论文部分内容阅读
〔关键词〕 极限；分割求和；逆向思维
〔中图分类号〕 G633.63〔文献标识码〕 C
〔文章编号〕 1004—0463（200９）01（Ａ）—0055—０1
运用极限的思想解答几何习题，其作用是一般解题方法无法比拟的.教材原型中采用“分割求近似和，再由近似和转化为准确和”的方法，推导出了球体的体积V=πR3，进而用同法推出了球体的表面积S=4πR2.辅用球体表面积公式也可导出球体体积公式.这种逆向思维的方法对培养学生的空间构想能力大有裨益.
假设将球面任意分割成n个“小球面片”，则每个“小球面片”的面积为.以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”的体积为整个球体体积的.以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”的体积则为••h=，而整个球体的体积是n个的和，即V=n•=πR3．以上验证过程体现了极限的思想，下面用该法例解两题.
例1：如图1，已知圆柱体高为h，底面半径为r，试利用“分割求和”推导出圆柱体体积公式.
解析：如图２，在圆柱体底面圆做n个等距离的同心圆.沿同心圆周长从侧面剥开，展开后成一个个由大到小的长方体“薄片”.把这些“薄片”的近似体积加起来就可以近似地看做圆柱体的体积，“薄片”越薄，它的和越接近圆柱体体积.
设同心圆之间的距离都是，则第i个同心圆圈的周长（从最外面算起，取外周长）是2[r-（i-1）]π.同心圆圈的宽度都是，展开后成一个棱长分别为2π[r-（i-1）]、的长方体“薄片”.第i个“薄片”的体积Vi=[r-（i-1）].把所有这些“薄片”加起来就是圆柱体的体积V，V≈[1+（1-）+（1-）＋（1-）+…+（1-）]=（n----…-）=[n-（1+2+3…+n-1）]=[n-•]=•.
∴ V≈πr2h（1+）（n=1，2，3…）.
当所分层数不断增加，也就是不断变大时，上式的精确程度就越来越高，如果变为无穷大，那么就能由上式推出准确值.当n趋于无穷大时，趋近于0，于是Ｖ=πr2h，这与其他方法推出的体积公式完全吻合.
例2：如图３，已知正圆锥高为h，底面半径为r，求体积V．
解析：此题也用“分割求近似和”的方法把高（h）n等分，经过这些等分点，用一组平行于底面的平面把圆锥切割成层，每一层都近似于一个圆柱形的“薄圆片”（如图４），这些“薄圆片”的体积之和就是圆锥的体积.
由于“薄圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于相应圆柱的体积.这些圆柱的高就是“薄圆片”的厚度，底面就是“薄圆片”的下底面.由相似三角形的比得出第i层（由下向上数）“薄圆片”的下底面半径是 ri=r[1-（i-１）]（i=１，2，3，……），于是第i层“薄圆片”的体积是：，圆锥的体积：V=V1+V2+...+Vn≈[（12+（1-）2+（1-）2+（1-）2+…+（1-）２]=[n-•n（n-1）+•n（n-1）（2n-1）-1]=•.
∴ V≈[（1-）（2-）] .
当n趋于无穷大时，趋近于0，这时V=•2=πr２h.
〔中图分类号〕 G633.63〔文献标识码〕 C
〔文章编号〕 1004—0463（200９）01（Ａ）—0055—０1
运用极限的思想解答几何习题，其作用是一般解题方法无法比拟的.教材原型中采用“分割求近似和，再由近似和转化为准确和”的方法，推导出了球体的体积V=πR3，进而用同法推出了球体的表面积S=4πR2.辅用球体表面积公式也可导出球体体积公式.这种逆向思维的方法对培养学生的空间构想能力大有裨益.
假设将球面任意分割成n个“小球面片”，则每个“小球面片”的面积为.以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”的体积为整个球体体积的.以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”的体积则为••h=，而整个球体的体积是n个的和，即V=n•=πR3．以上验证过程体现了极限的思想，下面用该法例解两题.
例1：如图1，已知圆柱体高为h，底面半径为r，试利用“分割求和”推导出圆柱体体积公式.
解析：如图２，在圆柱体底面圆做n个等距离的同心圆.沿同心圆周长从侧面剥开，展开后成一个个由大到小的长方体“薄片”.把这些“薄片”的近似体积加起来就可以近似地看做圆柱体的体积，“薄片”越薄，它的和越接近圆柱体体积.
设同心圆之间的距离都是，则第i个同心圆圈的周长（从最外面算起，取外周长）是2[r-（i-1）]π.同心圆圈的宽度都是，展开后成一个棱长分别为2π[r-（i-1）]、的长方体“薄片”.第i个“薄片”的体积Vi=[r-（i-1）].把所有这些“薄片”加起来就是圆柱体的体积V，V≈[1+（1-）+（1-）＋（1-）+…+（1-）]=（n----…-）=[n-（1+2+3…+n-1）]=[n-•]=•.
∴ V≈πr2h（1+）（n=1，2，3…）.
当所分层数不断增加，也就是不断变大时，上式的精确程度就越来越高，如果变为无穷大，那么就能由上式推出准确值.当n趋于无穷大时，趋近于0，于是Ｖ=πr2h，这与其他方法推出的体积公式完全吻合.
例2：如图３，已知正圆锥高为h，底面半径为r，求体积V．
解析：此题也用“分割求近似和”的方法把高（h）n等分，经过这些等分点，用一组平行于底面的平面把圆锥切割成层，每一层都近似于一个圆柱形的“薄圆片”（如图４），这些“薄圆片”的体积之和就是圆锥的体积.
由于“薄圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于相应圆柱的体积.这些圆柱的高就是“薄圆片”的厚度，底面就是“薄圆片”的下底面.由相似三角形的比得出第i层（由下向上数）“薄圆片”的下底面半径是 ri=r[1-（i-１）]（i=１，2，3，……），于是第i层“薄圆片”的体积是：，圆锥的体积：V=V1+V2+...+Vn≈[（12+（1-）2+（1-）2+（1-）2+…+（1-）２]=[n-•n（n-1）+•n（n-1）（2n-1）-1]=•.
∴ V≈[（1-）（2-）] .
当n趋于无穷大时，趋近于0，这时V=•2=πr２h.