图的齐次因子分解

• 作 者: 缪应铁
• 出 处: 课程教育研究·新教师教学
• 发表日期: 2017年33期
• 关键词: 图 齐次分解

　　【摘要】本文主要对图的因子分解进行研究，得出了一些重要的性质和结论。
　　【关键词】图；齐次分解
　　【中图分类号】O157.5 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2017）33-0265-01
　　定义1.设Γ=（VΓ，AΓ），若存在弧集Aг的一个分类P={P1，P2，…Pk}，k≥2，
　　M≤G≤Aut（Γ），使得：
　　M在Vг上传递，且对任意的x∈M都有Pix=Pi，i=1，2，…k；
　　对任意的Pi∈P，g∈G，都存在某个j∈{1，2，…，k}使得Pix=Pi且G在P上的作用是传递的，则称（г，P）是一个指数为K的（M，G）齐次因子分解。
　　性质1.1.若（г，P）是一个指数为k的（M，G）齐次因子分解，令K为G作用在P上的核，则M≤K?G，且（г，P）是一个指数为k，（K，G）齐次因子分解。
　　性质1.2.若（г，P）是一个（M，G）齐次因子分解，则Val（Γ）=|P|Val（Γi），其中Γi是图г分解后的任意一个子图。
　　性质1.3.若（г，P）是一个指数为k的（M，G）齐次因子分解，则存在Q，R≤H，使得（г，Q）是一个指数为p的（R，H）齐次因子分解，其中p为素数，P|k且H/RZp。
　　性质1.4.设（г，P）是一个（M，G）齐次因子分解，若G在Vг是非本原的，则存在Vг的G-不变分类β，且对于任意的B∈β，有（г[B]，PB）是一个指数为k的（MBB，GBB）齐次因子分解，其中PB={（P1）B，（P2）B，…，（Pk）B}，（Pi）B=Pi∩（B×B）=Pi∩（A（Γ[B]））。
　　性质1.5.对任意的n≥3，则存在指数为n的图г使得г有齐次因子分解。
　　性质1.6.设M是任意给定的群，则存在（г，P）是一个（M，G）齐次因子分解的充要条件三|M|≥3。
　　证明“”因为|Vг|≥2，且M在Vг上传递，所以|Vг||M|，故|M|≥2。
　　若|M|=2，|Vг|=2，则г=K2，所以M在弧集Aг上的作用是传递的。又因为M≤Aut（гi），则所有的弧都在Aut（гi）中，得出矛盾。故|M|≥3。
　　“”断言：阶数大于等于3的群一定有非平凡的自同构。事实上，如果M是一个非交换群，则Inn（M）M/Z（M）≠1，如果M是一个交换群，则M=〈a1〉×〈a2〉×…×〈as〉，其中（ai）=piri，其中pi是素数。若存在（ai）≥3，则可定义一个映射
　　φ：aiai-1
　　ajaj（j≠i）
　　易证φ是M的自同构，且φ≠1。
　　若（a1）=（a2）=…=（as）=2，泽s≥2。令
　　τ：a1→a2
　　a2→a1
　　ai→ai（i≠1，2）
　　则τ∈Aut（M）＼{idM}。所以Aut（M）≠1。故断言成立。取σAut（M），σ≠1，令N=，记V：=M，则在V上正则。因为=（2），又N，所以有（2）=M≤N≤NSym（M）（）。存在（г，P）是一个（M，G）齐次因子分解。
　　性质1.7设г=Kn，且n-1为素数，则г有齐次分解的充要条件是n=2r或者n=3。
　　性质1.8设（г，P）是一個（M，G）齐次因子分解，且Val（г）=p，其中p是一个素数，则P=p，Val（гi）=1，гi是г分解后的一个子图。即（г，P）是一个（M，G）齐次因子分解。此时，гi=或гi=n/2K2。
　　参考文献
　　[1]徐明曜，有限群导论引[M]，北京：科学出版社，1999.
　　[2]张远达，有限群构造[M]，北京：科学出版社，1982
　　[3]王萼芳，有限群论基础[M]，北京：北京大学出版社，1985.
　　[4]王福荣，素数阶对称图的齐次分解，首都师范大学学报自然科学版，2006.