论文部分内容阅读
解析几何是高中数学的重点内容，在江苏历年的高考中扮演着重要的角色，特别是2008年新课程改革以来，江苏高考解析几何的成功命制一直被认为是江苏高考试题的一个亮点，被其他省市所推崇，也引领着全国高考解析几何的方向.四年过去了，欣赏着这些精彩的试题，激动之余，总想冷静地问问自己,江苏高考解析几何的复习方向是什么.基于高考“题在书外，理在书中”的命题理念，笔者再次回顾了教材和考试说明中的相关内容：
(1) 苏教版必修二参考书76页：解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，其本质是用代数方法研究几何图形的特征，即通过引进直角坐标系，建立点与坐标、曲线与方程的对应关系，将问题转化为代数问题，从而用代数方法研究几何问题，解析几何充分体现了数形结合的数学思想；
(2) 2012年江苏高考数学考试说明49页：能够根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径.
结合个人的理解，笔者认为，代数是工具，工具需优化，几何是本质，本质要探索，因此优化代数工具，探索图形性质是江苏高考解析几何的复习方向.本文拟以此为论点管窥一斑，权当抛砖，敬请同仁们斧正.
1 探究之一：优化代数工具
1.1 优化1：代数运算避繁求简
代数运算是研究解析几何的基本工具，但学生在使用此工具时往往是程序简单，即“设元—列式—解量”，然后是纯运算能力的大比拼，结果很不理想.从教材、说明以及考题来看，笔者认为，要突破这种问题的瓶颈，复习时应注意渗透“设而不解”等思路，把握优化代数工具，运算避繁求简的大方向.
例1 （11江苏卷改编）在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的直线交椭圆x24+y22=1于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k.对任意k>0，求证：PA⊥PB.
评注：问题解决的常规思路是通过联立直线、直线与椭圆的方程，分别解出点和点的坐标，再利用斜率关系证明，但这种简单的、程序化的代数工具使用带来的运算却是复杂的.事实上，如果优化代数工具，采用设点而非解点，则可以大大简化运算.
解析：设P（x1，y1），B(x2，y2)，则x1＞0，x2＞0，x1≠x2，A（-x1，-y1），C（x1，0），且y1y2=k.
设直线PB，AB的斜率分别为k1，k2.因为C在直线AB上，所以k2=0-（-y1）x1-(-x1)=y12x1=k2.
从而k1k+1=2k1k2+1=2·y2-y1x2-x1·y2-(-y1)x2-(-x2)+1=2y22-2y21x22-x2m1+1=（x22+2y22）-(x21+2y21)(x22-x21)=4-4x22-x21=0，得k1k2=-1.故PA⊥PB.
1.2 优化2：工具运用突破章节
目前解析几何教学还或多或少存在这样的一个误区，即仅将解析几何当作纯知识章节来教.事实上，解析几何的本质是数学问题坐标化，代数化，因此解析几何教学、复习更应该重点渗透其代数工具作用，突破章节，灵活运用.
例2 (08江苏卷)满足条件AB=2,AC=2BC的三角形ABC的面积的最大值是_________.
评注 从知识点的看，本题考查了三角形的有关知识，因此问题解决的常规思路是利用三角形的有关知识解决，一般分两步：（1） 利用余弦定理表示出∠BCA.设BC=x，则cos∠BCA=x2+2x2-422x2=3x2-422x2；（2） 利用三角形面积公式表示.S△ABC=12·2x2·sin∠BCA=22x21-cos2∠BCA=22x21-(3x2-4)28x4.可以看出，常规思路运算量大，运算能力要求高，如果我们能跨越知识界限，利用解析几何知识，灵活运用代数工具，问题的解决又将是一片新的天地.
解析：以边AB所在直线为x轴，以线段AB中点为坐标原点建立平面直角坐标系，得A(-1，0),B（1，0）.设C（x,y），由AC=2BC得(x+1)2+y2=2(x-1)2+y2，化简整理得(x-3)2+y2=8(y≠0)，即点C在以(3,0)为圆心，22为半径的圆上（去掉与x轴的交点）.由S△ABC=12·AB·|yc|=|yc|及|yc|≤22，易知三角形ABC的面积的最大值是22.
2 探究之二：探索图形性质
解析几何的本质是几何，用代数方法研究仅仅是一种研究途径，与此同时，如果我们能抓住本质，结合图形，探索性质，必将在解题时收到意想不到的美妙.因此，解析几何复习时教者要帮助学生建立平几研究的意识，摆脱思维定势，力求双剑合一的功效.
2.1 探究1：探索图形几何特征
例3 (07江苏预赛)设顶点为P的抛物线y=ax2-3x+c（a≠0）交x轴正半轴于A,B两点，交y轴正半轴于C.圆D过A、B、C三点，且恰好与y轴相切.求证：PA⊥DA.
评注 问题的知识背景是解析几何，如果我们避开纯粹的坐标运算，结合平面几何中圆的相关性质去求证，则将大大降低运算的难度，提高问题求解成功的机率.
解析：设A（x1，0）,B（x2，0），C（0，c），由x1+x22=32a知D32a，c，P32a，4ac-94a.由切割线定理得OA·OB=OC2,即ca=x1·x2=c2，所以ac=1，则P32c，-54c.设直线DP与x轴的交点为E，要证PA⊥DA,只需证DA2=DE·DP,即证DC2=DE·DP.因为DC=32a=32c，DE=c，DP=DE+EP=c+54c=94c，所以DC2=94c2=c·94c=DE·DP,即DA2=DE·DP，故∠PAD=90°，PA⊥DA得证.
2.2 探究2：注重图形性质迁移
美国作家海明威在“冰山理论”中提出，人们看到的小说只是冰山露在海面上的八分之一，那海面下的八分之七得需读者自己体会揣摩，同样，我们在欣赏高考解析几何题时，也要去揣摩其本质，探究其命题背景.下面我们来看看例1的背景：
一般结论：在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的直线交椭圆x2a2+y2b2=1于P、A两点（异于x轴上的点），过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为k2.求证：k1·k2=-2b2a2.
简证 设P（x1，y1），B（x2，y2），则A（x2，y2），k1=y1-(-y1)x1-(-x1)=2y12x1=y1x1，k2=y2-y1x2-x1，由A、C、B三点共线知，0-(-y1)x1-(-x1)=y2-(-y1)x2-(-x1) ，即y1x1=2y2+y1x2+x1.所以k1·k2=y1y2·y2-y1x2-x1=2y22-y21x22-x21=2b21-x22a2-1+x21a2x22-x21=-2b2a2，得证.
性质迁移 特别地，当a2=2b2时，k1·k2=-1即PA⊥PB，得到例1结论.
这个问题提醒我们，在平时的复习中，不能仅停留在帮助学生解决问题的表象上，更重要的是要透过问题，认识其背景和一般结论，并能够进行迁移运用.
把握正确方向，方能进行高效复习.有数需优化，探形寻本质，相信只要抓住解析几何复习的风向标，无论高考怎么考，我们都会微笑面对的.
(1) 苏教版必修二参考书76页：解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，其本质是用代数方法研究几何图形的特征，即通过引进直角坐标系，建立点与坐标、曲线与方程的对应关系，将问题转化为代数问题，从而用代数方法研究几何问题，解析几何充分体现了数形结合的数学思想；
(2) 2012年江苏高考数学考试说明49页：能够根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径.
结合个人的理解，笔者认为，代数是工具，工具需优化，几何是本质，本质要探索，因此优化代数工具，探索图形性质是江苏高考解析几何的复习方向.本文拟以此为论点管窥一斑，权当抛砖，敬请同仁们斧正.
1 探究之一：优化代数工具
1.1 优化1：代数运算避繁求简
代数运算是研究解析几何的基本工具，但学生在使用此工具时往往是程序简单，即“设元—列式—解量”，然后是纯运算能力的大比拼，结果很不理想.从教材、说明以及考题来看，笔者认为，要突破这种问题的瓶颈，复习时应注意渗透“设而不解”等思路，把握优化代数工具，运算避繁求简的大方向.
例1 （11江苏卷改编）在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的直线交椭圆x24+y22=1于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k.对任意k>0，求证：PA⊥PB.
评注：问题解决的常规思路是通过联立直线、直线与椭圆的方程，分别解出点和点的坐标，再利用斜率关系证明，但这种简单的、程序化的代数工具使用带来的运算却是复杂的.事实上，如果优化代数工具，采用设点而非解点，则可以大大简化运算.
解析：设P（x1，y1），B(x2，y2)，则x1＞0，x2＞0，x1≠x2，A（-x1，-y1），C（x1，0），且y1y2=k.
设直线PB，AB的斜率分别为k1，k2.因为C在直线AB上，所以k2=0-（-y1）x1-(-x1)=y12x1=k2.
从而k1k+1=2k1k2+1=2·y2-y1x2-x1·y2-(-y1)x2-(-x2)+1=2y22-2y21x22-x2m1+1=（x22+2y22）-(x21+2y21)(x22-x21)=4-4x22-x21=0，得k1k2=-1.故PA⊥PB.
1.2 优化2：工具运用突破章节
目前解析几何教学还或多或少存在这样的一个误区，即仅将解析几何当作纯知识章节来教.事实上，解析几何的本质是数学问题坐标化，代数化，因此解析几何教学、复习更应该重点渗透其代数工具作用，突破章节，灵活运用.
例2 (08江苏卷)满足条件AB=2,AC=2BC的三角形ABC的面积的最大值是_________.
评注 从知识点的看，本题考查了三角形的有关知识，因此问题解决的常规思路是利用三角形的有关知识解决，一般分两步：（1） 利用余弦定理表示出∠BCA.设BC=x，则cos∠BCA=x2+2x2-422x2=3x2-422x2；（2） 利用三角形面积公式表示.S△ABC=12·2x2·sin∠BCA=22x21-cos2∠BCA=22x21-(3x2-4)28x4.可以看出，常规思路运算量大，运算能力要求高，如果我们能跨越知识界限，利用解析几何知识，灵活运用代数工具，问题的解决又将是一片新的天地.
解析：以边AB所在直线为x轴，以线段AB中点为坐标原点建立平面直角坐标系，得A(-1，0),B（1，0）.设C（x,y），由AC=2BC得(x+1)2+y2=2(x-1)2+y2，化简整理得(x-3)2+y2=8(y≠0)，即点C在以(3,0)为圆心，22为半径的圆上（去掉与x轴的交点）.由S△ABC=12·AB·|yc|=|yc|及|yc|≤22，易知三角形ABC的面积的最大值是22.
2 探究之二：探索图形性质
解析几何的本质是几何，用代数方法研究仅仅是一种研究途径，与此同时，如果我们能抓住本质，结合图形，探索性质，必将在解题时收到意想不到的美妙.因此，解析几何复习时教者要帮助学生建立平几研究的意识，摆脱思维定势，力求双剑合一的功效.
2.1 探究1：探索图形几何特征
例3 (07江苏预赛)设顶点为P的抛物线y=ax2-3x+c（a≠0）交x轴正半轴于A,B两点，交y轴正半轴于C.圆D过A、B、C三点，且恰好与y轴相切.求证：PA⊥DA.
评注 问题的知识背景是解析几何，如果我们避开纯粹的坐标运算，结合平面几何中圆的相关性质去求证，则将大大降低运算的难度，提高问题求解成功的机率.
解析：设A（x1，0）,B（x2，0），C（0，c），由x1+x22=32a知D32a，c，P32a，4ac-94a.由切割线定理得OA·OB=OC2,即ca=x1·x2=c2，所以ac=1，则P32c，-54c.设直线DP与x轴的交点为E，要证PA⊥DA,只需证DA2=DE·DP,即证DC2=DE·DP.因为DC=32a=32c，DE=c，DP=DE+EP=c+54c=94c，所以DC2=94c2=c·94c=DE·DP,即DA2=DE·DP，故∠PAD=90°，PA⊥DA得证.
2.2 探究2：注重图形性质迁移
美国作家海明威在“冰山理论”中提出，人们看到的小说只是冰山露在海面上的八分之一，那海面下的八分之七得需读者自己体会揣摩，同样，我们在欣赏高考解析几何题时，也要去揣摩其本质，探究其命题背景.下面我们来看看例1的背景：
一般结论：在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的直线交椭圆x2a2+y2b2=1于P、A两点（异于x轴上的点），过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为k2.求证：k1·k2=-2b2a2.
简证 设P（x1，y1），B（x2，y2），则A（x2，y2），k1=y1-(-y1)x1-(-x1)=2y12x1=y1x1，k2=y2-y1x2-x1，由A、C、B三点共线知，0-(-y1)x1-(-x1)=y2-(-y1)x2-(-x1) ，即y1x1=2y2+y1x2+x1.所以k1·k2=y1y2·y2-y1x2-x1=2y22-y21x22-x21=2b21-x22a2-1+x21a2x22-x21=-2b2a2，得证.
性质迁移 特别地，当a2=2b2时，k1·k2=-1即PA⊥PB，得到例1结论.
这个问题提醒我们，在平时的复习中，不能仅停留在帮助学生解决问题的表象上，更重要的是要透过问题，认识其背景和一般结论，并能够进行迁移运用.
把握正确方向，方能进行高效复习.有数需优化，探形寻本质，相信只要抓住解析几何复习的风向标，无论高考怎么考，我们都会微笑面对的.