲自给高年级学生教授数学，参与高中数学教材的编写，而且也给孩子们讲音乐和文学，还经常带他们去露营。在他的带动下，有一大批知名数学家（其中很多是他的学生）在那里授课，使学校的教学一直处于极高的水平。
从希尔伯特提出他的二十三个问题到今天，一百多年已经过去了。这些问题中有十六个得到了解决，另外四个不是精确意义下的“问题”，而是属于研究领域或研究方向的问题，它们对相关领域的发展起了很大的推动作用。而剩下的问题至今都没能解决。第十六问题在五十年代末本以为被苏联科学院院士彼得罗夫斯基（I.G.Petrovsky，1901—1973）和兰迪斯（E.M.Landis，1921—1997）解决了，但后来发现他们的证明有漏洞。一九八○年，当时还是中国科技大学研究生的史松龄更举出了一个反例，彻底推翻了彼得罗夫斯基和兰迪斯的证明。
二○○○年，仿照一百年前的国际数学家大会，美国克雷数学研究所邀请了世界上的一些顶级数学家聚集巴黎，在会议上公布了七个对新世纪的数学发展具有重大意义的难题（千禧年大奖难题），并为每个难题的解决设定了一百万美元的奖金。希尔伯特第八问题——黎曼假说又被列入其中。不知何年何月黎曼假说才能被最终证明，以慰希尔伯特在天之灵。