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摘 要 卷积是一种线性运算，其本质是滑动平均思想，广泛应用于图像滤波，图像处理中常见的mask运算就是卷积。连续信号的卷积积分、离散信号的卷积积分在信号和系统理论中占有重要地位，在信号处理、系统分析中有广泛的应用。掌握了解卷积的相关原理知识，对于学习信号与系统有着非常重要的作用。
关键词 卷积 测试信号 应用
中图分类号： TN911文献标识码：A
一、卷积出现的背景
随着电子计算机技术飞速发展、对于信息获取和处理技术要求的不断提高，测控技术已经成为当前许多领域工程技术人员必须掌握的一门技术。为此，很多大学在本科时期就开设测试信号分析与处理这门课程，而卷积就是在信号与线性系统的基础和发展背景下出现的。信号与线性系统，讨论的就是一个线性系统以后发生的变化，即输入、输出、系统这三者之间的数学关系。所谓线性系统，就是系统输出信号与输入信号之间成线性关系。因此，要根据我们需要处理的信号形式，来设计所谓的系统传递函数，那么这个系统的传递函数和输入信号，在数学上的形式就是所谓的卷积关系。
卷积关系最重要的一种情况，就是在信号与线性系统或数字信号处理中的卷积定理。利用这一定理，我们可以将时域或空间域中的卷积运算等价位频率的相乘运算，从而利用FFT等快速算法，实现有效快速的计算。对于非数学系学生来说，只要掌握怎样使用卷积就可以了，卷积本身不过就是一种运算而已，研究卷积的定义意义其实并不大，它仅仅是一种微元相乘累加的极限形式。
二、测试信号的卷积原理
任意函数f(x)都可以近似地分解为一系列矩形窄脉冲 之和，这些矩形窄脉冲的宽度相等且很小，其幅值等于所对应时刻的函数值，即：，将该式经过一系列变换后得： 从该式可以说明：任意一个函数都可以分解为一系列矩形窄脉冲分量之和，其脉冲的幅度为，宽度为。同样，该式还可以理解为任意一个函数 都可以用一系列加权的冲激函数分量之和来表示，其加权系数为。
一个任意函数可以用一系列强度为的脉冲信号之和来表示。当脉冲的宽度越小时，其近似程度越高。如果作用于系统的信号是出现在时刻、强度为1的单位冲激信号，这时系统相应的响应就用表示。那么若在时刻，用强度为 的冲激信号作用于系统，根据线性系统的基本原理，这时系统的响应表示为。若信号 和系统的单位冲激响应在内均存在，则可利用叠加原理近似表示系统总的响应为：。当时，。前者为卷积和表达式，后者为卷积积分表达式。
当卷积的两个函数难以用数学表达式描述时，可以用图解的方法来完成，方法如下：（1）变量转换：将函数 的变量由t变为，得到。（2）折叠：将函数。（3）移位：将函数变为 。（4）相乘：将位移后的函数 与函数相乘。（5）积分：将不同t值处的乘积函数f 在内积分。
三、卷积的相关应用
卷积在工程和数学中都有很多应用，统计学中，加权的滑动平均是一种卷积。概率论中，两个统计独立变量X与Y的和的概率密度函数是X与Y的概率密度函数的卷积。声学中，回声可以用源声与一个反映各种反射效应的函数的卷积表示。电子工程与信号处理中，任意一个线性系统的输出都可以通过将输入信号与系统函数做卷积获得，物理学中，任意一个线性系统都存在卷积。
分数阶傅里叶域滤波器的时域实现在数字信号处理中，信号的变换域滤波是一种常用的处理手段，对一个含有多个正弦信号分量的信号先用FFT将信号变换到频域，再在频域设计滤波器对信号进行滤波，可以有效降低时域信号卷积滤波的运算量。由于实际工程中处理的信号多为有限长的离散信号，因此分数阶圆周卷积定理在基于分数阶傅里叶变换的信号处理领域有较为重要的理论意义和实用价值。
本文仅仅介绍了卷积的一小部分应用，它在其他方面还有着广泛的用途，它给人们的生产生活提供方便，省去了一些不必要的麻烦，熟悉地掌握了卷积定理，才会更容易解决生产生活中遇到的各种困难，发挥出它应有的作用。
（作者单位：西南交通大学机械工程学院）
参考文献：
[1]伍川辉. 测控信号分析与处理. 西南交通大学出版社. 2009.
[2]宋爱国. 测试信号分析与处理. 机械工业出版社. 2006.
关键词 卷积 测试信号 应用
中图分类号： TN911文献标识码：A
一、卷积出现的背景
随着电子计算机技术飞速发展、对于信息获取和处理技术要求的不断提高，测控技术已经成为当前许多领域工程技术人员必须掌握的一门技术。为此，很多大学在本科时期就开设测试信号分析与处理这门课程，而卷积就是在信号与线性系统的基础和发展背景下出现的。信号与线性系统，讨论的就是一个线性系统以后发生的变化，即输入、输出、系统这三者之间的数学关系。所谓线性系统，就是系统输出信号与输入信号之间成线性关系。因此，要根据我们需要处理的信号形式，来设计所谓的系统传递函数，那么这个系统的传递函数和输入信号，在数学上的形式就是所谓的卷积关系。
卷积关系最重要的一种情况，就是在信号与线性系统或数字信号处理中的卷积定理。利用这一定理，我们可以将时域或空间域中的卷积运算等价位频率的相乘运算，从而利用FFT等快速算法，实现有效快速的计算。对于非数学系学生来说，只要掌握怎样使用卷积就可以了，卷积本身不过就是一种运算而已，研究卷积的定义意义其实并不大，它仅仅是一种微元相乘累加的极限形式。
二、测试信号的卷积原理
任意函数f(x)都可以近似地分解为一系列矩形窄脉冲 之和，这些矩形窄脉冲的宽度相等且很小，其幅值等于所对应时刻的函数值，即：，将该式经过一系列变换后得： 从该式可以说明：任意一个函数都可以分解为一系列矩形窄脉冲分量之和，其脉冲的幅度为，宽度为。同样，该式还可以理解为任意一个函数 都可以用一系列加权的冲激函数分量之和来表示，其加权系数为。
一个任意函数可以用一系列强度为的脉冲信号之和来表示。当脉冲的宽度越小时，其近似程度越高。如果作用于系统的信号是出现在时刻、强度为1的单位冲激信号，这时系统相应的响应就用表示。那么若在时刻，用强度为 的冲激信号作用于系统，根据线性系统的基本原理，这时系统的响应表示为。若信号 和系统的单位冲激响应在内均存在，则可利用叠加原理近似表示系统总的响应为：。当时，。前者为卷积和表达式，后者为卷积积分表达式。
当卷积的两个函数难以用数学表达式描述时，可以用图解的方法来完成，方法如下：（1）变量转换：将函数 的变量由t变为，得到。（2）折叠：将函数。（3）移位：将函数变为 。（4）相乘：将位移后的函数 与函数相乘。（5）积分：将不同t值处的乘积函数f 在内积分。
三、卷积的相关应用
卷积在工程和数学中都有很多应用，统计学中，加权的滑动平均是一种卷积。概率论中，两个统计独立变量X与Y的和的概率密度函数是X与Y的概率密度函数的卷积。声学中，回声可以用源声与一个反映各种反射效应的函数的卷积表示。电子工程与信号处理中，任意一个线性系统的输出都可以通过将输入信号与系统函数做卷积获得，物理学中，任意一个线性系统都存在卷积。
分数阶傅里叶域滤波器的时域实现在数字信号处理中，信号的变换域滤波是一种常用的处理手段，对一个含有多个正弦信号分量的信号先用FFT将信号变换到频域，再在频域设计滤波器对信号进行滤波，可以有效降低时域信号卷积滤波的运算量。由于实际工程中处理的信号多为有限长的离散信号，因此分数阶圆周卷积定理在基于分数阶傅里叶变换的信号处理领域有较为重要的理论意义和实用价值。
本文仅仅介绍了卷积的一小部分应用，它在其他方面还有着广泛的用途，它给人们的生产生活提供方便，省去了一些不必要的麻烦，熟悉地掌握了卷积定理，才会更容易解决生产生活中遇到的各种困难，发挥出它应有的作用。
（作者单位：西南交通大学机械工程学院）
参考文献：
[1]伍川辉. 测控信号分析与处理. 西南交通大学出版社. 2009.
[2]宋爱国. 测试信号分析与处理. 机械工业出版社. 2006.