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摘 要：图形是帮助人们思考的一种直观工具，在解决问题的过程中，对于小学低年级学生更是发挥着积极的作用。低年级数学教学中，开展“直观符号图”“初级线段图”“简易设计图”的“图式化”教学，可以帮助学生厘清思路，把握重点，突破难点，顺利解决问题。
关键词：小学数学；低年级；图式化教学；解决问题
中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1009-010X（2018）31-0041-05
美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以转化为一个图像，那么就整体把握了问题。”图形是帮助人们思考的一种直观工具，对于低年级学生，在厘清思路并解决问题的过程中，更是发挥着积极的作用，因为他们的思维还离不开具体形象的事物支撑，还要借助具体事物的表象来解决问题。他们在解决问题时，往往只注意事物的某一点或某一个方面，不能同时注意和思考更多的方面，这种倾向称之为思维的中心性。借助图形解决问题，既符合低段学生的心理、年龄特征，又可以把抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化、直观化，提高学生解决问题的信心和能力，拓展了学生的发散思维能力。所以，在低年级数学课堂教学中，适时开展“直观符号图”“初级线段图”“简易设计图”三种数学“图式化”教学，可以帮助学生厘清思路，把握重点，突破难点，并顺利解决问题。
一、善用“直观符号图”，理解运算意义
《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出“增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”，简称“四能”目标。新编人教版教材对学生解决问题的能力有了新的要求，增加了一些“两题比较”和“条件多余”的题型，对学生读懂题意、分析题意提出了更高要求。为此，可以通过直观符号图，帮助学生理解运算意义，有序分析思路，解决数学问题。
（一）画图区分差异，解决“比较型”问题
两题比较的题型，一般会设计两个情境相似、数据相同、问题相同但数量关系不同的问题，目的是让学生学会根据四则运算的意义，选择不同的运算方法来解决问题。如：
（1）有4排桌子，每排5张，一共有多少张？
（2）有2排桌子，一排5张，另一排4张，一共有多少张？
两个相似的题目，如果单独分开来，学生的正确率会比较高，但是同时出现，容易对学生造成信息干扰，尤其是题目中都有“4”和“5”，为什么解答方法会不同呢？这是解题的关键。那么，要顺利解决这类题，最有效的方法是根据题意，画出直观符号图。
先观察问题（1），明白“4”是“4排”的意思，“5”是“每排5张”的意思，这里有一个关键字“每”，学乘法时，这个字多次出现过，学生比较熟悉，学生脑子里会初步形成一个解题方法“乘法计算”，为了证实这个想法，让学生画图。学生在学习乘法的基础上，已经熟练掌握用符号来画图（如图1）。根据图示，乘法算式：4×5=20（张）也呼之欲出。
解决问题（2）比问题（1）更困难一些，因为学生刚学过乘法，容易造成负迁移，而且出现三个数字“2、5、4”，在理解数量关系时，需要反复推敲。可以让学生多读几遍题目，分析每个数字的意思，特别是“2”是“两排”的意思，接着画出图示（如图2），从图示上很清楚地看到是用加法解决：4 5=9（张）。
用符号图将两道题的条件和问题表示出来，使得抽象的数学问题转化为具体直观的数学模型。最后，比较分析两道题、两幅图，梳理经验方法，可以让学生说一说：两幅图表示的意义有什么不同？以此凸显乘法和加法意义的异同，并从图形表征和语言表征两个方面，将具体问题和运算的意义联系起来，使学生有理有据地选择算法。
（二）画图简化信息，解决“开放型”问题
条件多余的问题，属于“开放型”问题。新教材从一年级时就开始编排，到了二年级更是屡见不鲜，这对学生解决问题增加了难度。如图3，这是一道有多余条件、稍复杂的用乘法的意义解决的实际问题，同时渗透了单价、数量、总价的数量关系。情境图中呈现了多种文具的价格，为学生解决问题提供了丰富的素材，当然，也必须选择与问题相关的信息，才能顺利解决问题。教学时，可以先引导学生看图，提取数学信息：文具盒8元、橡皮2元、日记本4元、铅笔3元，再深入挖掘这些信息的含义，初步理解物品单价的意义。接着出示数学问题：买3个文具盒，一共多少元？让学生充分读懂问题，并根据问题找到需要的数学信息，再画出符号图，来表示信息与问题（如图4）。图中，已经把信息和问题简单化，抛弃了多余信息，为学生解决问题厘清了思路，明白了解决这种类型的问题用乘法计算的道理，为初步建立数学模型奠定基础。
二、尝试“初级线段图”，厘清数量关系
理解數量关系，能促进学生的认知出现由表及里、由浅入深的飞跃。线段图，是帮助学生理解数量关系、有效解决问题的一大法宝。在小学二年级的教材中，已经出现了线段图的雏形，为以后的学习奠定了基础。
（一）画图理解“数量关系”
在解决一步计算“求比一个数多（少）几的数”的问题时，用画图的方法表示数量关系，这是初级线段的前奏。如：
（1）一班得了12面小红旗，二班比一班多得3面，二班得了多少面？
（2）三班的小红旗比一班少4面，三班得了多少面？
由于学生第一次接触这类“比多比少”问题，所以要求学生在反复读题的基础上，先重点提示学生思考“谁与谁比？”“谁多谁少？”“求多还是求少？”，只有弄清了这三个问题，才能正确地画图表示出数量关系。画图时，教师要引导学生先画出已知的量（一班12面），然后再根据求多还是求少，在已知量的下面画出未知量，标上问题（如图5）：
如此教学，让学生在实物线段图的基础上，抽象出真正的线段图，对线段图有一个初步的感知。从线段图中，学生很容易判断出：求多的量要用加法，求少的量要用减法。可见，通过画图、对比，可以帮助学生比较顺畅地明确数量关系的变化，沟通问题之间的内在联系，突破教学难点。 （二）画图明确“中间问题”
两步计算问题中，都隐含一个“中间问题”，是不少学生解决问题的“瓶颈”，需要教师帮其疏通这个瓶颈，顺利解决问题。如二年级教材中安排了用混合运算解决问题（如图7）：
教学时，可以先读题，再试着简化数学信息：总数90，已经烤了36个，一次烤9个。最后分析问题“剩下的还要烤几次？”。问题中有一个重要词“剩下”，学生根据已有经验，求剩下的用减法来解决的，因此“中间问题”也很快浮现出来：要先求剩下的，也给分析数量关系埋下了伏笔。教材安排了色条图，即简易线段图，这是线段图的雏形。低段学生还不具备根据题意独立画出线段图的能力，教师可以一步步引导——先出示一长条，表示“一共要烤90个面包”，然后问学生：怎样表示“已经烤的36个”？学生会根据数量的大小分析出：90的一半是45，36还不到一半，那么色条就分成了一短一长两部分，接着依次在色条上出示信息和问题（见图8）。其实，在色条图的基础上，教师还可以进一步出示线段图（见图9），给以后的学习作铺垫。在完成了图示后，让学生看图再次分析，求还要烤几次，应先求剩下的面包个数：90-36=54（个），再把54个面包平均分，每次9个，需要几次：54÷9=6（次）。最后要求学生再列出综合算式：（90-36）÷9=6（次），根据四则混合运算的法则，两级运算要先算减，所以必须加上小括号。
三、推敲“简易设计图”，纠正操作错误
依据《义务教育数学课程标准（2011年版）》，对低年级教材中的“图形的运动”板块做出了修改，如图10是二年级下册数学教材中
“剪一剪”的例题，以“解决问题”形式出现，是“图形与几何”领域的突破——突破了以往解决问题都安排在“数与计算”领域的局限，使得培养学生的“四能”的素材和案例更为丰富。同时，作为解决问题的配套练习（如图11），通过让学生剪出指定的图形，培养学生用所学知识解决问题的能力，同时深化对“轴对称图形”和“图形的旋转”两个已学知识的理解，还可以使学生体会到成功的喜悦，提高学习的兴趣。习题要求学生剪出4个头靠头、手拉手的小人，没有步骤提示，更没有方法讲解，只有一副“成品图”，要求学生在学习例题的基础上，观察图形，逐步探索折纸的方法和画法，在一次次的尝试中总结、调整方案，从而解决问题。因此这个动手操作的解决问题过程，不是一蹴而就的，需要一定的时间，对学生来说，更是一条充满坎坷的路程。在教学时，可以让学生尝试三次试剪。第一次试剪，放手让学生观察后，自己尝试画和剪，允许出现各种错误答案，然后分析排除，最后得出两种正确的折法，主要目的是“确定折法”。第二次试剪前，学生已经总结出正确折法，所以本次试剪主要目的是“确定画法”。先通过观察的方法，分析出头的位置，然后再根据试剪后的错误，分析头断开的原因，从而总结出正确画法。教学片段如下：
1.观察思考，画法再探
（1）思考：画的时候头在什么地方
师：从第一次试剪我们发现不少小朋友剪出来的小人的头的方向不对，我们再重新观察习题，头朝哪里？
生：在纸中间的方向。
师：请你拿水彩笔在纸的中间画个小圆作记号。然后对折三次呈三角形状，观察水彩笔记号在哪，记号所在的地方就是画头的地方（见图12，13）。
（2）提出要求，独立完成二次试剪
要求：分析第一次试剪失败原因，思考：如何改进？
注意画法，同时思考：头是否朝中间，手是否相连。
第一次试剪成功的，思考：怎样画让剪出来的小人更漂亮。
2.剪后纠错，确定画法
全班展示汇报
第二次试剪还有一部分学生错误，如图14中的“左图”和“右图”。
师：我们要恭喜已经成功的小朋友，下面让我们来帮助还需改进的小朋友，请观察左、右两图，分别错在哪？
生：左图的头没有画圆。
生：右图的头没有连在一起，剪断了。
师：是的，右图的错误，其实就像把手剪断的错误是一样的，头和手都要连在一起。（板书：不剪断，如图14）
最后进行第三次试剪。如果前两次试剪是“放”，那么第三次试剪就是“收”，适时收放，能让学生积极动手、充分思考，找到解决问题的方法，收获成功的喜悦，享受学习的乐趣。回望三次试剪，各具价值。第一次虽然错误百出，但分析出了正确的折法，调整方案；第二次试剪错误明显变少，只存在头和手是否相连的问题，通过再次分析与反思，再次调整方案；第三次试剪，迎来了柳暗花明般的成功。可见，在学习数学知识、解决数学问题的过程中，往往不能一步成功，关键是要让学生一次次地反思，一次次地调整方案，数学思考在动手操作中得到深化与提升，数学问题也在思维碰撞中妥善解决。在这过程中，简易设计图功不可没。
小学数学问题解决过程中，“信息、问题、解答”三者有着千丝万缕的紧密联系，信息是问题的前提，是解答的必备要素；问题是信息的延续，是解答的必然指向；解答是信息呈现与问题取向指引的思维过程。适时开展“图式化”教学，正好沟通了三者间的关系，智慧地架起了从信息及问题到解答的桥梁，在学生需要时，及时地出现，帮助学生有序思考，突破解决问题的重难点，有效地解决问题，真乃“图”到难点破，“图式化”的教学价值自然彰显。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]义務教育教科书.教师教学用书·数学·一至三年级[M].北京：人民教育出版社，2014，10，第1版.
关键词：小学数学；低年级；图式化教学；解决问题
中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1009-010X（2018）31-0041-05
美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以转化为一个图像，那么就整体把握了问题。”图形是帮助人们思考的一种直观工具，对于低年级学生，在厘清思路并解决问题的过程中，更是发挥着积极的作用，因为他们的思维还离不开具体形象的事物支撑，还要借助具体事物的表象来解决问题。他们在解决问题时，往往只注意事物的某一点或某一个方面，不能同时注意和思考更多的方面，这种倾向称之为思维的中心性。借助图形解决问题，既符合低段学生的心理、年龄特征，又可以把抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化、直观化，提高学生解决问题的信心和能力，拓展了学生的发散思维能力。所以，在低年级数学课堂教学中，适时开展“直观符号图”“初级线段图”“简易设计图”三种数学“图式化”教学，可以帮助学生厘清思路，把握重点，突破难点，并顺利解决问题。
一、善用“直观符号图”，理解运算意义
《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出“增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”，简称“四能”目标。新编人教版教材对学生解决问题的能力有了新的要求，增加了一些“两题比较”和“条件多余”的题型，对学生读懂题意、分析题意提出了更高要求。为此，可以通过直观符号图，帮助学生理解运算意义，有序分析思路，解决数学问题。
（一）画图区分差异，解决“比较型”问题
两题比较的题型，一般会设计两个情境相似、数据相同、问题相同但数量关系不同的问题，目的是让学生学会根据四则运算的意义，选择不同的运算方法来解决问题。如：
（1）有4排桌子，每排5张，一共有多少张？
（2）有2排桌子，一排5张，另一排4张，一共有多少张？
两个相似的题目，如果单独分开来，学生的正确率会比较高，但是同时出现，容易对学生造成信息干扰，尤其是题目中都有“4”和“5”，为什么解答方法会不同呢？这是解题的关键。那么，要顺利解决这类题，最有效的方法是根据题意，画出直观符号图。
先观察问题（1），明白“4”是“4排”的意思，“5”是“每排5张”的意思，这里有一个关键字“每”，学乘法时，这个字多次出现过，学生比较熟悉，学生脑子里会初步形成一个解题方法“乘法计算”，为了证实这个想法，让学生画图。学生在学习乘法的基础上，已经熟练掌握用符号来画图（如图1）。根据图示，乘法算式：4×5=20（张）也呼之欲出。
解决问题（2）比问题（1）更困难一些，因为学生刚学过乘法，容易造成负迁移，而且出现三个数字“2、5、4”，在理解数量关系时，需要反复推敲。可以让学生多读几遍题目，分析每个数字的意思，特别是“2”是“两排”的意思，接着画出图示（如图2），从图示上很清楚地看到是用加法解决：4 5=9（张）。
用符号图将两道题的条件和问题表示出来，使得抽象的数学问题转化为具体直观的数学模型。最后，比较分析两道题、两幅图，梳理经验方法，可以让学生说一说：两幅图表示的意义有什么不同？以此凸显乘法和加法意义的异同，并从图形表征和语言表征两个方面，将具体问题和运算的意义联系起来，使学生有理有据地选择算法。
（二）画图简化信息，解决“开放型”问题
条件多余的问题，属于“开放型”问题。新教材从一年级时就开始编排，到了二年级更是屡见不鲜，这对学生解决问题增加了难度。如图3，这是一道有多余条件、稍复杂的用乘法的意义解决的实际问题，同时渗透了单价、数量、总价的数量关系。情境图中呈现了多种文具的价格，为学生解决问题提供了丰富的素材，当然，也必须选择与问题相关的信息，才能顺利解决问题。教学时，可以先引导学生看图，提取数学信息：文具盒8元、橡皮2元、日记本4元、铅笔3元，再深入挖掘这些信息的含义，初步理解物品单价的意义。接着出示数学问题：买3个文具盒，一共多少元？让学生充分读懂问题，并根据问题找到需要的数学信息，再画出符号图，来表示信息与问题（如图4）。图中，已经把信息和问题简单化，抛弃了多余信息，为学生解决问题厘清了思路，明白了解决这种类型的问题用乘法计算的道理，为初步建立数学模型奠定基础。
二、尝试“初级线段图”，厘清数量关系
理解數量关系，能促进学生的认知出现由表及里、由浅入深的飞跃。线段图，是帮助学生理解数量关系、有效解决问题的一大法宝。在小学二年级的教材中，已经出现了线段图的雏形，为以后的学习奠定了基础。
（一）画图理解“数量关系”
在解决一步计算“求比一个数多（少）几的数”的问题时，用画图的方法表示数量关系，这是初级线段的前奏。如：
（1）一班得了12面小红旗，二班比一班多得3面，二班得了多少面？
（2）三班的小红旗比一班少4面，三班得了多少面？
由于学生第一次接触这类“比多比少”问题，所以要求学生在反复读题的基础上，先重点提示学生思考“谁与谁比？”“谁多谁少？”“求多还是求少？”，只有弄清了这三个问题，才能正确地画图表示出数量关系。画图时，教师要引导学生先画出已知的量（一班12面），然后再根据求多还是求少，在已知量的下面画出未知量，标上问题（如图5）：
如此教学，让学生在实物线段图的基础上，抽象出真正的线段图，对线段图有一个初步的感知。从线段图中，学生很容易判断出：求多的量要用加法，求少的量要用减法。可见，通过画图、对比，可以帮助学生比较顺畅地明确数量关系的变化，沟通问题之间的内在联系，突破教学难点。 （二）画图明确“中间问题”
两步计算问题中，都隐含一个“中间问题”，是不少学生解决问题的“瓶颈”，需要教师帮其疏通这个瓶颈，顺利解决问题。如二年级教材中安排了用混合运算解决问题（如图7）：
教学时，可以先读题，再试着简化数学信息：总数90，已经烤了36个，一次烤9个。最后分析问题“剩下的还要烤几次？”。问题中有一个重要词“剩下”，学生根据已有经验，求剩下的用减法来解决的，因此“中间问题”也很快浮现出来：要先求剩下的，也给分析数量关系埋下了伏笔。教材安排了色条图，即简易线段图，这是线段图的雏形。低段学生还不具备根据题意独立画出线段图的能力，教师可以一步步引导——先出示一长条，表示“一共要烤90个面包”，然后问学生：怎样表示“已经烤的36个”？学生会根据数量的大小分析出：90的一半是45，36还不到一半，那么色条就分成了一短一长两部分，接着依次在色条上出示信息和问题（见图8）。其实，在色条图的基础上，教师还可以进一步出示线段图（见图9），给以后的学习作铺垫。在完成了图示后，让学生看图再次分析，求还要烤几次，应先求剩下的面包个数：90-36=54（个），再把54个面包平均分，每次9个，需要几次：54÷9=6（次）。最后要求学生再列出综合算式：（90-36）÷9=6（次），根据四则混合运算的法则，两级运算要先算减，所以必须加上小括号。
三、推敲“简易设计图”，纠正操作错误
依据《义务教育数学课程标准（2011年版）》，对低年级教材中的“图形的运动”板块做出了修改，如图10是二年级下册数学教材中
“剪一剪”的例题，以“解决问题”形式出现，是“图形与几何”领域的突破——突破了以往解决问题都安排在“数与计算”领域的局限，使得培养学生的“四能”的素材和案例更为丰富。同时，作为解决问题的配套练习（如图11），通过让学生剪出指定的图形，培养学生用所学知识解决问题的能力，同时深化对“轴对称图形”和“图形的旋转”两个已学知识的理解，还可以使学生体会到成功的喜悦，提高学习的兴趣。习题要求学生剪出4个头靠头、手拉手的小人，没有步骤提示，更没有方法讲解，只有一副“成品图”，要求学生在学习例题的基础上，观察图形，逐步探索折纸的方法和画法，在一次次的尝试中总结、调整方案，从而解决问题。因此这个动手操作的解决问题过程，不是一蹴而就的，需要一定的时间，对学生来说，更是一条充满坎坷的路程。在教学时，可以让学生尝试三次试剪。第一次试剪，放手让学生观察后，自己尝试画和剪，允许出现各种错误答案，然后分析排除，最后得出两种正确的折法，主要目的是“确定折法”。第二次试剪前，学生已经总结出正确折法，所以本次试剪主要目的是“确定画法”。先通过观察的方法，分析出头的位置，然后再根据试剪后的错误，分析头断开的原因，从而总结出正确画法。教学片段如下：
1.观察思考，画法再探
（1）思考：画的时候头在什么地方
师：从第一次试剪我们发现不少小朋友剪出来的小人的头的方向不对，我们再重新观察习题，头朝哪里？
生：在纸中间的方向。
师：请你拿水彩笔在纸的中间画个小圆作记号。然后对折三次呈三角形状，观察水彩笔记号在哪，记号所在的地方就是画头的地方（见图12，13）。
（2）提出要求，独立完成二次试剪
要求：分析第一次试剪失败原因，思考：如何改进？
注意画法，同时思考：头是否朝中间，手是否相连。
第一次试剪成功的，思考：怎样画让剪出来的小人更漂亮。
2.剪后纠错，确定画法
全班展示汇报
第二次试剪还有一部分学生错误，如图14中的“左图”和“右图”。
师：我们要恭喜已经成功的小朋友，下面让我们来帮助还需改进的小朋友，请观察左、右两图，分别错在哪？
生：左图的头没有画圆。
生：右图的头没有连在一起，剪断了。
师：是的，右图的错误，其实就像把手剪断的错误是一样的，头和手都要连在一起。（板书：不剪断，如图14）
最后进行第三次试剪。如果前两次试剪是“放”，那么第三次试剪就是“收”，适时收放，能让学生积极动手、充分思考，找到解决问题的方法，收获成功的喜悦，享受学习的乐趣。回望三次试剪，各具价值。第一次虽然错误百出，但分析出了正确的折法，调整方案；第二次试剪错误明显变少，只存在头和手是否相连的问题，通过再次分析与反思，再次调整方案；第三次试剪，迎来了柳暗花明般的成功。可见，在学习数学知识、解决数学问题的过程中，往往不能一步成功，关键是要让学生一次次地反思，一次次地调整方案，数学思考在动手操作中得到深化与提升，数学问题也在思维碰撞中妥善解决。在这过程中，简易设计图功不可没。
小学数学问题解决过程中，“信息、问题、解答”三者有着千丝万缕的紧密联系，信息是问题的前提，是解答的必备要素；问题是信息的延续，是解答的必然指向；解答是信息呈现与问题取向指引的思维过程。适时开展“图式化”教学，正好沟通了三者间的关系，智慧地架起了从信息及问题到解答的桥梁，在学生需要时，及时地出现，帮助学生有序思考，突破解决问题的重难点，有效地解决问题，真乃“图”到难点破，“图式化”的教学价值自然彰显。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]义務教育教科书.教师教学用书·数学·一至三年级[M].北京：人民教育出版社，2014，10，第1版.